Chủ đề này có 1 trả lời

[Thao Meo]

1) Cho x,y,z $\geq$ 0 thỏa mãn xy+yz+xz=1
Tìm min
P =$\sum \frac{1}{x^2+y^2}+\frac{5}{2}(x+1)(y+1)(z+1)$

[Nguyenhuyen_AG]

1) Cho x,y,z $\geq$ 0 thỏa mãn xy+yz+xz=1
Tìm min
P =$\sum \frac{1}{x^2+y^2}+\frac{5}{2}(x+1)(y+1)(z+1)$

 

Trước hết ta có \[\frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{1}{{{y^2} + {z^2}}} + \frac{1}{{{z^2} + {x^2}}} \geqslant \frac{10}{(x+y+z)^2},\] và $(x+1)(y+1)(z+1) = xyz+xy+yz+zx+x+y+z+1 \geqslant x+y+z+2.$ Do đó \[P \geqslant \frac{10}{(x+y+z)^2}+\frac{5}{2}(x+y+z+2).\] Đặt $t = x+y+z \geqslant \sqrt{3(xy+yz+zx)}=\sqrt{3}$ thì \[P \geqslant f(t) = \frac{10}{t^2}+\frac{5}{2}(t+2).\] Khảo sát hàm $f(t)$ ta được

\[f(t) \geqslant f(2) = \frac{25}{2}.\]

Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là $\frac{25}{2}$ đạt được khi trong ba số $x,\,y,\,z$ có hai số bằng $1$ số còn lại bằng $0.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 13-02-2016 - 19:36