Đến nội dung

Hình ảnh

Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa $a+b+c=3$.Tìm GTLN của biểu thức $P=(5a+b)(b^2+4ac)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
giaosutoanhoc

giaosutoanhoc

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết

Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa $a+b+c=3$.Tìm GTLN của biểu thức $P=(5a+b)(b^2+4ac)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi giaosutoanhoc: 13-02-2016 - 21:41


#2
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Chú ý rằng: $b^2+4ac=(2a+b)(2c+b)-2b(a+c)\leqslant (2a+b)(2c+b)$ và $10a+2b\leqslant 10a+5b=5(2a+b)$

Do đó: $P\leqslant \dfrac{5(2a+b)(2a+b)(4c+2b)}{4}\leqslant \dfrac{5.4^3(a+b+c)^3}{4.27}=80$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=2, b=0, c=1$


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#3
giaosutoanhoc

giaosutoanhoc

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết

Chú ý rằng: $b^2+4ac=(2a+b)(2c+b)-2b(a+c)\leqslant (2a+b)(2c+b)$ và $10a+2b\leqslant 10a+5b=5(2a+b)$

Do đó: $P\leqslant \dfrac{5(2a+b)(2a+b)(4c+2b)}{4}\leqslant \dfrac{5.4^3(a+b+c)^3}{4.27}=80$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=2, b=0, c=1$

cho mình hỏi làm sao bạn nảy ra ý tưởng phân tích $b^2+4ac$ thành $(2a+b)(2c+b)-2b(a+c)$ để chứng minh vậy với lại mình cũng không biết tại sao bạn biết cách cho $10a+2b\leqslant 10a+5b=5(2a+b)$ nữa



#4
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

cho mình hỏi làm sao bạn nảy ra ý tưởng phân tích $b^2+4ac$ thành $(2a+b)(2c+b)-2b(a+c)$ để chứng minh vậy với lại mình cũng không biết tại sao bạn biết cách cho $10a+2b\leqslant 10a+5b=5(2a+b)$ nữa

Cái này phải tìm điểm rơi trước. Đầu tiên thì người ra đề cho $a,b,c\geqslant 0$ mình nghĩ sẽ có một biến bằng $0$ trong điểm rơi.

Bằng cách thay $a=0, b=0$ rồi $c=0$ mình tìm được điểm rơi là $a=2, b=0, c=1$

Lúc này ta sẽ đánh giá $P$ thành tích ba đa thức bậc nhất, lúc này AM-GM sẽ đơn giản.

Vì thế dễ dàng ta đánh giá $b^2+4ac\leqslant (2a+b)(2a+c)$ và lúc này: $P\leqslant (5a+b)(2a+b)(2c+b)$

Theo cơ cấu điểm rơi thì ta sẽ có $5a+b=10, 2a+b=4, 2c+b=2$

Do đó ta phải nhân $2c+b$ lên thành $4c+2b$ và $5a+b$ xuống thành $\dfrac{2(5a+b)}{5}$

Do đó ta AM-GM: $\dfrac{2(5a+b)}{5}.(4c+2b).(2a+b)\leqslant \dfrac{\left(4a+4c+\dfrac{17}{5}b\right)^3}{27}$

Ngoài ra ở trong $4a+4c+\dfrac{17}{5}b$ ta còn có thể thêm $\dfrac{3}{5}b$ để trở thành $4(a+b+c)$ cho nó đẹp.

Thế nên từ đầu để $5a+b$ lên thành $5(2a+b)$ cho sướng nên có lời giải trên.


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh