1.Cho $1\leq a,b,c\leq 2$
CMR: $\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\leq 10$
Không mất tính tổng quát giả sử $a \geq b \geq c $
$\rightarrow (a-b)(b-c) \geq 0$
$\rightarrow b^2+ac \leq ab+bc$
$\rightarrow \frac{b}{a}+\frac{c}{b} \leq 1+\frac{c}{a}$
Tương tự ta cũng có $\frac{a}{b}+\frac{b}{c} \leq 1+\frac{a}{c}$
$\rightarrow Q=3+(\frac{a}{b}+\frac{b}{c})+(\frac{b}{a}+\frac{c}{b})+\frac{a}{c}+\frac{c}{a} \leq 5+2(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})$
Vậy ta chỉ cần chứng minh $\frac{a}{c}+\frac{c}{a} \leq \frac{5}{2}$
$\leftrightarrow (a-2c)(a-c) \leq 0$ (Đúng vì $1 \leq \frac{a}{c} \leq 2$)
Chứng minh hoàn tất.Đẳng thức xảy ra khi $(a,b,c)$ là hoán vị của bộ $(1,1,2)$ hoặc $(1,2,2)$