Chủ đề này có 2 trả lời

[NTA1907]

Bài 1: Cho các số $a, b$ thoả mãn điều kiện $a\leq 2, b\leq 2$ và $a+b\geq -2$. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: $P=(a-2)^{2}(2-b)(a+b)$

Bài 2: Cho $a, b, c$ là độ dài 3 cạnh của một $\Delta$ không nhọn. CMR:

$(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})\geq 10$

[PlanBbyFESN]

Bài 2: Cho $a, b, c$ là độ dài 3 cạnh của một $\Delta$ không nhọn. CMR:

$(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})\geq 10$

 

Bài 2:

 

$(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})=3+\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}+\frac{a^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{b^{2}}$

 

Do tam giác không nhọn, chú ý rằng ta có hệ thức sau:  $c^{2}\geq a^{2}+b^{2} $       (Cũng có thể xem là hệ quả của Pitago)

 

Áp dụng BĐT AM-GM kết hợp Cauchy-Schwarz ta có:

 

$\Rightarrow \frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}+\frac{a^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{b^{2}}=(\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}})+(\frac{a^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{4a^{2}})+(\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{4b^{2}})+\frac{3c^{2}}{4a^{2}}+\frac{3c^{2}}{4b^{2}}\geq 2+1+1+3(\frac{4c^{2}}{4a^{2}+4b^{2}})=7$

 

$\Rightarrow (a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})\geq 10$

................................

[dogsteven]

Bài 1: Cho các số $a, b$ thoả mãn điều kiện $a\leq 2, b\leq 2$ và $a+b\geq -2$. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: $P=(a-2)^{2}(2-b)(a+b)$

Bài 2: Cho $a, b, c$ là độ dài 3 cạnh của một $\Delta$ không nhọn. CMR:

$(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})\geq 10$

Bài 1.

Đặt $a=2-x$ và $b=2-y$ thì $x,y\geqslant 0$ và $x+y\leqslant 6$, khi đó ta có $P=x^2y(4-x-y)$

- Tìm giá trị lớn nhất:

Nếu $x+y\geqslant 4$ thì $P\leqslant 0$ nên ta xét $x+y\leqslant 4$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: $P\leqslant \dfrac{4(x+y)^3(4-x-y)}{27}=\dfrac{4(x+y)(x+y)(x+y)(12-3x-3y)}{81}\leqslant 4$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x+y=4$ và $x=2y$ nên $x=\dfrac{8}{3}, y=\dfrac{4}{3}$

- Tìm giá trị nhỏ nhất.

Ta chỉ cần xét $x+y\geqslant 4$, ta có

$-P=\dfrac{1}{2}x.x.2y(x+y-4)\leqslant \dfrac{4(x+y)^3(x+y-4)}{27}=\dfrac{4(x+y-6)((x+y)^3+2(x+y)^2+12(x+y)+72)}{27}+64\leqslant 64$

Do đó $P\geqslant -64$, đẳng thức xảy ra khi và chỉ $x=2y$ và $x+y=6$ hay $x=4, y=2$

Bài 2. Đặt $x=a^2, y=b^2, z=c^2$, do tam giác có độ dài các cạnh là không nhọn nên $x\geqslant y+z$ với $a$ là cạnh lớn nhất.

Ta có: $VT=(x+y+z)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\geqslant (x+y+z)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y+z}\right)=\dfrac{(1+t)(1+4t)}{t}$

Trong đó $t=\dfrac{x}{y+z}\geqslant 1$, đến đây ta có thể dùng khảo sát hàm số hoặc xét hiệu trực tiếp:

$$\dfrac{(1+t)(1+4t)}{t}-10=\dfrac{4t^2-5t+1}{t}=\dfrac{(t-1)(4t-1)}{t}\geqslant 0$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 14-02-2016 - 11:44