Chủ đề này có 4 trả lời

[Minhnguyenthe333]

Cho $a,b,c>0$.CMR:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant \frac{2a+b}{a(a+2b)}+\frac{2b+c}{b(b+2c)}+\frac{2c+a}{c(c+2a)}$

[quoccuonglqd]

$2VP=\sum \frac{4a+2b}{a(a+2b)}=\sum \frac{1}{a}+\sum \frac{3}{a+2b}$

Bất đẳng thức trở thành $\sum \frac{1}{a}\geqslant \sum \frac{3}{a+2b}$(luôn đúng theo C-S)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quoccuonglqd: 14-02-2016 - 10:59

[PlanBbyFESN]

Cho $a,b,c>0$.CMR:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant \frac{2a+b}{a(a+2b)}+\frac{2b+c}{b(b+2c)}+\frac{2c+a}{c(c+2a)}$

 

Một cách khác, không đẹp như cách trên nhưng chặt chẽ, S.O.S:

 

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant \frac{2a+b}{a(a+2b)}+\frac{2b+c}{b(b+2c)}+\frac{2c+a}{c(c+2a)}\Leftrightarrow \frac{1}{a}- \frac{2a+b}{a(a+2b)}+\frac{1}{b}-\frac{2b+c}{b(b+2c)}+\frac{1}{c}-\frac{2c+a}{c(c+2a)}\geq 0$

 

$\Leftrightarrow (a-b)^{2}\frac{b-a}{a(a+2b)}+(b-c)^{2}\frac{c-b}{b(b+2c)}+(c-a)^{2}\frac{a-c}{c(c+2a)}\geq 0$

 

Đến đây do tính hoán vị nên giả sử b là số nằm giữa a và c nhưng do tương tự nên ta chỉ xét:

 

$a\geq b\geq c\Rightarrow \frac{a-c}{c(c+2a)}\geq 0$

 

$\Rightarrow (a-c)^{2}=(a-b+b-c)^{2}\geq (a-b)^{2}+(b-c)^{2}$

 

Cần chứng minh:  $\frac{b-a}{a(a+2b)}+\frac{a-c}{c(c+2a)}\geq 0;\frac{c-b}{b(b+2c)}+\frac{a-c}{c(c+2a)}\geq 0$

 

................................ Quy đồng lên dựa vào $a\geq b\geq c$ là xong!

 

p/s: Bài này đưa ra cách này cũng là do có người nói cứ đưa ra thôi @; chứ nên theo cách trên

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 14-02-2016 - 18:32

[tquangmh]

Mình chưa hiểu ở phần : $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant \frac{3}{a+2b}+\frac{3}{b+2c}+\frac{3}{c+2a}$ (bài viết của bạn quoccuonglqd) 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tquangmh: 14-02-2016 - 18:49

[PlanBbyFESN]

Mình chưa hiểu ở phần : $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant \frac{3}{a+2b}+\frac{3}{b+2c}+\frac{3}{c+2a}$ (bài viết của bạn quoccuonglqd) 

 

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\geq \frac{9}{a+2b}$

 

$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{b+2c}$

 

$\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\geq \frac{9}{c+2a}$

 

.............................