3 replies to this topic

[phamquangnhatanh]

Cho x + y = 1, x > 0, y > 0. Tìm GTNN của

a) $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ 

b) $\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}$ (a và b là hằng số dương đã cho)

c) $(x+\frac{1}{x})^{2}+(y+\frac{1}{y})^{2}$

[thanhmylam]

a) $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{x}+\frac{x+y}{y}=2+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2+2$ ( áp dụng BĐT Cosi)

[leminhnghiatt]

 

b) $\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}$ (a và b là hằng số dương đã cho)

 

Áp dụng bđt: $\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{c^2}{d} \geq \dfrac{(a+c)^2}{b+d}$

 

Ta có: $\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y} \geq \dfrac{(a+b)^2}{x+y}=(a+b)^2$

Edited by leminhnghiatt, 14-02-2016 - 14:55.

[tpdtthltvp]

Cho x + y = 1, x > 0, y > 0. Tìm GTNN của

a) $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ 

b) $\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}$ (a và b là hằng số dương đã cho)

c) $(x+\frac{1}{x})^{2}+(y+\frac{1}{y})^{2}$

a) Áp dụng bđt $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}=4$

b) Áp dụng bđt $schwarz$:

$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\geq \frac{(a+b)^2}{x+y}=(a+b)^2$

c) Áp dụng bđt $Cauchy-schwarz$:

$(x+\frac{1}{x})^2+(y+\frac{1}{y})^2\geq \frac{(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y})^2}{2}\geq \frac{(1+4)^2}{2}=12,5$

Edited by tpdtthltvp, 14-02-2016 - 14:57.