Chủ đề này có 2 trả lời

[hoilamchi]

Cho 2012 số nguyên dương $x_{1};x_{2};x_{3};...;x_{2012}$ thỏa mãn điều kiện $\frac{1}{\sqrt{x_{1}}}+\frac{1}{\sqrt{x_{2}}}+\frac{1}{\sqrt{x_{3}}}+...+\frac{1}{\sqrt{x_{2012}}} =125$.CM:Trong 2012 số nguyên dương trên có ít nhất 3 số bằng nhau 

[tpdtthltvp]

Ta có bổ đề:

$\frac{1}{\sqrt{a}}<\frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{a-1}}=2(\sqrt{a}-\sqrt{a-1})$

Áp dụng vào bài toán, ta có:

Giả sử trong 2012 số không tồn tại 3 số nào bằng nhau thì:

$\frac{1}{\sqrt{x_1}}+\frac{1}{\sqrt{x_2}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{x_{2012}}}<2(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{1006}})<2[1+2(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\cdots +\sqrt{1006}-\sqrt{1005})]=2[1+2(\sqrt{1006}-1)]\approx 124,9<125(L)$\

Vậy có ít nhất $3$ số bằng nhau.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 14-02-2016 - 16:37

[I Love MC]

Giả sử chỉ tồn tại $2$ số bằng nhau .  
Giả sử $x_1 = x_2<x_3<....<x_{2012}$ 
 Suy ra $x_1 \ge 1$  
$x_2 \ge 1$ 
$x_3 \ge 2$ 
$x_4 \ge 3$ 
... 
$x_{2012} \ge 2011$ 
$VT=\sum_{k=1}^{2012} \frac{1}{\sqrt{x_k}} \le (\sum_{k=2}^{2011} \frac{1}{\sqrt{k}})+2$ 
Lại có $\sum_{i=2}^{n} \frac{1}{\sqrt{i}}<2\sqrt{n}-2$ 
Suy ra $VT=125 \le (\sum_{k=2}^{2011} \frac{1}{\sqrt{k}})+2 \le 2.\sqrt{2011}$ 
Suy ra $8044>15625$ vô lí 
$\Rightarrow Q.E.D$