Chủ đề này có 2 trả lời

[daotuanminh]

Cho $x, y$ là các số hữu tỉ thỏa mãn phương trình: $(x+y)^{3}=xy(3x+3y+2)$ 

CMR: $\sqrt{1-xy}$ là số hữu tỉ.

[royal1534]

Cho $x, y$ là các số hữu tỉ thỏa mãn phương trình: $(x+y)^{3}=xy(3x+3y+2)$ 

CMR: $\sqrt{1-xy}$ là số hữu tỉ.

Từ giả thiết $\rightarrow x^3+y^3=2xy$

 

Nếu $xy=0$ thì $\sqrt{1-xy}$ là số hữu tỉ

 

Xét $xy \neq 0$

 

$\rightarrow \frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}=2$

 

$\leftrightarrow \frac{x^4}{y^2}+\frac{y^4}{x^2}+2xy=4$

 

$\leftrightarrow \frac{x^4}{y^2}+\frac{y^4}{x^2}-2xy=4-4xy$

 

$\leftrightarrow 1-xy=\frac{(\frac{x^2}{y}-\frac{y^2}{x})^2}{4}$

 

$\rightarrow \sqrt{1-xy}=\frac{\frac{x^2}{y}-\frac{y^2}{x}}{2}$:Là số hữu tỉ  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 15-02-2016 - 14:03

[I Love MC]

Từ giả thiết $\rightarrow x^3+y^3=2xy$

 

Nếu $xy=0$ thì $\sqrt{1-xy}$ là số hữu tỉ

 

Xét $xy \neq 0$

 

$\rightarrow \frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}=2$

 

 

Tổng quát : 
Cho $x,y$ là các số hữu tỉ thỏa mãn phương trình $x^{2n+1}+y^{2n+1}=2x^ny^n$ trong đó $n$ là một số nguyên dương cho trước. 
Chứng minh $1-xy$ là bình phương của một  số hữu tỉ.