Chủ đề này có 1 trả lời

[denuinb]

cho 3 so thuc duong x,y,z thoa man 1/x^2 +1/y^2+1/z^2=1.

tim gia tri nho nhat cua bieu thuc P=y^2z^2/x(y^2+z^2)+x^2y^2/z(x^2+z^2)+x^2z^2/y(x^2+z^2)

       

[quoccuonglqd]

Đổi biến $(x,y,z)\rightarrow (\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c})$

$P=\frac{a}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b}{a^{2}+c^{2}}+\frac{c}{a^{2}+b^{2}}=\frac{a}{1-a^{2}}+\frac{b}{1-b^{2}}+\frac{c}{1-c^{2}}$

Ta có $\frac{x}{1-x^{2}}=\frac{\frac{x^{2}}{2}}{x\frac{\sqrt{3}+1}{2}(1-x)\frac{\sqrt{3}-1}{2}(x+1)}\geqslant \frac{\frac{x^{2}}{2}}{\frac{(\sqrt{3})^{3}}{27}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}x^{2}$

Nên $P\geqslant \frac{3\sqrt{3}}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=\frac{3\sqrt{3}}{2}$