Chủ đề này có 6 trả lời

[ngochapid]

Tìm số nguyên tố $p$ sao cho $\frac{p^2-p-2}{2}$ là lập phương của một số tự  nhiên

[I Love MC]

Ái chà 
Lời giải : 
Đặt $p^2-p-2=2k^3$ ($k \in \mathbb{N}$)
Suy ra $p(p-1)=2(k+1)(k^2-k+1)$ (1)
Xét $p=2$ thì nhận
$p>2$ thì xảy ra 2 TH 
TH1: $p|(k+1)$ 
Suy ra $k+1 \ge p$ 
Suy ra $k \ge p-1$ 
Vậy thì $p(p-1)=2(k+1)(k^2-k+1) \le k(k+1)$ (vô lí) 
TH2: $p|(k^2-k+1)$ 
Đặt $p.n=k^2-k+1$ với $n \in \mathbb{N}$  (2)
Thế vào (1) ta có : $2(k+1).p.n=p(p-1) \Rightarrow 2(k+1).n=p-1$  (3)
Tiếp tục thế vào (2) cho ta :  
$(2(k+1).n+1).n=k^2-k+1$ 
$\Leftrightarrow k^2-(1+2n^2).k+(1-2n^2-n)=0$ (4)
Để pt có nghiệm nguyên thì $\Delta=(1+2n^2)^2-4(1-2n^2-n)=4n^4+12n^2+4n-3$ là số chính phương 
Nhận xét : $(2n^2+4)^2>\Delta>(2n^2+2)^2$ 
Suy ra $\Delta=(2n^2+3)^2$ từ đó cho $n=3$ 
Thế vào cho ta $k^2-19k-20=0 \Leftrightarrow k=20$ 
Từ (3) cho ta $2.(20+1).3+1=127=p$
Vậy $p \in$ {2;127}

[ngochapid]

Ái chà 
Lời giải : 
Đặt $p^2-p-2=2k^3$ ($k \in \mathbb{N}$)
Suy ra $p(p-1)=2(k+1)(k^2-k+1)$ (1)
Xét $p=2$ thì nhận
$p>2$ thì xảy ra 2 TH 
TH1: $p|(k+1)$ 
Suy ra $k+1 \ge p$ 
Suy ra $k \ge p-1$ 
Vậy thì $p(p-1)=2(k+1)(k^2-k+1) \le k(k+1)$ (vô lí) 
TH2: $p|(k^2-k+1)$ 
Đặt $p.n=k^2-k+1$ với $n \in \mathbb{N}$  (2)
Thế vào (1) ta có : $2(k+1).p.n=p(p-1) \Rightarrow 2(k+1).n=p-1$  (3)
Tiếp tục thế vào (2) cho ta :  
$(2(k+1).n+1).n=k^2-k+1$ 
$\Leftrightarrow k^2-(1+2n^2).k+(1-2n^2-n)=0$ (4)
Để pt có nghiệm nguyên thì $\Delta=(1+2n^2)^2-4(1-2n^2-n)=4n^4+12n^2+4n-3$ là số chính phương 
Nhận xét : $(2n^2+4)^2>\Delta>(2n^2+2)^2$ 
Suy ra $\Delta=(2n^2+3)^2$ từ đó cho $n=3$ 
Thế vào cho ta $k^2-19k-20=0 \Leftrightarrow k=20$ 
Từ (3) cho ta $2.(20+1).3+1=127=p$
Vậy $p \in$ {2;127}

Đoạn này sai rồi, không hề vô lý nhé.

Sẽ suy ra $\left ( \sqrt{2}k-\frac{3}{2\sqrt{2}} \right )\leq 1$ không thể sai

[I Love MC]

Đoạn này sai rồi, không hề vô lý nhé.

Sẽ suy ra $\left ( \sqrt{2}k-\frac{3}{2\sqrt{2}} \right )\leq 1$ không thể sai

Xin bạn hãy đọc lại sẽ không sai đâu

[ngochapid]

Xin bạn hãy đọc lại sẽ không sai đâu

À

Xin lỗi cậu.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngochapid: 19-02-2016 - 21:57

[I Love MC]

Bạn ko đọc rõ à ? $k \in \mathbb{N}$ 
Thì suy ra cái bình phương của cậu sẽ $\ge \frac{9}{8} \ge 1$

[I Love MC]

Mở rộng : 
Balkan MO 2005 : Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho $p^2-p+1$ là lập phương của một số tự nhiên