Chủ đề này có 4 trả lời

[marcoreus101]

1) Cho ba số dương $x,y,z$ có $x+y+z=1$. Chứng minh $\sum \frac{1+\sqrt{x}}{y+z}\geq \frac{9+3\sqrt{3}}{2}$

2) Cho $x\geq y\geq z> 0$. Chứng minh $\sum \frac{x^2y}{z}\geq (x^2+y^2+z^2)^2$

[phamngochung9a]

1) Cho ba số dương $x,y,z$ có $x+y+z=1$. Chứng minh $\sum \frac{1+\sqrt{x}}{y+z}\geq \frac{9+3\sqrt{3}}{2}$

2) Cho $x\geq y\geq z> 0$. Chứng minh $\sum \frac{x^2y}{z}\geq (x^2+y^2+z^2)^2$

2) 

Hình như đề là: $\sum \frac{x^2y}{z}\geq x^2+y^2+z^2$

Theo Bunakovsky's inequality, ta có:

$\sum \frac{x^{2}y}{z}.\sum \frac{x^{2}z}{y}\geq \left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )$

Vậy ta chỉ cần chứng minh:

$\sum \frac{x^{2}y}{z}\geq \sum \frac{x^{2}z}{y}(*)$

Thật vậy:

$(*)\Leftrightarrow \sum \frac{x^{2}y}{z}-\sum \frac{x^{2}z}{y}=\frac{(x-y)(y-z)(x-z)}{xyz}.(xy+yz+zx)\geq 0(TRUE)$

$\Rightarrow \left ( \sum \frac{x^{2}y}{z} \right )^{2}\geq \left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )\\\Rightarrow \sum \frac{x^{2}y}{z}\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}$

[phamngochung9a]

1) Cho ba số dương $x,y,z$ có $x+y+z=1$. Chứng minh $\sum \frac{1+\sqrt{x}}{y+z}\geq \frac{9+3\sqrt{3}}{2}$

2) Cho $x\geq y\geq z> 0$. Chứng minh $\sum \frac{x^2y}{z}\geq (x^2+y^2+z^2)^2$

1) Đổi biến:  $\left ( x,y,z \right )\rightarrow (a^{2},b^{2},c^{2})$

$VT=\sum \frac{1+a}{b^{2}+c^{2}}=\sum \frac{1+a}{1-a^{2}}$$= \sum \frac{1}{1-a}$

 

đến đây là nhận ra một bài toán quen thuộc  , xem ở đây

[I Love MC]

Vietnam MO 1991

[Element hero Neos]

Câu $1$ có thể làm cách "cơ bắp" như sau:

   $B1$: Ta sẽ chứng minh $\frac{1+\sqrt{x}}{y+z}=\frac{1+\sqrt{x}}{1-x}=\frac{1}{1-\sqrt{x}}\geq \frac{9+6\sqrt{3}}{4}x+\frac{3}{4}$

   $B2$: Sau đó xây dựng các BĐT tươngtự rồi cộng lại ra điều phải chứng minh

   (Chỗ "$\geq$" ở $B1$ chứng minh bằng cách quy đồng) 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Element hero Neos: 26-02-2016 - 21:15