Đến nội dung

Hình ảnh

$2^n|(19^k-87)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

Chứng minh rằng $\forall n \in \mathbb{N}$ thì $\exists k \in \mathbb{N^*}$ thỏa $2^n|(19^k-87)$ 
Vietnam MO 1997


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 26-02-2016 - 21:08


#2
thinhrost1

thinhrost1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết

Chứng minh rằng $\forall n \in \mathbb{N}$ thì $\exists k \in \mathbb{N^*}$ thỏa $2^n|(19^k-87)$ 
Vietnam MO 1997

Đề gốc là 97 mà nhỉ, 87 vẫn đúng.

 

$v_2(19^{2^n}-1)=v_2((19^{2^{n-1}}-1)(19^{2^{n-1}}+1)))=v_2((19^{2^{n-1}}+1)(19^{2^{n-2}}-1)(19^{2^{n-2}}+1))=..=v_2((19^{2^{n-1}}+1)(19^{2^{n-2}}+1)..(19^{2^{2}}+1)(19^2+1)(19^2-1))=1+1+1...+3=n-1+3=n+2$

 

Suy ra: $19^{2^n}-1$ chia hết $2^{n+2}$

 

Ta chứng minh abwgnf quy nạp. Rõ ràng $n=1,2,3$ đúng. Giả sử đúng tới $n$ có nghĩa là tồn tại $a$ sao cho:

$19^a-87$ chia hết $2^n$ 

 

Suy ra: $ 19^a-87 \equiv 0, 2^n mod (2^{n+1})$

 

Nếu $19^a-87 \equiv 0 (mod 2^{n+1})$ thì ta có đpcm

 

Nếu $19^a-87 \equiv 2^n (mod 2^{n+1})$ thì đặt $k=a+2^{n-2}$

 

$19^k-87=19^{2^{n-2}}(19^a-87)+87(19^{2^{n-2}}-1) \equiv 0 (mod 2^{n+1})$

 

Vậy ta có điều phải chứng minh.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thinhrost1: 26-02-2016 - 21:37


#3
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

Đề gốc là 97 mà nhỉ, 87 vẫn đúng.

 

$v_2(19^{2^n}-1)=v_2((19^{2^{n-1}}-1)(19^{2^{n-1}}+1)))=v_2((19^{2^{n-1}}+1)(19^{2^{n-2}}-1)(19^{2^{n-2}}+1))=..=v_2((19^{2^{n-1}}+1)(19^{2^{n-2}}+1)..(19^{2^{2}}+1)(19^2+1)(19^2-1))=1+1+1...+3=n-1+3=n+2$

 

Suy ra: $19^{2^n}-1$ chia hết $2^{n+2}$

 

Ta chứng minh abwgnf quy nạp. Rõ ràng $n=1,2,3$ đúng. Giả sử đúng tới $n$ có nghĩa là tồn tại $a$ sao cho:

$19^a-87$ chia hết $2^n$ 

 

Suy ra: $ 19^a-87 \equiv 0, 2^n mod (2^{n+1})$

 

Nếu $19^a-87 \equiv 0 (mod 2^{n+1})$ thì ta có đpcm

 

Nếu $19^a-87 \equiv 2^n (mod 2^{n+1})$ thì đặt $k=a+2^{n-2}$

 

$19^k-87=19^{2^{n-2}}(19^a-87)+87(19^{2^{n-2}}-1) \equiv 0 (mod 2^{n+1})$

 

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Có cách ko dùng LTE vẫn đúng :) 



#4
that bai

that bai

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 15 Bài viết

Chứng minh rằng $\forall n \in \mathbb{N}$ thì $\exists k \in \mathbb{N^*}$ thỏa $2^n|(19^k-87)$ 
Vietnam MO 1997

bạn có nhiều bài toán hay thật ?bạn  có thể đăng một ít tài liệu mà bạn có được không . cảm ơn 






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh