3 replies to this topic

[tranwhy]

Tìm giá trị nhỏ nhất của: $ A=\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y} $

Với x,y,z là các số dương và $ x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 $

[ineX]

Muộn rồi nên mình không giải hoàn toàn ra nữa, mong bạn tham khảo Đề France Pre MO 2005. Hai bài gần như giống hệt nhau, khác mỗi số!

[tranwhy]

Muộn rồi nên mình không giải hoàn toàn ra nữa, mong bạn tham khảo Đề France Pre MO 2005. Hai bài gần như giống hệt nhau, khác mỗi số!

thank bạn, nhưng mình ko hiểu tiếng anh

[tquangmh]

Mình xin làm bài này theo link của bạn ineX (Theo mình hai cách này dễ hiểu nhất) : 

Cách 1 : Có $a^{2}+b^{2}+c^{2}=\frac{ca}{b}.\frac{ab}{c}+\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}.\frac{cb}{a}=1$   (1)

Đặt : $x=\frac{bc}{a};y=\frac{ca}{b};z=\frac{ab}{c}$ thì theo (1) ta có : $xy + yz + zx = 1$ và $A=x+y+z$

Ta có BĐT phụ : $(x+y+z)^{2}\geq 3(xy+yz+zx)$ (Biến đổi tương đương là ra), áp dụng vào bài, ta có : 

$A^{2}=(x+y+z)^{2}\geq3(xy+yz+zx)=3\Rightarrow A\geq \sqrt{3}$.

Vậy : $minA=\sqrt{3}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

 

Cách 2 : Ta có : $A^{2}=\frac{a^{2}b^{2}}{c^{2}}+\frac{b^{2}c^{2}}{a^{2}}+\frac{c^{2}a^{2}}{b^{2}}+2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}$

mà : $\frac{a^{2}b^{2}}{c^{2}}+\frac{b^{2}c^{2}}{a^{2}}\geq2b^{2}$

Tương tự, cộng theo vế, ta có : $\frac{a^{2}b^{2}}{c^{2}}+\frac{b^{2}c^{2}}{a^{2}}+\frac{c^{2}a^{2}}{b^{2}}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

Nên : $A^{2}\geq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})=3\Rightarrow A\geq\sqrt{3}$. 

Vậy : $minA=\sqrt{3}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

 

P/S : Mình ghi lộn biến rồi, bạn cứ đổi (a;b;c) thành (x;y;z) đi, còn (x;y;z) thành (a;b;c).   

Edited by tquangmh, 02-03-2016 - 09:46.