Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm $(x, y) \in \mathbb{Z}^{2}$: $$9x^{2} + 6x + 10 = y^{3}$$

- - - - - số học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1
Ego

Ego

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 296 Bài viết

Tìm $(x, y) \in \mathbb{Z}^{2}$:
$$9x^{2} + 6x + 10 = y^{3}$$



#2
Visitor

Visitor

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 66 Bài viết

Tìm $(x, y) \in \mathbb{Z}^{2}$:
$$9x^{2} + 6x + 10 = y^{3}$$

$pt\Leftrightarrow (3x+1)^2+1=(y-2)(y^2+2y+4)$

Gọi $p$ là ước nguyên tố bất kì của $y^2+2y+4$ thì $p|(3x+1)^2+1$

$\Rightarrow (\frac{-3}{p})= 1,(\frac{-1}{p})=1\Rightarrow \Rightarrow  (\frac{3}{p})= 1$

suy ra $p\equiv \pm 1(mod12)\Rightarrow y^2+2y+4\equiv \pm 1(mod12)$ 

vô lí vì $ y^2+2y+4\not\equiv \pm 1(mod12)$

PT vô nghiệm 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Visitor: 05-03-2016 - 00:41

__________

Bruno Mars


#3
Ego

Ego

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 296 Bài viết

$pt\Leftrightarrow (3x+1)^2+1=(y-2)(y^2+2y+4)$
Gọi $p$ là ước nguyên tố bất kì của $y^2+2y+4$ thì $p|(3x+1)^2+1$
$\Rightarrow (\frac{-3}{p})= 1,(\frac{-1}{p})=1\Rightarrow \Rightarrow  (\frac{3}{p})= 1$
suy ra $p\equiv \pm 1(mod12)\Rightarrow y^2+2y+4\equiv \pm 1(mod12)$ 
vô lí vì $ y^2+2y+4\not\equiv \pm 1(mod12)$
PT vô nghiệm

Lời giải của bạn rất hay nhưng có chỗ không đúng. Lý do: Ký hiệu Legendre chỉ dùng cho số nguyên tố lẻ thôi
Tuy nhiên vẫn có cách khắc phục: $y^{2} + 2y + 4 \vdots 2 \iff y \vdots 2 \iff x \vdots 2$. Mặt khác để ý $\text{VT} \equiv 2 \pmod{4}$ và $y^{3} \equiv 0\pmod{4}$. Vô lí, do đó $y^{2} + 2y + 4$ lẻ, áp dụng bài toán của bạn là xong.
P.s: mình có 1 ý tưởng khác xấu xí tí. :-). À Visitor này, mình hỏi riêng bạn chuyện này được không nhỉ?

#4
Visitor

Visitor

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 66 Bài viết

Lời giải của bạn rất hay nhưng có chỗ không đúng. Lý do: Ký hiệu Legendre chỉ dùng cho số nguyên tố lẻ thôi
Tuy nhiên vẫn có cách khắc phục: $y^{2} + 2y + 4 \vdots 2 \iff y \vdots 2 \iff x \vdots 2$. Mặt khác để ý $\text{VT} \equiv 2 \pmod{4}$ và $y^{3} \equiv 0\pmod{4}$. Vô lí, do đó $y^{2} + 2y + 4$ lẻ, áp dụng bài toán của bạn là xong.
P.s: mình có 1 ý tưởng khác xấu xí tí. :-). À Visitor này, mình hỏi riêng bạn chuyện này được không nhỉ?

lâu ko dùng Legendre quên mất :-) 
P.s: ừ,bạn ib đi :-)


__________

Bruno Mars


#5
babystudymaths

babystudymaths

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết

Mình chỉ vừa dạo qua, không biết bạn có lời giải bài này chưa, thôi cứ post lên vậy.

Pt <=> $9x^{2}+6x+10-y^{3}=0$

Ta có $\Delta = 36- 36(10-y^{3})$là số chinh phương => $y^{3}-29$là số chính phương => $9x^{2}+6x-19$là số chính phương

Đặt $9x^{2}+6x-19=a^{2} <=> 20=(3x+1-a)(3x+1+a )$

Đến đây bạn tự tính tiếp được


TLongHV


#6
misakichan

misakichan

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 113 Bài viết

Mình chỉ vừa dạo qua, không biết bạn có lời giải bài này chưa, thôi cứ post lên vậy.

Pt <=> $9x^{2}+6x+10-y^{3}=0$

Ta có $\Delta = 36- 36(10-y^{3})$là số chinh phương => $y^{3}-29$là số chính phương => $9x^{2}+6x-19$là số chính phương

Đặt $9x^{2}+6x-19=a^{2} <=> 20=(3x+1-a)(3x+1+a )$

Đến đây bạn tự tính tiếp được

Cho mình hỏi tại sao ở đây delta là SCP ko?



#7
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Cho mình hỏi tại sao ở đây delta là SCP ko?

Vì $x,y$ của đề là nguyên nên trước hết phải để $x$ hữu tỉ trước. 

Do đó Delta phải là SCP.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 17-08-2016 - 20:51

$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#8
bolobala123456

bolobala123456

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết

Mình chỉ vừa dạo qua, không biết bạn có lời giải bài này chưa, thôi cứ post lên vậy.

Pt <=> $9x^{2}+6x+10-y^{3}=0$

Ta có $\Delta = 36- 36(10-y^{3})$là số chinh phương => $y^{3}-29$là số chính phương => $9x^{2}+6x-19$là số chính phương

Đặt $9x^{2}+6x-19=a^{2} <=> 20=(3x+1-a)(3x+1+a )$

Đến đây bạn tự tính tiếp được

Delta phải ra là 36y^3 chứ nhỉ, sao lại có số 29, bạn gt giùm mk vs, tks bạn



#9
babystudymaths

babystudymaths

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết
Mình tính nhầm đó. Xin lỗi mọi người .

TLongHV






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số học

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh