2 replies to this topic

[Royal Sky]

Cho a,b,c dương.CM:

$9(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8(ab+bc+ca)(a+b+c)$

[superpower]

Cho a,b,c dương.CM:

$9(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8(ab+bc+ca)(a+b+c)$

Để ý rằng

$(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca) -abc $

Sau đó đánh giá $(a+b+c)(ab+bc+ca) \geq 9abc $

Thay vào là ra

[royal1534]

Cho a,b,c dương.CM:

$9(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8(ab+bc+ca)(a+b+c)$

Ta có đẳng thức sau: $9(a+b)(b+c)(c+a)=9[(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc]=9(ab+bc+ca)(a+b+c)-9abc$

Theo bất đẳng thức AM-GM ta có $(a+b+c)(ab+bc+ca) \geq 3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=9abc$

$\rightarrow 9(ab+bc+ca)(a+b+c)-9abc \geq 8(ab+bc+ca)(a+b+c)$

$\rightarrow 9(a+b)(b+c)(c+a) \geq 8(ab+bc+ca)(a+b+c)$

Ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$