Chủ đề này có 9 trả lời

[ineX]

Học sinh lớp 10 trường THPT Chuyên Sư Phạm thi dự tuyển vào hai ngày 14 và 15 tháng 3 năm 2016

Xin phép không LateX ra!

Hình gửi kèm

• 

[ineX]

Ngày hai:

 

Hình gửi kèm

• 

[viet nam in my heart]

Mình xin ủng hộ lời giải hai bài hình ( hai bài này tương đối quen thuộc rồi. Cả hai bài đều đòi hỏi sử dụng các kiến thức về phương tích, trục đẳng phương)

Bài 1: (Bài 3 ngày 1)

Dễ thấy bài toán được chứng minh nếu ta chỉ ra được $OH$ là trục đẳng phương của $(O_1)$ và $(O_2)$

Ta có: $BFEC$ nội tiếp suy ra $HB.HE=HC.HF$ nên $H$ thuộc trục đẳng phương của $(O_1)$ và $(O_2)$

$OB$ cắt $(BEM)$ tại điểm thứ hai $Z$. $OC$ cắt $(CFN)$ tại điểm thứ hai $T$

Ta có: $\widehat{MZB}=\widehat{MEB}=\widehat{ABH}=\widehat{CBZ}$ suy ra $MZ \parallel BC$ suy ra $M,Z,N$ thẳng hàng

Tương tự $M,T,N$ thẳng hàng nên $M,N,T,Z$ thẳng hàng

Mà $OB=OC$ nên dễ dàng suy ra $OZ=OT$ suy ra $OB.OZ=OC.OT$ hay $O$ thuộc trục đẳng phương của $(O_1)$ và $(O_2)$

Do đó $OH$ là trục đẳng phương của $(O_1)$ và $(O_2)$ suy ra  $OH \perp O_{1}O_{2}$

Bài 2: (Bài 3 ngày 2)

Bài này có cấu hình quen thuộc để sử dụng tính chất của hàng điểm điều hòa và có nhiều bổ đề phụ xung quanh nó vì thế để giải quyết bài toán này chỉ cần biết và sử dụng những bổ đề này là xong

Gọi $G$ là giao điểm của $AB$ và $CD$. Gọi $I$ là trung điểm $EF$. GỌi $L$ là giao điểm của $PN$ và $NQ$

Kẻ các tiếp tuyến $GK,GH$ với $(O)$. Gọi $R,S$ lần lượt là trung điểm của $EK,EH$

a) Ta có các hàng điều hòa cơ bản sau: $(GPAB)=-1,(GQDC)=-1$

Do đó theo hệ thức $Maclaurint$ và tính chất của phương tích thì: $GP.GM=GA.GB=GD.GC=GQ.GN$

Suy ra $M,N,P,Q$ cùng thuộc một đường tròn có tâm $T$

b) Theo định lý về đường thẳng $Gauss$ thì $M,N,I$ thẳng hàng

Bổ đề 1: $F,K,H$ thẳng hàng (Đây là bổ đề quen thuộc nên mình xin phép không chứng minh lại ở đây)

Từ đây theo tính chất về đường trung bình dễ thấy $I,R,S$ thẳng hàng 

Bổ đề 2: $EF$ là tiếp tuyến của $(MFN)$  (Đây cũng là một bổ đề quen thuộc và đã được giải quyết ở http://diendantoanho...ắt-acab-tại-ef/)

Bổ đề 3: $I$ là tâm đẳng phương của $(T)$, $(O)$ và $E$ (ở đây mình dùng khái niệm về trục đẳng phương của một đường tròn với một điểm các bạn có thể xem thêm tại: https://nguyenvanlin...t-and-a-circle/)

Chứng minh:

Theo bổ đề $2$ thì $IE^2=IF^2=IM.IN$ suy ra $I$ nằm trên trục đẳng phương của $(T)$ và $E$

Ta có: $RS$ là trục đẳng phương của $(O)$ và $E$ mà $I,R,S$ thẳng hàng nên $I$ nằm trên trục đẳng phương của $(O)$ và $E$

Do đó $I$ là tâm đẳng phương của $(T)$, $(O)$ và $E$

Bổ đề 4: $GI \perp OT$

Chứng minh:

Theo bổ đề $3$ thì $I$ nằm trên trục đẳng phương của $(T)$ và $(O)$

Lại có: $GP.GM=GA.GB$ nên $G$ nằm trên trục đẳng phương của $(T)$ và $(O)$

Do đó $GI$ là trục đẳng phương của $(T)$ và $(O)$. Suy ra $GI \perp OT$

Trở lại bài toán: Đề chứng minh $PN,QM,OT$ đồng quy thì theo bổ đề $4$ chỉ cần chứng minh  $GI \perp LT$

Nhưng điều này luôn đúng bởi định lý $Brocard$ cho tứ giác nội tiếp $MNQP$

Mãi mấy hôm nay mới có thời gian lên diễn đàn làm bài. Mình không có nhiều thời gian nên trong bài làm không sử dụng góc định hướng và độ dài đại số vì vậy chứng minh phụ thuộc hình vẽ. Mọi người thông cảm. Định làm thêm bài số học ngày $1$ nữa nhưng muộn quá rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet nam in my heart: 15-03-2016 - 23:53

[ineX]

Mình xin ủng hộ lời giải hai bài hình ( hai bài này tương đối quen thuộc rồi. Cả hai bài đều đòi hỏi sử dụng các kiến thức về phương tích, trục đẳng phương)

Bài 1: (Bài 3 ngày 1)

Untitled.jpg

Dễ thấy bài toán được chứng minh nếu ta chỉ ra được $OH$ là trục đẳng phương của $(O_1)$ và $(O_2)$

Ta có: $BFEC$ nội tiếp suy ra $HB.HE=HC.HF$ nên $H$ thuộc trục đẳng phương của $(O_1)$ và $(O_2)$

$OB$ cắt $(BEM)$ tại điểm thứ hai $Z$. $OC$ cắt $(CFN)$ tại điểm thứ hai $T$

Ta có: $\widehat{MZB}=\widehat{MEB}=\widehat{ABH}=\widehat{CBZ}$ suy ra $MZ \parallel BC$ suy ra $M,Z,N$ thẳng hàng

Tương tự $M,T,N$ thẳng hàng nên $M,N,T,Z$ thẳng hàng

Mà $OB=OC$ nên dễ dàng suy ra $OZ=OT$ suy ra $OB.OZ=OC.OT$ hay $O$ thuộc trục đẳng phương của $(O_1)$ và $(O_2)$

Do đó $OH$ là trục đẳng phương của $(O_1)$ và $(O_2)$ suy ra  $OH \perp O_{1}O_{2}$

Bài 2: (Bài 3 ngày 2)

Bài này có cấu hình quen thuộc để sử dụng tính chất của hàng điểm điều hòa và có nhiều bổ đề phụ xung quanh nó vì thế để giải quyết bài toán này chỉ cần biết và sử dụng những bổ đề này là xong

Untitled.jpg

Gọi $G$ là giao điểm của $AB$ và $CD$. Gọi $I$ là trung điểm $EF$. GỌi $L$ là giao điểm của $PN$ và $NQ$

Kẻ các tiếp tuyến $GK,GH$ với $(O)$. Gọi $R,S$ lần lượt là trung điểm của $EK,EH$

a) Ta có các hàng điều hòa cơ bản sau: $(GPAB)=-1,(GQDC)=-1$

Do đó theo hệ thức $Maclaurint$ và tính chất của phương tích thì: $GP.GM=GA.GB=GD.GC=GQ.GN$

Suy ra $M,N,P,Q$ cùng thuộc một đường tròn có tâm $T$

b) Theo định lý về đường thẳng $Gauss$ thì $M,N,I$ thẳng hàng

Bổ đề 1: $F,K,H$ thẳng hàng (Đây là bổ đề quen thuộc nên mình xin phép không chứng minh lại ở đây)

Từ đây theo tính chất về đường trung bình dễ thấy $I,R,S$ thẳng hàng 

Bổ đề 2: $EF$ là tiếp tuyến của $(MFN)$  (Đây cũng là một bổ đề quen thuộc và đã được giải quyết ở http://diendantoanho...ắt-acab-tại-ef/)

Bổ đề 3: $I$ là tâm đẳng phương của $(T)$, $(O)$ và $E$ (ở đây mình dùng khái niệm về trục đẳng phương của một đường tròn với một điểm các bạn có thể xem thêm tại: https://nguyenvanlin...t-and-a-circle/)

Chứng minh:

Theo bổ đề $2$ thì $IE^2=IF^2=IM.IN$ suy ra $I$ nằm trên trục đẳng phương của $(T)$ và $E$

Ta có: $RS$ là trục đẳng phương của $(O)$ và $E$ mà $I,R,S$ thẳng hàng nên $I$ nằm trên trục đẳng phương của $(O)$ và $E$

Do đó $I$ là tâm đẳng phương của $(T)$, $(O)$ và $E$

Bổ đề 4: $GI \perp OT$

Chứng minh:

Theo bổ đề $3$ thì $I$ nằm trên trục đẳng phương của $(T)$ và $(O)$

Lại có: $GP.GM=GA.GB$ nên $G$ nằm trên trục đẳng phương của $(T)$ và $(O)$

Do đó $GI$ là trục đẳng phương của $(T)$ và $(O)$. Suy ra $GI \perp OT$

Trở lại bài toán: Đề chứng minh $PN,QM,OT$ đồng quy thì theo bổ đề $4$ chỉ cần chứng minh  $GI \perp LT$

Nhưng điều này luôn đúng bởi định lý $Brocard$ cho tứ giác nội tiếp $MNQP$

Mãi mấy hôm nay mới có thời gian lên diễn đàn làm bài. Mình không có nhiều thời gian nên trong bài làm không sử dụng góc định hướng và độ dài đại số vì vậy chứng minh phụ thuộc hình vẽ. Mọi người thông cảm. Định làm thêm bài số học ngày $1$ nữa nhưng muộn quá rồi

 cảm ơn bạn, lời giải hay, mình cũng có hướng như vậy. về ý tưởng thì khá cũ.

bạn giúp mình bài cuối ngày một được không

[nguyenthib1602]

hướng câu hệ: bình phương hai vế hai phương trình rồi rút x+y ra và thế vào phương trình thứ hai

[viet nam in my heart]

 cảm ơn bạn, lời giải hay, mình cũng có hướng như vậy. về ý tưởng thì khá cũ.

bạn giúp mình bài cuối ngày một được không

Câu 4 (ngày 1) Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất sao cho với mọi tập gồm $k$ số tự nhiên luôn tồn tại $6$ phần tử trong tập có tổng là bội của $6$

Bài này đọc thì mình thấy nó giống với dạng phát biểu của một định lý nổi tiếng của $Erdos$ trong số học. Mình xin nêu lại định lý này:

Với mọi số nguyên dương $n>1$. Khi đó trong $2n-1$ số nguyên bất kỳ luôn tồn tại $n$ số có tổng chia hết cho $n$

Áp dụng vào bài toán này thì: Với mọi tập gồm $11$ số nguyên bất kỳ luôn tồn tại $6$ phần tử có tổng là bội của $6$

Do đó mình nghĩ giá trị nhỏ nhất của $k$ là $11$. Vấn đề bây giờ là tìm phản ví dụ với trường hợp $k=10$ 

Phản ví dụ đơn giản: $5$ số chia hết cho $6$ và $5$ số chia $6$ dư $1$/Hide]

Phần chứng minh định lý này mình có tìm thấy một bài chứng minh trên diễn đàn dựa theo cách chứng minh của thầy Trần Nam Dũng trên báo THTT. Mình xin trích lại ở đây:

 

Định lý Erdos: Chứng minh rằng mọi tập hợp $2n-1$ phần tử luôn tồn tại $n$ phần tử có tổng chia hết cho $n$ ($n \in N^*$)

 

gọi định lý trên là mệnh đề $\mathcal{E}(n)$

$\blacksquare$ ta chứng minh $\mathcal{E}(p)$ đúng với $p\in \mathbb{P}$

Với $p=2$ thì dễ thấy đúng ta xét với $p$ lẻ

gọi các số trong tập là $a_1,a_2,...,a_{2p-1}$

giả sử không tồn tại $p$ số nào chia hết cho $p$ 

$\Rightarrow \left ( a_{i_1}+a_{i_2}+...+a_{i_p} \right )^{p-1}\equiv 1(mod\ p)$

$\Rightarrow \sum_{1\le i_1<...<i_p\le 2p-1}\left ( a_{i_1}+a_{i_2}+...+a_{i_p} \right )^{p-1}\equiv \begin{pmatrix} 2p-1\\p \end{pmatrix}(mod\ p)$    $(*)$

ta có

$\begin{pmatrix} 2p-1\\p \end{pmatrix}\equiv \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} p-1\\ 0 \end{pmatrix}\not \equiv 0(mod\ p)$

ta sẽ chứng minh vế trái $(*)$ chia hết cho $p$,thật vậy ta có

 

$\sum_{1\le i_1<...<i_p\le 2p-1}\left ( a_{i_1}+a_{i_2}+...+a_{i_p} \right )^{p-1}=\sum_{s_1+s_2+...+s_p=p-1}\frac{(p-1)!}{s_1!s_2!...s_p!}\sum _{1\le i_1<...<i_p\le 2p-1}a_{i_1}^{s_1}a_{i_2}^{s_2}...a_{i_p}^{s_p}$

 

trong các số $s_1,s_2,...,s_p$ sẽ có $k\in \left [ 1,p-1 \right ]$ số bằng $0$ nên sẽ có $\begin{pmatrix} 2p-1-(p-m)\\m \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} p+m-1\\ m \end{pmatrix}$ cách chọn các số $a_{i_j}$

 

mà $s_j=0$ do đó số $a_{i_1}^{s_1}a_{i_2}^{s_2}...a_{i_p}^{s_p}$ sẽ được lặp $\begin{pmatrix} p+m-1\\m \end{pmatrix}$ lần

mặt khác 

$\begin{pmatrix} p+m-1\\ m \end{pmatrix}\equiv \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} m-1\\m \end{pmatrix}\equiv 0(mod\ p)$

$\Rightarrow p\mid VT_{(*)}$

điều này dẫn đến mâu thuẫn

$\blacksquare$ ta chứng minh nếu $\mathcal{E}(u)$ và $\mathcal{E}(v)$ đúng thì $\mathcal{E}(uv)$ đúng

gọi $2uv-1$ số nguyên dương là $a_1,a_2,...,a_{2uv-1}$

vì $2uv-1>2u-1$ nên tồn tại $u$ số có tổng chia hết cho $u$ và gọi tổng đó là $b_1$

lặp lại $2v-2$ lần ta có các tổng $b_1,b_2,...,b_{2v-2}$ chia hết cho $u$

do đó còn lại $2uv-1-u(2v-2)=2u-1$ số thì chọn được tổng $b_{2v-1}$ số chia hết cho $u$

mặt khác trong các số $b_1,b_2,...,b_{2v-1}$  ta sẽ chọn được $v$ số chia hết cho $v$

mặt khác $v$ số này cũng chia hết cho $u$ nên $uv$ số này $($ do mỗi tổng có $u$ số $)$ chia hết cho $uv$

 

vậy bài toán được chứng minh hoàn toán

[Hide] Với trường hợp số $6=2.3$ thì ta chứng minh định lý $Erdos$ đúng trong trường hợp $n=2$ và $n=3$ khá dễ dàng bằng cách xét các trường hợp số dư và áp dụng nguyên lý $Dirichlet$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet nam in my heart: 19-03-2016 - 16:25

[ineX]

Đề câu bất đẳng thức (gõ ra do hơi mờ):

Với các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện $(a+b+c)abc=1$

Tìm giá trị nhỏ nhất của:

 

$P=\frac{a^{5}}{a^{3}+2b^{3}}+\frac{b^{5}}{b^{3}+2c^{3}}+\frac{c^{5}}{c^{3}+2a^{3}}$

[happyfree]

Đề câu bất đẳng thức (gõ ra do hơi mờ):

Với các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện $(a+b+c)abc=1$

Tìm giá trị nhỏ nhất của:

 

$P=\frac{a^{5}}{a^{3}+2b^{3}}+\frac{b^{5}}{b^{3}+2c^{3}}+\frac{c^{5}}{c^{3}+2a^{3}}$

Sử dụng kĩ thuật $AM-GM$ ngược dấu:

Có $\frac{a^5}{a^3+2b^3}=a^2-\frac{2a^2b^3}{a^3+2b^3} \geq a^2-\frac{2a^2b^3}{3ab^2} = a^2-\frac{2}{3}ab$

Suy ra $P \geq a^2+b^2+c^2-\frac{2}{3}(ab+bc+ca) \geq \frac{a^2+b^2+c^2}{3}$

Có $\frac{1}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{abc(a+b+c)}{3}} \leq \sqrt{\frac{(ab+bc+ca)^2}{9}} \leq  \sqrt{\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{9}}=  \frac{a^2+b^2+c^2}{3}$

Suy ra $P \geq \frac{1}{\sqrt{3}}$

[Subtract Zero]

 

Câu 3b ngày hai

Gọi 

MQ cắt NP tại X. QT,PT cắt (T) tại Y,Z.

Dễ thấy $\angle YNC=\angle ONC=90^0\Rightarrow \overline{Y,O,N}$

Tương tự $\overline{M,O,Z}$

Áp dụng định lý Pascal cho 6 điểm Y,M,P,Q,N,Z ta có $\overline{X,O,T}$ suy ra đpcm

 

 

 

[ThanhPhong1910]

bài hệ là hệ đối xứng 2. Chắc ai cũng giải đc