Chủ đề này có 3 trả lời

[PlanBbyFESN]

Bài toán tổng quát:(PlanBbyFESN)

 

              Cho $x,y,z$ là ba số dương thỏa mãn: $x+y+z=k$          $(\forall k>0)$

 

                         Tìm min:  $P=x^{2}+y^{2}+z^{2}+\frac{9xyz}{2k}$

 

 

Chọn $k=3$ ta sẽ có bài toán sau:

 

Bài toán: Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=3$

 

Tìm min: $P=x^{2}+y^{2}+z^{2}+\frac{3xyz}{2}$

 

* Lời giải của mình sẽ đưa ra sau khi nhận hết tất cả lời giải của các bạn!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 18-03-2016 - 16:04

[Namthemaster1234]

Xử bài tổng quát luôn.

 

$P=p^2-2q+\frac{9r}{k} \geq k^2-2q+\frac{4q-k^2}{2}=\frac{k^2}{2}$

 

Dấu $=$ khi $a=b=c=\frac{k}{3}$

[Chris yang]

Áp dụng BĐT Schur bậc 3:

$xyz\geq (k-2x)(k-2y)(k-2z)\Rightarrow 9xyz\geq 4k(xy+yz+xz)-k^3$

$\Rightarrow P\geq x^2+y^2+z^2+\frac{4(xy+yz+xz)-k^2}{2}=\frac{2(x+y+z)^2-k^2}{2}=\frac{k^2}{2}$

Dấu $=$ xảy ra khi ba biến bằng nhau

[PlanBbyFESN]

Bài này được tổng hợp các lời giải tại đây!