Bài 185: Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác và thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+ab-2bc+2ca=0$.
Tìm GTNN của $P=\frac{c^2}{(a+b-c)^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}$
Đúng như bạn Caobo171 đã nói, bài này cũng sai đề. Đây là câu cuối đề thi HSG Bắc Giang lớp 12 năm 2015- 2016.
Giả thiết đúng phải là: $a^2+b^2+c^2+ab-2bc{\color{Red}- }2ca=0$
Đặt $\left\{\begin{matrix} a=xc & \\ b=yc & \end{matrix}\right.$ khi đó: $x^{2}+y^{2}+xy+1-2x-2y=0$
Khi đó: $a+b> c\Rightarrow xc+yc> c\Rightarrow x+y> 1$
Ta có:
$P=\frac{1}{\left ( x+y-1 \right )^{2}}+\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{\sqrt{xy}}{x+y}$
Biến đổi giả thiết:
- $xy=\left ( x+y-1 \right )^{2}\Rightarrow \sqrt{xy}=x+y-1$ (do $x+y> 1$ )
- $x^{2}+y^{2}=-\left ( x+y \right )^{2}+4\left ( x+y \right )-2$
Vậy:
$P=\frac{1}{\left ( x+y-1 \right )^{2}}+\frac{1}{-\left ( x+y \right )^{2}+4\left ( x+y \right )-2}+\frac{x+y-1}{x+y}$
Đặt $x+y=t$ và khảo sát hàm chắc là ngon rồi
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 26-06-2016 - 10:04