Chủ đề này có 383 trả lời

[VODANH9X]

 

$\boxed{12}$ Cho $a,b,c$ là các số thực thoả mãn $\left ( \frac{a+b+c}{2016} \right )^2\leq 4abc$ . Tìm GTLN của biểu thức:

 

$$P=\frac{\sqrt{a}}{a+\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{b}}{b+\sqrt{ca}}+\frac{\sqrt{c}}{c+\sqrt{ab}}$$

 

 

 

Em xin chiến bài này.

Ta có P=$\sum \frac{\sqrt{a}}{a+\sqrt{bc}}\leq \sum \frac{\sqrt{a}}{2\sqrt{a\sqrt{bc}}}$

$=\sum \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt[4]{bc}}\leq \frac{1}{2}\sum \frac{1}{\sqrt{bc}}$

$=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{abc}}\leq \frac{a+b+c}{\sqrt{abc}}$

Ta lại có  $\frac{(a+b+c)^{2}}{2016^2}\leq 4abc$

Suy ra:$\frac{a+b+c}{\sqrt{abc}}\leq \frac{1}{1008}$

Suy ra P$\leq \frac{1}{1008}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 24-04-2016 - 15:12
LaTeX

[Dinh Xuan Hung]

Bài 40 (ĐỀ THI THỬ LÂN 01 QUỲNH LƯU 3 – NGHỆ AN-Năm 2016)

 

Cho các số dương $x,y$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

 

$$P=\frac{1}{\sqrt{x^2+3y^2}}+\frac{1}{\sqrt{3x^2+y^2}}-\frac{2}{3(x+y)^3}$$

 

Bài 41 (ĐỀ THI THỬ TỈNH NAM ĐỊNH-Năm 2016)

 

Cho $x,y,z$ là các số dương thỏa mãn $xy+xz+1=x$

 

Tìm giá trị lớn nhất của $P=(xy+xz+2)\left ( 1+\frac{1}{y} \right )\left ( 1-\frac{4}{3z} \right )$

 

Bài 42 (THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình-2016)

 

Cho $a,b,c\in[1;+\infty )$ thỏa mãn $3(a+b+c)=a^2+b^2+c^2+2ab$.Tìm GTNN của biểu thức:

 

$$P=\frac{a^2}{(a+b)^2+a}+\frac{a}{a+c^2}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 01-05-2016 - 20:53

[rocket]

Bài 43:Chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2016 (lần 1)

Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi, tìm giá trị nhỏ nhất của:

$P=\frac{(a+c)(a+4b+c)(a+b+c)^{3}}{abc\left [ 5(a^{2}+b^{2}+c^{2})+ab+bc+ca \right ]}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 28-04-2016 - 17:37
Thêm STT

[ineX]

Bài 40:

Ta có: $$\frac{1}{\sqrt{x^{2}+3y^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{3x^{2}+y^{2}}}\leq \frac{2}{x+y}$$

Thật vậy: $(\frac{1}{\sqrt{x^{2}+3y^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{3x^{2}+y^{2}}})^{2}-\frac{4}{(x+y)^{2}} \leq  \frac{8x^{2}+8y^{2}}{(x^{2}+3y^{2})(3x^{2}+y^{2})}-\frac{4}{(x+y)^{2}}=\frac{-4(x-y)^{4}}{(x^{2}+3y^{2})(3x^{2}+y^{2})(x+y)^{2}}\leq 0$

DO đó $$P\leq \frac{2}{x+y}-\frac{2}{3(x+y)^{3}}$$

Đặt $\frac{1}{x+y}=t$ với $t>0$

xét hàm $f(t)=f(t)=2t-\frac{2t^{2}}{3}\Rightarrow f'(t)=2-2t^{2}\Rightarrow f'(t)=0\Leftrightarrow t=1$ hoặc $t=-1$

Lập bảng biến thiên ta được $Max P=\frac{4}{3}$ khi $x=y= \frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ineX: 28-04-2016 - 23:01

[ineX]

 

 

Bài 41 (ĐỀ THI THỬ TỈNH NAM ĐỊNH-Năm 2016)

 

Cho $x,y,z$ là các số dương thỏa mãn $xy+xz+1=x$

 

Tìm giá trị lớn nhất của $P=(xy+xz+2)\left ( 1+\frac{1}{y} \right )\left ( 1-\frac{4}{3z} \right )$

 

Có : $P=(1+x)\left ( 1+\frac{1}{y} \right )\left ( 1-\frac{4}{3z} \right )$

Đổi $\frac{1}{x}=t$ thì $y+z+t=1$ 

 

Có $0<y,x,t< 1$ nên $1-\frac{4}{3z}< 0$ 

Xét: $\left ( 1+\frac{1}{y} \right )\left ( 1 +\frac{1}{t}\right )\geq \left ( 1+\frac{1}{\sqrt{yt}} \right )^{2}\geq \left ( 1+\frac{2}{y+t} \right )^{2}=\left ( 1\frac{2}{1-z} \right )^{2}\Rightarrow P\leq \left ( 1+\frac{2}{1-z} \right )^{2}\left ( 1-\frac{4}{3z} \right )$

Xét hàm: $f(z)=\left ( 1+\frac{2}{1-z} \right )^{2}\left ( 1-\frac{4}{3z} \right )=\frac{(z-3)^{2}}{(z-1)^{2}}\left ( \frac{3z-4}{3z} \right )$

với $0<z<1$

Có $f'(z)=0\Leftrightarrow z=\frac{1}{2}$

Đến đây lập bảng biến thiên ta thu được $Max P= \frac{-125}{3} khi x=4,y=\frac{1}{4},z=\frac{1}{2}$

[Juliel]

Bài 42 (THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình-2016)

 

Cho $a,b,c\in[1;+\infty )$ thỏa mãn $3(a+b+c)=a^2+b^2+c^2+2ab$.Tìm GTNN của biểu thức:

 

$$P=\frac{a^2}{(a+b)^2+a}+\frac{a}{a+c^2}$$

 

Lời giải :

 

Gỉa thiết đã cho có thể viết dưới dạng :

$$3(a+b+c)=(a+b)^2+c^2$$

Áp dụng BĐT AM-GM :

$$3(a+b+c)=(a+b)^2+c^2\leq \dfrac{1}{2}(a+b+c)^2\Leftrightarrow a+b+c\leq 6\Leftrightarrow b+c\leq 6-a$$

Theo BĐT Cauchy-Schwarz :

$$P\geq \dfrac{\left ( a+\sqrt{a} \right )^2}{a^2+(b+c)^2+2a}=\dfrac{\left ( a+\sqrt{a} \right )^2}{5a+3(b+c)}\geq \dfrac{\left ( a+\sqrt{a} \right )^2}{5a+3(6-a)}=\dfrac{\left ( a+\sqrt{a} \right )^2}{2a+18}=f(a)$$

Dễ dàng thấy $f(a)$ đồng biến trên $\left [ 1,\infty \right )$ nên $P\geq f(a)\geq f(1)=\dfrac{1}{5}$

Kết luận : 

Gía trị nhỏ nhất của $P$ là $\dfrac{1}{5}$, đạt được khi $a=1,b=2,c=3$.

[Juliel]

Bài 43 (Thi thử THPT Quốc gia 2016 THPT Lý Tự Trọng, Nam Định)

Cho $a,b,c$ dương thoả $a+b+c=1$. Tìm GTNN :

$$P=\dfrac{a^2}{(1-a)^2+5bc}+\dfrac{16b^2-27(a+bc)^2}{36(a+c)^2}$$

 

Bài 44. Cho $a,b,c$ dương có tích bằng $1$. Tìm GTNN :

$$P=\dfrac{x^3+1}{\sqrt{x^4+y+z}}+\dfrac{y^3+1}{\sqrt{y^4+z+x}}+\dfrac{z^3+1}{\sqrt{z^4+x+y}}-\dfrac{8(xy+yz+zx)}{xy+yz+zx+1}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 01-05-2016 - 20:52

[ineX]

Bài 45: Đề thi thử trường Đại học Hồng Đức

Cho các số thực không âm x,y,z thỏa mãn $x+y+z=3$

Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$P= \frac{3}{2}(xyz)^2 +x^{3}+y^{3}+z^{3} -xy-yz-zx +\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 01-05-2016 - 20:53

[Dinh Xuan Hung]

Bài 43 (Thi thử THPT Quốc gia 2016 THPT Lý Tự Trọng, Nam Định)

Cho $a,b,c$ dương thoả $a+b+c=1$. Tìm GTNN :

$$P=\dfrac{a^2}{(1-a)^2+5bc}+\dfrac{16b^2-27(a+bc)^2}{36(a+c)^2}$$

 

 

 

[tritanngo99]

Bài 44:
Cho a,b,c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\frac{a^2}{(a+b)^2}+\frac{ab^2}{(b^2+ac)(c+a)}+\frac{16c^4}{(c+a)^4}$

 

Bài 45:
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: $abc(a+b+c)=4$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\frac{1}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}-\frac{8bc}{bc(b^2+c^2)+8}$

 

Bài 46:
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn: $x+y+1=z$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z^2+2}{z+xy}$

 

Bài 47:
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: $x^2=y^2+z$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$P=\frac{(1+2xy)z}{(x^2+y^2)(1+z^2)}+\frac{3z^2}{(1+z^2)\sqrt{1+z^2}}$

 

Bài 48:
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: $x\ge z$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\frac{xz}{y^2+yx}+\frac{y^2}{xz+yz}+\frac{2(x+3z)}{x+2z}$

 

Bài 49: Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: $x^2+y^2+z^2=3xy$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\frac{x^2}{y^2+yz}+\frac{y}{z+x}+\frac{x^2+y^2}{x^2+z^2}$

 

Bài 50: Cho x,y là các số dương thỏa mãn điều kiện: $x^2+y^2=xy+1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$P=\frac{x^3}{y^3+1}+\frac{y^3}{x^3+1}+\frac{24\sqrt{xy}}{x+y+2}$

(Nguồn: Trích trong tuyển tập các đề thi thử đại học 2015 của thầy Phạm Tuấn Khải)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 31-05-2016 - 12:29
Lần sau bạn nhớ ghi rõ nguồn

[hoangson2598]

Bài 51

Cho $\frac{1}{3}< x\leq \frac{1}{2}$ và $y\geq 1$

Tìm giá trị nhỏ nhất:

$P=x^2+y^2+\frac{x^2y^2}{((4x-1)y-x)^2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 01-05-2016 - 20:52

[Juliel]

Bài 45: Đề thi thử trường Đại học Hồng Đức

Cho các số thực không âm x,y,z thỏa mãn $x+y+z=3$

Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$P= \frac{3}{2}(xyz)^2 +x^{3}+y^{3}+z^{3} -xy-yz-zx +\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$

Lời giải :

 

Ta sẽ chứng minh hai kết quả sau :

 

   Nếu $x,y,z>0$ thoả $x+y+z=3$ thì :

 

$(1)$                     $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\geq xy+yz+zx$

 

$(2)$                     $x^3+y^3+z^3+\dfrac{3}{2}(xyz)^2\geq \dfrac{9}{2}$

 

Chứng minh (1) :

 

 

Bất đẳng thức tương đương :

$$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\geq \dfrac{1}{2}\left [ (x+y+z)^2-x^2-y^2-z^2 \right ]\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2\sqrt{x}+2\sqrt{y}+2\sqrt{z}\geq 9$$

Điều này đúng theo BĐT AM-GM :

$$x^2+\sqrt{x}+\sqrt{x}\geq 3x$$

$$y^2+\sqrt{y}+\sqrt{y}\geq 3x$$

$$z^2+\sqrt{z}+\sqrt{z}\geq 3x$$

 

Chứng minh (2) :

 

 

Đặt $p=x+y+z=3$, $q=xy+yz+zx$ và $r=xyz$. Áp dụng BĐT Schur :

$$r\geq \dfrac{4pq-p^3}{9}=\dfrac{4q-9}{3}$$

Cũng có :

$$x^3+y^3+z^3=3xyz+(x+y+z)\left [ (x+y+z)^2-3(xy+yz+zx) \right ]=3r+3(9-3q)=3r-9q+27$$

Suy ra :

$$x^3+y^3+z^3+\dfrac{3}{2}(xyz)^2=(3r-9q+27)+\dfrac{3}{2}r^2\geq 3.\frac{4q-9}{3}-9q+81+\dfrac{3}{2}.\left ( \dfrac{4q-9}{3} \right )^2=\dfrac{8}{3}q^2-17q+\dfrac{63}{2}$$

Vậy ta chỉ cần chứng minh :

$$\dfrac{8}{3}q^2-17q+\dfrac{63}{2}\geq \dfrac{9}{2}\Leftrightarrow q\leq 3\;\vee q\geq \dfrac{27}{8}$$

Điều này là đúng vì $q=xy+yz+zx\leq \dfrac{1}{3}(x+y+z)^2=3$.

 

Kết luận :

$$MinP=\frac{9}{2}\Leftrightarrow x=y=z=1$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 01-05-2016 - 20:49

[Juliel]

Bài 46:

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn: $x+y+1=z$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z^2+2}{z+xy}$

Lời giải :

 

Theo BĐT Cauchy-Schwarz :

$$\dfrac{x}{x+yz}+\dfrac{y}{y+zx}\geq \dfrac{(x+y)^2}{x^2+y^2+2xyz}=\dfrac{(x+y)^2}{x^2+y^2+2xy(x+y+1)}=\dfrac{(x+y)^2}{(x+y)^2+2xy(x+y)}=\dfrac{x+y}{x+y+2xy}\geq \dfrac{x+y}{x+y+\dfrac{1}{2}(x+y)^2}=\dfrac{2}{x+y+2}=\dfrac{2}{z+1}$$

Theo AM-GM :

$$\dfrac{z^2+2}{z+xy}\geq \dfrac{4(z^2+2)}{4z+(x+y)^2}=\frac{4(z^2+2)}{4z+(1-z)^2}=\frac{4(z^2+2)}{(z+1)^2}$$

Từ đó :

$$P\geq \dfrac{2}{z+1}+\dfrac{4(z^2+2)}{(z+1)^2}=f(z)$$

Khảo sát hàm số $f(z)$ với $z>0$ ta được :

$$MinP=\dfrac{13}{4}\Leftrightarrow x=y=1,z=3$$

[Hoang Duong]

Bài 51: <HSG 11 Hà Tĩnh 2015-2016>

với a,b,c>0 và $a^2+b^2+c^2+2=a^2b^2c^2$

Chứng minh rằng: $abc(a+b+c)\geq2(ab+bc+ca)$
<Nếu lạc chủ đề hoặc đã có xin mod xoá dùm>

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 04-05-2016 - 22:01

[ZOT Murloc]

Bài 48:

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: $x\ge z$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\frac{xz}{y^2+yx}+\frac{y^2}{xz+yz}+\frac{2(x+3z)}{x+2z}$

 

P được viết lại như sau

 

$P=\frac{\frac{x}{y}}{\frac{y}{z}+1}+\frac{\frac{y}{z}}{\frac{x}{y}+1}+2\frac{\frac{x}{z}+3}{\frac{x}{z}+2}$

 

Đặt

 

$\left\{\begin{matrix} \frac{x}{y}=a & \\ \frac{y}{z}=b & \end{matrix}\right. \Rightarrow ab=\frac{x}{z}\geq 1$

 

Biểu thức P tương đương với

 

$P=\frac{a}{b+1}+\frac{b}{a+1}+2.\frac{ab+3}{ab+2}=\frac{a^2}{ab+a}+\frac{b^2}{ab+b}+2.\frac{ab+3}{ab+2}$

 

$\geq \frac{\left ( a+b \right )^2}{2ab+a+b}+2.\frac{ab+3}{ab+2}(C-S)\geq \frac{\left ( a+b \right )^2}{\frac{\left ( a+b \right )^2}{2}+a+b}+2.\frac{ab+3}{ab+2}$  

 

$=\frac{2\left ( a+b \right )}{a+b+2}+2.\frac{ab+3}{ab+2}=2-\frac{4}{a+b+2}+2.\frac{ab+3}{ab+2}$

 

Theo BĐT AM-GM ta có

 

$-\frac{4}{a+b+2}\geq \frac{-4}{2\sqrt{ab}+2}=\frac{-2}{\sqrt{ab}+1}$

 

Suy ra

 

$P\geq 2-\frac{2}{\sqrt{ab}+1}+2.\frac{ab+3}{ab+2}$

 

Đặt $t=\sqrt{ab}$                          $t \geq 1$

 

Ta sẽ chứng minh

 

$2-\frac{2}{t+1}+2.\frac{a^2+3}{a^2+2}\geq \frac{11}{3}$

 

$\Leftrightarrow \frac{2\left ( 2t^3+t^2+5t+3 \right )}{\left ( t+1 \right )\left ( t^2+2 \right )}\geq \frac{11}{3}$

 

$\Leftrightarrow \left ( t-1 \right )\left ( t-2 \right )^2\geq 0$

 

BĐT trên luôn đúng

 

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=1\vee a=b=2\Leftrightarrow x=y=z \vee x=2y=4z$

 

Vậy $minP=\frac{11}{3} \Leftrightarrow a=b=1\Leftrightarrow x=y=z \vee x=2y=4z$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ZOT Murloc: 02-05-2016 - 01:46

[longatk08]

Bài 52: Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa $x(y^2+z^2)=yz(y+z)$.Tìm GTNN của:

 

$$\frac{1}{(x+1)^2}+\left ( \frac{y}{1+y} +\frac{z}{1+z}\right )^2+\frac{2yz(1-x)}{(1+x)(1+y)(1+z)}$$

 

(Trích đề thi thử Hoằng Hóa 4-Thanh Hóa)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 04-05-2016 - 22:02

[longatk08]

 

 

 

 

Đặt $p=x+y+z=3$, $q=xy+yz+zx$ và $r=xyz$. Áp dụng BĐT Schur :

$$r\geq \dfrac{4pq-p^3}{9}=\dfrac{4q-9}{3}$$

Cũng có :

$$x^3+y^3+z^3=3xyz+(x+y+z)\left [ (x+y+z)^2-3(xy+yz+zx) \right ]=3r+3(9-3q)=3r-9q+27$$

 

Bạn có thể tránh dùng BĐT Schur bằng cách sử dụng nguyên lí Dirichle, giả sử $(x^2-1)(y^2-1) \geq 0$

[ZOT Murloc]

Bài 52: Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa $x(y^2+z^2)=yz(y+z)$.Tìm GTNN của:

 

$$\frac{1}{(x+1)^2}+\left ( \frac{y}{1+y} +\frac{z}{1+z}\right )^2+\frac{2yz(1-x)}{(1+x)(1+y)(1+z)}$$

 

(Trích đề thi thử Hoằng Hóa 4-Thanh Hóa)

 

Đặt $P=\frac{1}{(x+1)^2}+\left ( \frac{y}{1+y} +\frac{z}{1+z}\right )^2+\frac{2yz(1-x)}{(1+x)(1+y)(1+z)}$

 

Theo BĐT AM-GM ta có

 

$\left ( \frac{y}{1+y} +\frac{z}{1+z}\right )^2\geq \frac{4yz}{\left ( y+1 \right )\left ( z+1 \right )}$

 

$\Rightarrow P\geq \frac{1}{(x+1)^2}+\frac{2yz}{\left ( y+1 \right )\left ( z+1 \right )}.\frac{x+3}{x+1}$                      $(*)$

 

Theo giả thiết ta có

 

$x\left ( y^2+z^2 \right )=yz\left ( y+z \right )\leq \left (\frac{y^2+z^2}{2} \right ).\left ( y+z \right )\Leftrightarrow 2x\leq y+z$

 

$yz\left ( y+z \right )=x\left ( y^2+z^2 \right )\geq \frac{\left ( y+z \right )^2}{2}.x\Leftrightarrow \frac{2yz}{y+z}\geq x$

 

Vậy nên

 

$(*)\Rightarrow P\geq \frac{1}{\left ( x+1 \right )^2}+\frac{\frac{2yz}{y+z}}{\frac{yz}{y+z}+1+\frac{1}{y+z}}.\frac{x+3}{x+1}$

 

$\geq \frac{1}{\left ( x+1 \right )^2}+\frac{\frac{2yz}{y+z}}{\frac{yz}{y+z}+1+\frac{1}{2x}}.\frac{x+3}{x+1}$

 

$= \frac{1}{\left ( x+1 \right )^2}+2.\left (1-\frac{\frac{1}{2x}+1}{\frac{yz}{y+z}+1+\frac{1}{2x}} \right ).\frac{x+3}{x+1}$

 

$\geq \frac{1}{\left ( x+1 \right )^2}+2.\left (1-\frac{\frac{1}{2x}+1}{\frac{x}{2}+1+\frac{1}{2x}} \right ).\frac{x+3}{x+1}$

 

$=\frac{1}{\left ( 1+x \right )^2}+2.\frac{x^2.\left ( x+3 \right )}{\left ( x+1 \right )^3}$

 

Ta sẽ chứng minh

 

$\frac{1}{\left ( 1+x \right )^2}+2.\frac{x^2.\left ( x+3 \right )}{\left ( x+1 \right )^3}\geq \frac{91}{108}$

 

$\Leftrightarrow \frac{\left ( 5x+17 \right )\left ( 5x-1 \right )^2}{108\left ( x+1 \right )^3}\geq 0$

 

BĐT trên luôn đúng

 

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{5}$

 

Vậy $MinP=\frac{91}{108}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{5}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ZOT Murloc: 02-05-2016 - 09:35

[Juliel]

Bài 51: <HSG 11 Hà Tĩnh 2015-2016>

với a,b,c>0 và $a^2+b^2+c^2+2=a^2b^2c^2$

Chứng minh rằng: $abc(a+b+c)\geq2(ab+bc+ca)$
<Nếu lạc chủ đề hoặc đã có xin mod xoá dùm>

Lời giải :

 

Ta có đẳng  thức :

$$\dfrac{xy}{(x+z)(y+z)}+\dfrac{yz}{(y+x)(z+x)}+\dfrac{zx}{(z+y)(x+y)}+\frac{2xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}=1$$

 

Gỉa thiết đã cho viết dưới dạng :

$$\dfrac{1}{a^2b^2}+\dfrac{1}{b^2c^2}+\dfrac{1}{c^2a^2}+\dfrac{2}{a^2b^2c^2}=1$$

Như vậy ta thấy phải tồn tại các số dương $x,y,z$ thoả :

$$a=\sqrt{\dfrac{x+y}{z}},b=\sqrt{\dfrac{y+z}{x}},c=\sqrt{\dfrac{z+x}{y}}$$

Khi đó ta cần chứng minh :

$$\sqrt{\dfrac{x+y}{2}}+\sqrt{\dfrac{y+z}{x}}+\sqrt{\dfrac{z+x}{y}}\geq 2\left ( \sqrt{\dfrac{x}{y+z}}+\sqrt{\dfrac{y}{z+x}}+\sqrt{\dfrac{z}{x+y}} \right )$$

Điều này là đúng vì :

$$\sqrt{\frac{x}{y+z}}\leq \sqrt{\dfrac{x}{\dfrac{1}{2}\left ( \sqrt{y}+\sqrt{z} \right )^2}}=\frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}\leq \dfrac{\sqrt{2x}}{4}\left ( \frac{1}{\sqrt{y}}+\dfrac{1}{\sqrt{z}} \right )$$

Thiết lập các kết quả tương tự rồi cộng vế theo vế, ta thu được điều phải chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 02-05-2016 - 17:10

[Juliel]

Bài 50: Cho x,y là các số dương thỏa mãn điều kiện: $x^2+y^2=xy+1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=\frac{x^3}{y^3+1}+\frac{y^3}{x^3+1}+\frac{24\sqrt{xy}}{x+y+2}$

(Nguồn: Trích trong tuyển tập các đề thi thử đại học 2015 của thầy Phạm Tuấn Khải)

Lời giải :

 

Gỉa thiết đã cho tương đương :

$$x^3+y^3=x+y$$

Ta có :

$$\dfrac{x^3}{y^3+1}+\dfrac{y^3}{x^3+1}=\dfrac{x^3+y^3+1}{x^3+1}+\dfrac{x^3+y^3+1}{y^3+1}-2=\left ( x^3+y^3+1 \right )\left ( \dfrac{1}{x^3+1}+\dfrac{1}{y^3+1} \right )-2=\left ( x^3+y^3+1 \right ).\frac{x^3+y^3+2}{(x^3+1)(y^3+1)}-2$$

Ta cũng chứng minh được :

$$(1+x^3)(1+y^3)\geq \dfrac{(x+y)^3}{2}$$

Thế nên :

$$\dfrac{x^3}{y^3+1}+\dfrac{y^3}{x^3+1}\leq \dfrac{2(x^3+y^3+1)(x^3+y^3+2)}{(x+y)^3}-2=\frac{2(x+y+1)(x+y+2)}{(x+y)^3}-2$$

Và :

$$\dfrac{24\sqrt{xy}}{x+y+2}\leq \dfrac{12(x+y)}{x+y+2}$$

Vậy nếu ta đặt $x+y=t$ thì :

$$P\leq \dfrac{2(t+1)(t+2)}{t^3}+\dfrac{12t}{t+2}-2=f(t)$$

Ta dễ chứng minh được $t\in \left (0,2 \right ]$. Khảo sát hàm số $f(t)$ trên $\left (0,2 \right ]$. Ta được :

$$MaxP=7\Leftrightarrow t=2\Leftrightarrow x=y=1$$