Chủ đề này có 383 trả lời

[tritanngo99]

Nếu có 10 like mình sẽ dành trọn bộ cho cách giải hay và sáng tạo này.Cảm ơn bạn

 

Bài 54: [Crux] Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\ge 3(a^3b+b^3c+c^3a)$

 

Bài 55: [Crux] Giả sử x,y là các số thực không âm thỏa mãn: $x^2+y^3\ge x^3+y^4$. Chứng minh rằng: $x^3+y^3\le 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 04-05-2016 - 22:03

[phamngochung9a]

Bài 44:
Cho a,b,c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\frac{a^2}{(a+b)^2}+\frac{ab^2}{(b^2+ac)(c+a)}+\frac{16c^4}{(c+a)^4}$

 

Bài 45:
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: $abc(a+b+c)=4$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\frac{1}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}-\frac{8bc}{bc(b^2+c^2)+8}$

 

Bài 47:
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: $x^2=y^2+z$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$P=\frac{(1+2xy)z}{(x^2+y^2)(1+z^2)}+\frac{3z^2}{(1+z^2)\sqrt{1+z^2}}$

Bài 44:

Đặt $\left\{\begin{matrix} a=xc & \\ b=yc & \end{matrix}\right.$, biểu thức $P$ trở thành:

$P=\frac{x^{2}}{\left ( x+y \right )^{2}}+\frac{xy^{2}}{\left ( x+y^{2} \right )\left ( x+1 \right )}+\frac{16}{\left ( x+1 \right )^{4}}\\=\frac{x^{2}}{\left ( \sqrt{x}.\sqrt{x}+y.1 \right )^{2}}+\frac{xy^{2}}{\left ( x+y^{2} \right )\left ( x+1 \right )}+\frac{16}{\left ( x+1 \right )^{4}}\\\\\geq \frac{x^{2}}{\left ( x+y^{2} \right )\left ( x+1 \right )}+\frac{xy^{2}}{\left ( x+y^{2} \right )\left ( x+1 \right )}+\frac{16}{\left ( x+1 \right )^{4}}\\\\=\frac{x}{x+1}+\frac{16}{\left ( x+1 \right )^{4}}\\=\frac{16}{\left ( x+1 \right )^{4}}-\frac{1}{x+1}+1$

Đặt $\frac{1}{x+1}=t$, ta có:

$P\geq 16.t^{4}-t+1$. Khảo sát hàm số trên với $t> 0$ , ta được: $P\geq \frac{13}{16}$

Bài 45:

$P=\frac{1}{\sqrt{a^{2}+ab+bc+ca}}-\frac{8bc}{bc\left ( b^{2}+c^{2} \right )+8}\geq \frac{1}{\sqrt{a^{2}+ab+bc+ca}}-\frac{4bc}{b^{2}c^{2}+4}$. Từ đề bài, ta có:

$a^{2}+ab+ca=\frac{4}{bc}$

$\Rightarrow P\geq \frac{1}{\sqrt{bc+\frac{4}{bc}}}-\frac{4}{bc+\frac{4}{bc}}$

Đặt $t=\frac{1}{\sqrt{bc+\frac{4}{bc}}}\Rightarrow t\leq \frac{1}{2}$, ta có:

$P\geq t-4t^{2}\geq -\frac{1}{2}$

Bài 47:

Ta có: 

$\left [z\left ( 2xy+1 \right ) \right ]^{2}=\left [z.2xy+1.\left ( x^{2}-y^{2} \right ) \right ]^{2}\leq \left ( z^{2}+1 \right )\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{2}\\\Rightarrow z\left ( 2xy+1 \right )\leq \left ( x^{2}+y^{2} \right )\sqrt{1+z^{2}}$

Vậy:

$P\leq \frac{1}{\sqrt{z^{2}+1}}+\frac{3z^{2}}{\left ( 1+z^{2} \right )\sqrt{1+z^{2}}}=\frac{4}{\sqrt{z^{2}+1}}-\frac{3}{\left ( \sqrt{1+z^{2}} \right )^{3}}$

Đặt $t=\frac{1}{\sqrt{1+z^{2}}}$, ta có: $P\leq 4t-3t^{3}\leq \frac{16}{9}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 02-05-2016 - 19:57

[phamngochung9a]

Các đề thi thử THPT Quốc gia của thầy Đặng Thành Nam

 

Bài 56: Với $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=ab+bc+ca+\left ( a+b+3c \right )\sqrt{1-a^{2}-b^{2}-c^{2}}$

 

Bài 57: Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $1\leq a\leq b\leq c\leq 2$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=\frac{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )}{abc}-\frac{1}{10}\left ( \frac{a^{2}+c^{2}}{ac} \right )^{3}$

 

Bài 58: Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{8}{\left ( a+b \right )^{2}}+\frac{3}{\left ( b+c \right )^{2}}+\frac{3}{\left ( c+a \right )^{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 04-05-2016 - 22:04

[ZOT Murloc]

Bài 58: Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{8}{\left ( a+b \right )^{2}}+\frac{3}{\left ( b+c \right )^{2}}+\frac{3}{\left ( c+a \right )^{2}}$

 

Ta sẽ chứng minh 2 BĐT sau

 

$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\left ( a+c \right )^2}\geq b^2 & \\ \frac{1}{\left ( b+c \right )^2}\geq a^2 & \end{matrix}\right.$

 

Chứng minh BĐT  đầu ,BĐT sau tương tự

 

$\frac{1}{\left ( a+c \right )^2}\geq b^2 \Leftrightarrow \frac{\left ( ab+bc+ca \right )^2}{\left ( a+c \right )^2}-b^2\geq 0$

 

$\Leftrightarrow \frac{ac \left ( 2ab+2bc+ac \right )}{\left ( a+c \right )^2}\geq 0$

 

BĐT trên đúng. Vậy BĐT phụ được chứng minh

 

Suy ra

 

$P\geq \frac{8}{\left ( a+b \right )^2}+3a^2+3b^2\geq \frac{8}{\left ( a+b \right )^2}+\frac{3\left ( a+b \right )^2}{2}\geq 4\sqrt{3}$

 

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} c=0 & \\ a=b=\frac{2}{\sqrt{3}} & \end{matrix}\right.$

 

Vậy $MinP=4\sqrt{3}\Leftrightarrow \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} c=0 & \\ a=b=\frac{2}{\sqrt{3}} & \end{matrix}\right.$

 

 

Mong các bạn không ra thêm bài làm loãng topic.
Còn rất nhiều bài chưa làm ở trên

[ZOT Murloc]

Bài 55: [Crux] Giả sử x,y là các số thực không âm thỏa mãn: $x^2+y^3\ge x^3+y^4$. Chứng minh rằng: $x^3+y^3\le 2$

Ta có $x^{2}+y^{3}\geq x^{3}+y^{4}\Rightarrow x^{2}+y^{3}+y^{2}\geq x^{3}+y^{2}+y^{4}$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có $y^{4}+y^{2}\geq 2y^{3}$

Do đó: $x^{2}+y^{3}+y^{2}\geq x^{3}+2y^{3}\Rightarrow x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}$ (1)

Áp dụng BĐT Cauchy-Swcharz, ta có :

$\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{2}\leq \left ( x+y \right )\left ( x^{3}+y^{3} \right )$

 $\leq \left ( x+y \right )\left ( x^{2}+y^{2} \right )\Rightarrow x^{2}+y^{2}\leq x+y$  (2)

 Mặt khác $\left ( x+y \right )^{2}\leq 2\left ( x^{2}+y^{2} \right )\leq 2\left ( x+y \right )\Rightarrow x+y\leq 2$ (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ZOT Murloc: 02-05-2016 - 22:35

[ZOT Murloc]

Bài 49: Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: $x^2+y^2+z^2=3xy$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{x^2}{y^2+yz}+\frac{y}{z+x}+\frac{x^2+y^2}{x^2+z^2}$

 

Đặt $\left\{\begin{matrix} x=a.z & \\ y=b.z & \end{matrix}\right.$                   $(a.b>0)$

 

$\Rightarrow a^2+b^2+1=3ab$

 

$\Leftrightarrow \left ( a-b \right )^2+1=ab$

 

Suy ra 

 

$1\leq ab\leq \left (\frac{a+b}{2} \right )^2\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} ab\geq 1 & \\ a+b\geq 2 & \end{matrix}\right.$

 

Biểu thức P được viết lại như sau

 

$P=\frac{a^2}{b^2+b}+\frac{b}{a+1}+\frac{a^2+b^2}{a^2+1}$

 

$=\frac{a^2\left ( a+1 \right )+b^2\left ( b+1 \right )}{b\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )}+\frac{a^2+b^2}{a^2+1}$

 

$=\frac{\left ( a+b \right )\left ( a^2-ab+b^2+1 \right )}{b\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )}+\frac{a^2+b^2}{a^2+1}$

 

$=\frac{2ab.\left ( a+b \right )}{b\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )}+\frac{a^2+b^2}{a^2+1}$

 

$=\frac{2a.\left ( a+b \right )}{\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )}+\frac{a^2+b^2}{a^2+1}\geq \frac{2a.\left ( a+b \right )}{\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )}+\frac{a^2+b^2}{a^2+ab}$

 

$\geq 2\sqrt{\frac{2\left ( a^2+b^2 \right )}{\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )}}\geq 4\sqrt{\frac{\left ( a+b \right )^2}{\left ( a+b+2 \right )^2}}$

 

$=4.\frac{x+y}{x+y+2}=4\left ( 1-\frac{2}{x+y+2} \right )\geq 4.\left ( 1-\frac{2}{2+2} \right )=2$

 

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=1\Leftrightarrow x=y=z$

 

Vậy $MinP=2\Leftrightarrow x=y=z$

[tritanngo99]

Bài 57:
Ta có: $(a-b)(b-c)(c-a)\ge 0\iff \sum ab^2\ge \sum a^2b$
Khi đó: $\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=\frac{\sum a^2b+\sum ab^2+2abc}{abc}\le \frac{2\sum ab^2+2abc}{abc}$
Mặt khác ta lại có: $(a-b)(b-c)\ge 0\iff ab+bc\ge ac+b^2\iff a(ab+bc)\ge a(ac+b^2)$
$\iff a^2b+abc\ge a^2c+ab^2\iff a^2b+abc+bc^2\ge \sum ab^2\iff \sum ab^2\le b(a^2+c^2+ac) $
Khi đó $P=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}-\frac{1}{10}\left(\frac{a^2+c^2}{ac}\right)^3$
$\le\frac{2\sum ab^2+2abc}{abc}-\frac{1}{10}\left(\frac{a^2+c^2}{ac}\right)^3$
$\le\frac{2b(a^2+c^2+ac)+2abc}{abc}-\frac{1}{10}\left(\frac{a^2+c^2}{ac}\right)^3$
$=2\left(\frac{a^2+c^2}{ac}+2\right)-\frac{1}{10}\left(\frac{a^2+c^2}{ac}\right)^3$
Đến đặt $t=\left(\frac{a^2+c^2}{ac}\right)$.
=>$P\le f(t)=2(t+2)-\frac{t^3}{10}$.
Ta đi chứng minh: $t\le \frac{5}{2}\iff a^2+c^2\le\frac{5}{2}ac$
Thật vậy ta có:
$1\le a\le c\le 2$. Nên dễ dàng suy ra được: $2\le\frac{a^2+c^2}{ac}\le\frac{5}{2}. hay. 2\le t\le\frac{5}{2}$
Đến đây kháo sát hàm f(t) trên (2;5/2)
=> $max P=\frac{119}{16}$. Dấu = xảy ra khi a=b=1;c=2.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 04-05-2016 - 12:12

[pndpnd]

Cho $x,y,z>0$ và $x^2+y^2+z^2=3$. Tìm GTNN:

$P= \sqrt{\frac{3}{(x+y)^2}+z^2}+\sqrt{\frac{3}{(y+z)^2}+x^2}+\sqrt{\frac{3}{(x+z)^2}+y^2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 04-05-2016 - 22:04

[rocket]

Bài 59. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=(a+b)(b+c)(c+a)+\sqrt{\frac{2016}{a+b+c}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 04-05-2016 - 22:04

[tritanngo99]

Các đề thi thử THPT Quốc gia của thầy Đặng Thành Nam

 

Bài 56: Với $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=ab+bc+ca+\left ( a+b+3c \right )\sqrt{1-a^{2}-b^{2}-c^{2}}$

 

Bài 57: Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $1\leq a\leq b\leq c\leq 2$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=\frac{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )}{abc}-\frac{1}{10}\left ( \frac{a^{2}+c^{2}}{ac} \right )^{3}$

 

Bài 58: Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{8}{\left ( a+b \right )^{2}}+\frac{3}{\left ( b+c \right )^{2}}+\frac{3}{\left ( c+a \right )^{2}}$

Bài 57:
Ta có: $(a-b)(b-c)(c-a)\ge 0\iff \sum ab^2\ge \sum a^2b$
Khi đó: $\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=\frac{\sum a^2b+\sum ab^2+2abc}{abc}\le \frac{2\sum ab^2+2abc}{abc}$
Mặt khác ta lại có: $(a-b)(b-c)\ge 0\iff ab+bc\ge ac+b^2\iff a(ab+bc)\ge a(ac+b^2)$
$\iff a^2b+abc\ge a^2c+ab^2\iff a^2b+abc+bc^2\ge \sum ab^2\iff \sum ab^2\le b(a^2+c^2+ac) $
Khi đó $P=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}-\frac{1}{10}\left(\frac{a^2+c^2}{ac}\right)^3$
$\le\frac{2\sum ab^2+2abc}{abc}-\frac{1}{10}\left(\frac{a^2+c^2}{ac}\right)^3$
$\le\frac{2b(a^2+c^2+ac)+2abc}{abc}-\frac{1}{10}\left(\frac{a^2+c^2}{ac}\right)^3$
$=2\left(\frac{a^2+c^2}{ac}+2\right)-\frac{1}{10}\left(\frac{a^2+c^2}{ac}\right)^3$
Đến đặt $t=\left(\frac{a^2+c^2}{ac}\right)$.
=>$P\le f(t)=2(t+2)-\frac{t^3}{10}$.
Ta đi chứng minh: $t\le \frac{5}{2}\iff a^2+c^2\le\frac{5}{2}ac$
Thật vậy ta có:
$1\le a\le c\le 2$. Nên dễ dàng suy ra được: $2\le\frac{a^2+c^2}{ac}\le\frac{5}{2}. hay. 2\le t\le\frac{5}{2}$
Đến đây kháo sát hàm f(t) trên (2;5/2)
=> $max P=\frac{119}{16}$. Dấu = xảy ra khi a=b=1;c=2.

[tritanngo99]

Cho $x,y,z>0$ và $x^2+y^2+z^2=3$. Tìm GTNN:

$P= \sqrt{\frac{3}{(x+y)^2}+z^2}+\sqrt{\frac{3}{(y+z)^2}+x^2}+\sqrt{\frac{3}{(x+z)^2}+y^2}$

Áp dụng BDT Mincopxki ta có:

$P=\sum \sqrt{\frac{3}{(x+y)^2}+z^2}\ge \sqrt{3\left(\sum \frac{1}{x+y}\right)^2+(\sum x)^2}$

Mà $\left(\sum \frac{1}{x+y}\right)^2\ge \frac{9}{2\sum x}=>P\ge \sqrt{\frac{243}{4(\sum x)^2}+(\sum x)^2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 04-05-2016 - 15:36

[quangtq1998]

Bài 59. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=(a+b)(b+c)(c+a)+\sqrt{\frac{2016}{a+b+c}}$

 
 
Ta có :$ (ab+bc+ca)^2 \ge abc(a+b+c) \Rightarrow  \sqrt{3}\leq \sqrt{a+b+c} \leq (ab+bc+ca) $
$\rightarrow P +1\ge \sqrt{(a+b+c)^3} + \sqrt{\frac{2016}{a+b+c}}$
Xét $ f(t) = t^3 + \frac{\sqrt{2016}}{t}$ ,
        $f'(t) = 3t^2 - \frac{\sqrt{2016}}{t^2} >0   $ với mọi $ t \ge \sqrt{3} $
     Nên $f(\sqrt{a+b+c}) \ge f(\sqrt{3}) $ 
    Hay  $P \ge f(\sqrt{3})+1 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangtq1998: 04-05-2016 - 19:20

[tritanngo99]

Bài 60: Cho a,b,c thuộc [0;1]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$P=abc+(1-a)(1-b)(2-c)+\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}+\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{a+c+1}+\frac{c}{b+a+1}$

 

Bài 61 Đề thi dự bị THPTQG 2015): Cho các số a,b thuộc $[\frac{1}{2};1]$. Tìm Min của:
$P=a^5b+ab^5+\frac{6}{a^2+b^2}-3(a+b)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 31-05-2016 - 12:04

[tritanngo99]

Bài 62: Cho x,y,z thuộc [1;2]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$E=\frac{2(xy+yz+zx)}{xyz+2(2x+y+z)}+\frac{8}{2x(y+z)+yz+4}-\frac{y+z+4}{\sqrt{yz}+1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 19-06-2016 - 20:07

[Dinh Xuan Hung]

 

 

Bài 61 Đề thi dự bị THPTQG 2015): Cho các số a,b thuộc $[\frac{1}{2};1]$. Tìm Min của:
$P=a^5b+ab^5+\frac{6}{a^2+b^2}-3(a+b)$

 

- Do $a,b$ thuộc đoạn $\left [ \frac{1}{2},1 \right ]= > 1-a\geq 0,1-b\geq 0= > (1-a)(1-b)\geq 0= > ab\geq a+b-1$

 

Do $a,b\geq \frac{1}{2}= > a+b-1\geq \frac{1}{2}+\frac{1}{2}-1=0= > a+b-1\geq 0$

 

  Áp dụng bđt $m^{4}+n^{4}\geq \frac{(m+n)^4}{8}$

 

Từ đó ta có:

 

   $P=a^5b+ab^5+\frac{6}{a^2+b^2}-3(a+b)=ab(a^4+b^4)+\frac{6}{(a+b)^2-2ab}-3(a+b)$
$\geq (a+b-1).\frac{(a+b)^4}{8}+\frac{6}{(a+b)^2-2(a+b-1)}-3(a+b)$
$=\frac{(a+b)^5-(a+b)^4}{8}+\frac{6}{(a+b)^2-2(a+b)+2}-3(a+b)$
$= > P\geq \frac{t^5-t^4}{8}+\frac{6}{t^2-2t+2}-3t$

 

 (với $t=a+b$)

 

 Ta chứng minh $P\geq -1< = > \frac{t^5-t^4}{8}+\frac{6}{t^2-2t+2}-3t\geq -1< = > (t-2)^2(t^5+t^4+4t^3+10t^2+16)\geq 0$ 

    (Điều này luôn đúng)

 

Do đó  $P\geq -1= > P_{min}=-1< = > (a-1)(b-1)=0,a+b=2< = > a=b=1$

[tritanngo99]

Bài 63:Cho x,y,z thuộc [1;2]. Tìm giá trị lớn nhất của:
$F=(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

 

Mở rộng bài 63: Bài 64: Cho a,b,c,d thuộc [1;2]. Chứng minh rằng:
$(a^2+b^2+c^2+d^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2})\le 25$

 

Bài 65:Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn: $a+b+c\le 2$.Tìm GTNN của biểu thức:
$P=\frac{a\sqrt{a}}{a+\sqrt{ab}+b}+\frac{b\sqrt{b}}{b+\sqrt{bc}+c}+\frac{c\sqrt{c}}{c+\sqrt{ca}+a}+\frac{1}{27\sqrt{abc}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 31-05-2016 - 12:04

[nguyenhongsonk612]

Bài 60: Cho a,b,c thuộc [0;1]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$P=abc+(1-a)(1-b)(2-c)+$$\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}$$+\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{a+c+1}+\frac{c}{b+a+1}$

 

Bài 61 Đề thi dự bị THPTQG 2015): Cho các số a,b thuộc $[\frac{1}{2};1]$. Tìm Min của:
$P=a^5b+ab^5+\frac{6}{a^2+b^2}-3(a+b)$

Chỗ bôi xanh sai đề rồi, đề đúng phải là $\sum \frac{1}{1+a^3}$

Giải:

$P=abc+(1-a)(1-b)+\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)+\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}$

Vì $abc \leqslant 1$ $\Rightarrow \sum \frac{1}{1+a^3}\leqslant \frac{3}{1+abc}$

Ta sẽ C/m $\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c) \leqslant 1$ $(*)$

Giả sử $a\geqslant b\geqslant c$ 

$\Rightarrow \frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}\leqslant \frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+b+1}+\frac{c}{c+b+1}=1-\frac{1-a}{b+c+1}$

cần C/m $(1-a)(1-b)(1-c)-\frac{1-a}{b+c+1}\leq 0\Leftrightarrow (1-b)(1-c)(b+c+1)\leqslant 1$

Áp dụng $AM-GM$ ta được $(1-b)(1-c)(b+c+1)\leqslant \begin{pmatrix} \frac{1-b+1-c+b+c+1}{3} \end{pmatrix}^3=1$

Vậy $(*)$ được C/m

Có $(1-a)(1-b)=1-(a+b)+ab\leqslant 1-2\sqrt{ab}+ab=(1-\sqrt{ab})^2\leqslant (1-\sqrt{abc})^2$

$P\leq abc+(1-\sqrt{abc})^2+1+\frac{3}{1+abc}=2\sqrt{abc}(\sqrt{abc}-1)+2+\frac{3}{1+abc}\leqslant 2+3=5$

Vậy Max $P=5$ khi $a=b=c=0$

[tritanngo99]

Bài 66: Cho a,b,c là các số thưc dương thỏa mãn: a+b+c=ab+bc+ca. Tìm GTNN của biểu thức:
$\frac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^3}{c^2-ca+a^2}+\frac{c^3}{a^2-ab+b^2}$

 

Bài 67: Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2\le 3$.Tìm GTNN của biểu thức:
$P=\frac{1}{a^2+ab}+\frac{1}{b^2+bc}+\frac{1}{c^2+ca}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 31-05-2016 - 12:04

[NTA1907]

Bài 66: Cho a,b,c là các số thưc dương thỏa mãn: a+b+c=ab+bc+ca. Tìm GTNN của biểu thức:

$\frac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^3}{c^2-ca+a^2}+\frac{c^3}{a^2-ab+b^2}$

Bài 67: Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2\le 3$.Tìm GTNN của biểu thức:

$P=\frac{1}{a^2+ab}+\frac{1}{b^2+bc}+\frac{1}{c^2+ca}$

Bài 66:

Áp dụng Svac-xơ ta có:

$\sum \frac{a^{4}}{ab^{2}-abc+ac^{2}}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{a^{2}b+ab^{2}+b^{2}c+bc^{2}+c^{2}a+ca^{2}-3abc}$

Ta chứng minh: $\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{a^{2}b+ab^{2}+b^{2}c+bc^{2}+c^{2}a+ca^{2}-3abc}\geq a+b+c$

$\Leftrightarrow a^{2}(a-b)(a-c)+b^{2}(b-c)(b-a)+c^{2}(c-a)(c-b)\geq 0$(luôn đúng theo Schur)

$\Rightarrow \sum \frac{a^{3}}{b^{2}-bc+c^{2}}\geq a+b+c\geq \frac{3(ab+bc+ca)}{a+b+c}=3$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=1$

Bài 67:

Áp dụng Svac-xơ ta có:

$P\geq \frac{9}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca}\geq \frac{9}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\geq \frac{9}{2.3}=\frac{3}{2}$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=1$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTA1907: 05-05-2016 - 13:30

[tritanngo99]

Bài 68: Cho a,,b,c là các số thực dương thỏa mãn: $a+b+c=3$. Tìm Max của biểu thức:

$a^2b+b^2c+c^2a+abc+4abc(3-ab-bc-ca)$