Bài 44:
Cho a,b,c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\frac{a^2}{(a+b)^2}+\frac{ab^2}{(b^2+ac)(c+a)}+\frac{16c^4}{(c+a)^4}$
Bài 45:
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: $abc(a+b+c)=4$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\frac{1}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}-\frac{8bc}{bc(b^2+c^2)+8}$
Bài 47:
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: $x^2=y^2+z$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$P=\frac{(1+2xy)z}{(x^2+y^2)(1+z^2)}+\frac{3z^2}{(1+z^2)\sqrt{1+z^2}}$
Bài 44:
Đặt $\left\{\begin{matrix} a=xc & \\ b=yc & \end{matrix}\right.$, biểu thức $P$ trở thành:
$P=\frac{x^{2}}{\left ( x+y \right )^{2}}+\frac{xy^{2}}{\left ( x+y^{2} \right )\left ( x+1 \right )}+\frac{16}{\left ( x+1 \right )^{4}}\\=\frac{x^{2}}{\left ( \sqrt{x}.\sqrt{x}+y.1 \right )^{2}}+\frac{xy^{2}}{\left ( x+y^{2} \right )\left ( x+1 \right )}+\frac{16}{\left ( x+1 \right )^{4}}\\\\\geq \frac{x^{2}}{\left ( x+y^{2} \right )\left ( x+1 \right )}+\frac{xy^{2}}{\left ( x+y^{2} \right )\left ( x+1 \right )}+\frac{16}{\left ( x+1 \right )^{4}}\\\\=\frac{x}{x+1}+\frac{16}{\left ( x+1 \right )^{4}}\\=\frac{16}{\left ( x+1 \right )^{4}}-\frac{1}{x+1}+1$
Đặt $\frac{1}{x+1}=t$, ta có:
$P\geq 16.t^{4}-t+1$. Khảo sát hàm số trên với $t> 0$ , ta được: $P\geq \frac{13}{16}$
Bài 45:
$P=\frac{1}{\sqrt{a^{2}+ab+bc+ca}}-\frac{8bc}{bc\left ( b^{2}+c^{2} \right )+8}\geq \frac{1}{\sqrt{a^{2}+ab+bc+ca}}-\frac{4bc}{b^{2}c^{2}+4}$. Từ đề bài, ta có:
$a^{2}+ab+ca=\frac{4}{bc}$
$\Rightarrow P\geq \frac{1}{\sqrt{bc+\frac{4}{bc}}}-\frac{4}{bc+\frac{4}{bc}}$
Đặt $t=\frac{1}{\sqrt{bc+\frac{4}{bc}}}\Rightarrow t\leq \frac{1}{2}$, ta có:
$P\geq t-4t^{2}\geq -\frac{1}{2}$
Bài 47:
Ta có:
$\left [z\left ( 2xy+1 \right ) \right ]^{2}=\left [z.2xy+1.\left ( x^{2}-y^{2} \right ) \right ]^{2}\leq \left ( z^{2}+1 \right )\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{2}\\\Rightarrow z\left ( 2xy+1 \right )\leq \left ( x^{2}+y^{2} \right )\sqrt{1+z^{2}}$
Vậy:
$P\leq \frac{1}{\sqrt{z^{2}+1}}+\frac{3z^{2}}{\left ( 1+z^{2} \right )\sqrt{1+z^{2}}}=\frac{4}{\sqrt{z^{2}+1}}-\frac{3}{\left ( \sqrt{1+z^{2}} \right )^{3}}$
Đặt $t=\frac{1}{\sqrt{1+z^{2}}}$, ta có: $P\leq 4t-3t^{3}\leq \frac{16}{9}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 02-05-2016 - 19:57