Bài 69: Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn: $xy+yz+zx=3$. Chứng minh rằng:
$\sum \frac{x^3}{x^2+2yz}\ge 1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 19-06-2016 - 20:07
Bài 69: Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn: $xy+yz+zx=3$. Chứng minh rằng:
$\sum \frac{x^3}{x^2+2yz}\ge 1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 19-06-2016 - 20:07
Bài 69: Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn: $xy+yz+zx=3$. Chứng minh rằng:
$\sum \frac{x^3}{x^2+2yz}\ge 1$
Áp dụng AM-GM ta có:
$\sum \frac{x^{3}}{x^{2}+2yz}\geq \sum \frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$
Ta có: $x^{3}+x^{3}+1\geq 3x^{2}$
Tương tự cộng vế theo vế:
$2(x^{3}+y^{3}+z^{3})\geq 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})-3=3(x^{2}+y^{2}+z^{2})-(xy+yz+zx)\geq 2(x^{2}+y^{2}+z^{2})$
$\Rightarrow x^{3}+y^{3}+z^{3}\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}$
$\Rightarrow$ đpcm
Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=y=z=1$
Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.
Áp dụng AM-GM ta có:
$\sum \frac{x^{3}}{x^{2}+2yz}\geq \sum \frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$
Ta có: $x^{3}+x^{3}+1\geq 3x^{2}$
Tương tự cộng vế theo vế:
$2(x^{3}+y^{3}+z^{3})\geq 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})-3=3(x^{2}+y^{2}+z^{2})-(xy+yz+zx)\geq 2(x^{2}+y^{2}+z^{2})$
$\Rightarrow x^{3}+y^{3}+z^{3}\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}$
$\Rightarrow$ đpcm
Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=y=z=1$
Bài này mình vừa nghĩ ra, dùng holder :
Áp dụng BDT holder ta có:
Ta sẽ chứng minh 2 BĐT sau
$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\left ( a+c \right )^2}\geq b^2 & \\ \frac{1}{\left ( b+c \right )^2}\geq a^2 & \end{matrix}\right.$
Chứng minh BĐT đầu ,BĐT sau tương tự
$\frac{1}{\left ( a+c \right )^2}\geq b^2 \Leftrightarrow \frac{\left ( ab+bc+ca \right )^2}{\left ( a+c \right )^2}-b^2\geq 0$
$\Leftrightarrow \frac{ac \left ( 2ab+2bc+ac \right )}{\left ( a+c \right )^2}\geq 0$
BĐT trên đúng. Vậy BĐT phụ được chứng minh
Suy ra
$P\geq \frac{8}{\left ( a+b \right )^2}+3a^2+3b^2\geq \frac{8}{\left ( a+b \right )^2}+\frac{3\left ( a+b \right )^2}{2}\geq 4\sqrt{3}$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} c=0 & \\ a=b=\frac{2}{\sqrt{3}} & \end{matrix}\right.$
Vậy $MinP=4\sqrt{3}\Leftrightarrow \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} c=0 & \\ a=b=\frac{2}{\sqrt{3}} & \end{matrix}\right.$
Mong các bạn không ra thêm bài làm loãng topic.
Còn rất nhiều bài chưa làm ở trên
Không biết có spam hay không nhưng hình như
$\left\{\begin{matrix} c=0 & \\ a=b=\frac{2}{\sqrt{3}} & \end{matrix}\right.$
không thỏa mãn điều kiện giả thiết, bạn ạ
Giả thiết là $ab+bc+ca=1$ mà
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 05-05-2016 - 20:04
Bài 62: Cho x,y,z thuộc [1;2]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$E=\frac{2(xy+yz+zx)}{xyz+2(2x+y+z)}+\frac{8}{2x(y+z)+yz+4}-\frac{y+z+4}{\sqrt{yz}+1}$
$\left ( y-2 \right )\left ( z-2 \right )\geq 0\\\Rightarrow yz+4\geq 2y+2z$
Vậy: $E\leq \frac{xy+yz+zx+4}{\left ( x+1 \right )\left ( y+z \right )}-\frac{y+z+4}{\sqrt{yz}+1}\\\leq 1-\frac{1}{x+1}+\frac{\frac{\left ( y+z \right )^{2}}{4}+4}{2\left ( y+z \right )}-\frac{y+z+4}{\frac{y+z}{2}+1}\\\leq \frac{1}{2}+\frac{\left ( y+z \right )^{2}+16}{8\left ( y+z \right )}-\frac{2\left ( y+z \right )+8}{y+z+2}$
Đặt $y+z=t$, khi đó: $t\in \left [ 2;4 \right ]$ và:
$E\leq \frac{1}{2}+\frac{t^{2}+16}{8t}-\frac{2t+8}{t+2}$
Khảo sát hàm số trên với $t\in \left [ 2;4 \right ]$, ta được: $E\leq -\frac{7}{6}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 05-05-2016 - 20:22
Bài 62: Cho x,y,z thuộc [1;2]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$E=\frac{2(xy+yz+zx)}{xyz+2(2x+y+z)}+\frac{8}{2x(y+z)+yz+4}-\frac{y+z+4}{\sqrt{yz}+1}$
Làm như này có được không nhỉ?
Giải:
Ta có
$xyz+2(2x+y+z)-2x(y+z)-yz-4=(x-1)(y-2)(z-2)\geqslant 0$
$\Rightarrow xyz+2(2x+y+z)\geqslant 2x(y+z)+yz+4$
Mà $y,z \in [1;2]\Rightarrow yz\leqslant 4$ $\Rightarrow 2x(y+z)+yz+4\geqslant 2(xy+yz+zx)$
$\Rightarrow xyz+2(2x+y+z)\geqslant 2(xy+yz+zx)$
$\Rightarrow E\leqslant 1+\frac{8}{2x(y+z)+yz+4}-\frac{y+z+4}{\sqrt{yz}+1}$
Có $(x-1)(y-1)(z-1)\geq 0\Leftrightarrow xyz\geqslant xy+yz+zx-(x+y+z)+1$
$(x-2)(y-2)(z-2)\leqslant 0\Leftrightarrow xyz\leqslant 2(xy+yz+zx)-4(x+y+z)+8$
$\Rightarrow 2(xy+yz+zx)-4(x+y+z)+8\geqslant xy+yz+zx-(x+y+z)+1$
$\Leftrightarrow x(y+z)+7-3x\geqslant 3(y+z)$
mà $x(y+z)+yz+7-3x\leq x(y+z)+yz+4$; $3(y+z)\geqslant 6\sqrt{yz}$
$\Rightarrow x(y+z)\geqslant 6\sqrt{yz}-yz-4$
$\Rightarrow E\leq 1-\frac{8}{yz-12\sqrt{yz}+4}-\frac{2(\sqrt{yz}+2)}{\sqrt{yz}+1}$
Đặt $t=\sqrt{yz}\Rightarrow t \in [1;2]$
$\Rightarrow E\leq 1-\frac{8}{t^2-12t+4}-\frac{2(t+2)}{t+1}\leqslant \frac{-7}{6}$
$\Leftrightarrow (t-2)(t^2-21t+46)\leqslant 0$ (Đúng)
$\Rightarrow E\leqslant \frac{-7}{6}$
Vậy Max $P=\frac{-7}{6}$ $\Leftrightarrow x=1;y=z=2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 05-05-2016 - 20:56
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
Bài 63:Cho x,y,z thuộc [1;2]. Tìm giá trị lớn nhất của:
$F=(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$
$F=3+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}$
Không mất tính tổng quát, giả sử $2\geq x\geq y\geq z\geq 1$
Xét các tích sau:
Vậy:
$F\leq 5+2\left ( \frac{z}{x}+\frac{x}{z} \right )$
Đặt $t=\frac{x}{z}$, dễ chứng minh: $t\in \left [ 1;2 \right ]$
Khi đó: $F\leq 5+2\left ( t+\frac{1}{t} \right )$
Khảo sát hàm số trên với $t\in \left [ 1;2 \right ]$, ta được $F\leq 10$
Không biết có spam hay không nhưng hình như
$\left\{\begin{matrix} c=0 & \\ a=b=\frac{2}{\sqrt{3}} & \end{matrix}\right.$
không thỏa mãn điều kiện giả thiết, bạn ạ
Giả thiết là $ab+bc+ca=1$ mà
Oops. Cảm ơn bạn nhé Mình lộn mất rồi. Mà nếu theo lời người ra bài thì số 3 phải thay bằng số 1 thì ms chuẩn đề thầy Nam :V Nếu nt thì dấu bằng sẽ là c=0,a=b=1. Mình đoán là có nhầm lẫn
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ZOT Murloc: 05-05-2016 - 22:36
Bài 70: Cho $0\le c\le b\le a\le 1$. Tìm min của biểu thức:
$P=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}-\frac{(a-c)^2}{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 05-05-2016 - 23:15
Bài 71:Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2\ge a+b+c$. Tìm GTNN của biểu thức:
$P=\sum \frac{a^2}{b+c}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 05-05-2016 - 23:15
Bài 72: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác với $a+b+c=3$. Tìm Min của:
$P=3a^2+3b^2+3c^2+4abc$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 05-05-2016 - 23:18
Bài 73: Cho a,b,c>0 và abc=1. Chứng minh:
$\sum \frac{2}{a^2(b+c)}\ge 3$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 19-06-2016 - 20:09
Bài 74: Cho x,y,x là các số thực dương thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2=1$. Tìm GTNN của biểu thức:
$\sum \frac{x}{1-x^2}$
Bài 75: Cho $x,y,z\ge 1$.Tìm GTNN của biểu thức:
$\sum \left(\frac{x^2}{1+x^3}\right)+\sqrt{\frac{8+x^2y^2z^2}{3}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 05-05-2016 - 23:34
Bài 73: Cho a,b,c>0 và abc=1. Chứng minh:
$\sum \frac{2}{a^2(b+c)}\ge 3$
Giải
BĐT $\Leftrightarrow \frac{(bc)^2}{b+c}+\frac{(ca)^2}{c+a}+\frac{(ab)^2}{a+b}\geqslant \frac{3}{2}$
Áp dụng Cauchy Schwarz và $AM-GM$ ta được
$VT\geqslant \frac{(ab+bc+ca)^2}{2(a+b+c)}\geqslant \frac{3abc(a+b+c)}{2(a+b+c)}=\frac{3}{2}$
Dấu "=" khi $a=b=c=1$
Bạn nên đăng những bài đậm chất thi ĐH thì hợp lí hơn với tên của TOPIC này!!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 05-05-2016 - 23:40
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
Bài 76: Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx+2$. Tìm GTNN của biểu thức:
$P=\frac{3x(x^2+y^2+z^2)}{(x+y+z)^2}+\frac{8(y^2+z^2)}{2y^2+2z^2+xy+xz}$
Bài 77: Cho $x,y,z>0$ và $xy^2z^2+x^2z+y=3z^2$. Tìm max của
$P=\frac{z^4}{1+z^4(x^4+y^4)}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 31-05-2016 - 12:01
Bài 77: Cho $x,y,z>0$ và $xy^2z^2+x^2z+y=3z^2$. Tìm max của
$P=\frac{z^4}{1+z^4(x^4+y^4)}$
Do $z>0$ nên từ $xy^{2}z^{2}+x^{2}z+y=3z^{2}\Rightarrow xy^{2}+\frac{x^{2}}{z}+\frac{y}{z^{2}}=3$
Áp dụng AM-GM ta có:
$(x^{2}y^{2}+y^{2})+(x^{2}+\frac{x^{2}}{z^{2}})+(\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{1}{z^{2}})\geq 2(xy^{2}+\frac{x^{2}}{z}+\frac{y}{z^{2}})=6$
$P=\frac{z^{4}}{1+z^{4}(x^{4}+y^{4})}=\frac{1}{\frac{1}{z^{4}}+x^{4}+y^{4}}$
Đặt $a=\frac{1}{z^{2}}, b=x^{2}, c=y^{2}(a,b,c>0)\Rightarrow P=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
Theo AM-GM ta chứng minh được:
$3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 2(ab+bc+ca+a+b+c)-3=2(x^{2}y^{2}+y^{2}+x^{2}+\frac{x^{2}}{z^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{1}{z^{2}})-3\geq 9$
$\Rightarrow P\leq \frac{1}{3}$
Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=1\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{z}=1\Leftrightarrow x=y=z=1$
Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.
Bài 72: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác với $a+b+c=3$. Tìm Min của:
$P=3a^2+3b^2+3c^2+4abc$
Áp dụng nguyên lí Đi-rích-lê ta có:
$(a-1)(b-1)\geq 0 \Leftrightarrow ab\geq a+b-1\Rightarrow abc\geq ac+bc-c=c(a+b)-c=c(3-c)-c=2c-c^{2}$
Khi đó ta có:
$P\geq \frac{3}{2}(a+b)^{2}+3c^{2}+4(2c-c^{2})=\frac{3}{2}(3-c)^{2}+8c-c^{2}=\frac{c^{2}}{2}-c+\frac{27}{2}=\frac{(c-1)^{2}+26}{2}\geq 13$
Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=1$
Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.
Bài 78: Cho ba số thực a,b,c thay đổi thuộc [1;2] và thỏa mãn: $a+b+c\le 4$.
Chứng minh đẳng thức: $\sum \frac{a^2}{bc+2}>\frac{2}{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 06-05-2016 - 19:54
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh