Đến nội dung

Hình ảnh

Tổng hợp các bài BĐT trong các đề thi thử THPT Quốc Gia môn Toán năm 2017


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 383 trả lời

#121
tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1644 Bài viết

Bài 69: Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn: $xy+yz+zx=3$. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{x^3}{x^2+2yz}\ge 1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 19-06-2016 - 20:07


#122
NTA1907

NTA1907

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1014 Bài viết

Bài 69: Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn: $xy+yz+zx=3$. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{x^3}{x^2+2yz}\ge 1$

Áp dụng AM-GM ta có:

$\sum \frac{x^{3}}{x^{2}+2yz}\geq \sum \frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

Ta có: $x^{3}+x^{3}+1\geq 3x^{2}$

Tương tự cộng vế theo vế:

$2(x^{3}+y^{3}+z^{3})\geq 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})-3=3(x^{2}+y^{2}+z^{2})-(xy+yz+zx)\geq 2(x^{2}+y^{2}+z^{2})$

$\Rightarrow x^{3}+y^{3}+z^{3}\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}$

$\Rightarrow$ đpcm

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=y=z=1$


Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.

 


#123
tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1644 Bài viết

Áp dụng AM-GM ta có:

$\sum \frac{x^{3}}{x^{2}+2yz}\geq \sum \frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

Ta có: $x^{3}+x^{3}+1\geq 3x^{2}$

Tương tự cộng vế theo vế:

$2(x^{3}+y^{3}+z^{3})\geq 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})-3=3(x^{2}+y^{2}+z^{2})-(xy+yz+zx)\geq 2(x^{2}+y^{2}+z^{2})$

$\Rightarrow x^{3}+y^{3}+z^{3}\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}$

$\Rightarrow$ đpcm

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=y=z=1$

Bài này mình vừa nghĩ ra, dùng holder :

Áp dụng BDT holder ta có:

$\sum \frac{x^3}{x^2+2yz}*\sum (x^2+2yz)*(1+1+1)\ge (x+y+z)^3$
$\iff \sum \frac{x^3}{x^2+2yz}*(x+y+z)^2*3\ge (x+y+z)^3$
$\iff \sum \frac{x^3}{x^2+2yz}\ge \frac{a+b+c}{3}$
Mặt khác $(a+b+c)^2\ge3(ab+bc+ca)=>(a+b+c)\ge 3$
$=>\sum \frac{x^3}{x^2+2yz}\ge1$
Dấu = xảy ra khi x=y=z=1.


#124
phamngochung9a

phamngochung9a

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THPT
  • 480 Bài viết

Ta sẽ chứng minh 2 BĐT sau

 

$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\left ( a+c \right )^2}\geq b^2 & \\ \frac{1}{\left ( b+c \right )^2}\geq a^2 & \end{matrix}\right.$

 

Chứng minh BĐT  đầu ,BĐT sau tương tự

 

$\frac{1}{\left ( a+c \right )^2}\geq b^2 \Leftrightarrow \frac{\left ( ab+bc+ca \right )^2}{\left ( a+c \right )^2}-b^2\geq 0$

 

$\Leftrightarrow \frac{ac \left ( 2ab+2bc+ac \right )}{\left ( a+c \right )^2}\geq 0$

 

BĐT trên đúng. Vậy BĐT phụ được chứng minh

 

Suy ra

 

$P\geq \frac{8}{\left ( a+b \right )^2}+3a^2+3b^2\geq \frac{8}{\left ( a+b \right )^2}+\frac{3\left ( a+b \right )^2}{2}\geq 4\sqrt{3}$

 

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} c=0 & \\ a=b=\frac{2}{\sqrt{3}} & \end{matrix}\right.$

 

Vậy $MinP=4\sqrt{3}\Leftrightarrow \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} c=0 & \\ a=b=\frac{2}{\sqrt{3}} & \end{matrix}\right.$

 

 

Mong các bạn không ra thêm bài làm loãng topic.
Còn rất nhiều bài chưa làm ở trên

Không biết có spam hay không nhưng hình như 

$\left\{\begin{matrix} c=0 & \\ a=b=\frac{2}{\sqrt{3}} & \end{matrix}\right.$

 không thỏa mãn điều kiện giả thiết, bạn ạ

Giả thiết là $ab+bc+ca=1$ mà


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 05-05-2016 - 20:04


#125
phamngochung9a

phamngochung9a

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THPT
  • 480 Bài viết

Bài 62: Cho x,y,z thuộc [1;2]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$E=\frac{2(xy+yz+zx)}{xyz+2(2x+y+z)}+\frac{8}{2x(y+z)+yz+4}-\frac{y+z+4}{\sqrt{yz}+1}$

$\left ( y-2 \right )\left ( z-2 \right )\geq 0\\\Rightarrow yz+4\geq 2y+2z$

  • $xyz+2\left ( 2x+y+z \right )=x\left ( yz+4 \right )+2y+2z\geq x.\left ( 2y+2z \right )+2\left ( y+z \right )=2\left ( x+1 \right )\left ( y+z \right )$
  • $2x\left ( y+z \right )+yz+4\geq 2x\left ( y+z \right )+2y+2z=2\left ( x+1 \right )\left ( y+z \right )$

Vậy: $E\leq \frac{xy+yz+zx+4}{\left ( x+1 \right )\left ( y+z \right )}-\frac{y+z+4}{\sqrt{yz}+1}\\\leq 1-\frac{1}{x+1}+\frac{\frac{\left ( y+z \right )^{2}}{4}+4}{2\left ( y+z \right )}-\frac{y+z+4}{\frac{y+z}{2}+1}\\\leq \frac{1}{2}+\frac{\left ( y+z \right )^{2}+16}{8\left ( y+z \right )}-\frac{2\left ( y+z \right )+8}{y+z+2}$

Đặt $y+z=t$, khi đó: $t\in \left [ 2;4 \right ]$ và:

$E\leq \frac{1}{2}+\frac{t^{2}+16}{8t}-\frac{2t+8}{t+2}$

Khảo sát hàm số trên với $t\in \left [ 2;4 \right ]$, ta được: $E\leq -\frac{7}{6}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 05-05-2016 - 20:22


#126
nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1451 Bài viết

Bài 62: Cho x,y,z thuộc [1;2]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$E=\frac{2(xy+yz+zx)}{xyz+2(2x+y+z)}+\frac{8}{2x(y+z)+yz+4}-\frac{y+z+4}{\sqrt{yz}+1}$

Làm như này có được không nhỉ? 

Giải:

Ta có 

$xyz+2(2x+y+z)-2x(y+z)-yz-4=(x-1)(y-2)(z-2)\geqslant 0$

$\Rightarrow xyz+2(2x+y+z)\geqslant 2x(y+z)+yz+4$

Mà $y,z \in [1;2]\Rightarrow yz\leqslant 4$ $\Rightarrow 2x(y+z)+yz+4\geqslant 2(xy+yz+zx)$

$\Rightarrow xyz+2(2x+y+z)\geqslant 2(xy+yz+zx)$

$\Rightarrow E\leqslant 1+\frac{8}{2x(y+z)+yz+4}-\frac{y+z+4}{\sqrt{yz}+1}$

Có $(x-1)(y-1)(z-1)\geq 0\Leftrightarrow xyz\geqslant xy+yz+zx-(x+y+z)+1$

$(x-2)(y-2)(z-2)\leqslant 0\Leftrightarrow xyz\leqslant 2(xy+yz+zx)-4(x+y+z)+8$

$\Rightarrow 2(xy+yz+zx)-4(x+y+z)+8\geqslant xy+yz+zx-(x+y+z)+1$

$\Leftrightarrow x(y+z)+7-3x\geqslant 3(y+z)$

mà $x(y+z)+yz+7-3x\leq x(y+z)+yz+4$; $3(y+z)\geqslant 6\sqrt{yz}$

$\Rightarrow x(y+z)\geqslant 6\sqrt{yz}-yz-4$

$\Rightarrow E\leq 1-\frac{8}{yz-12\sqrt{yz}+4}-\frac{2(\sqrt{yz}+2)}{\sqrt{yz}+1}$

Đặt $t=\sqrt{yz}\Rightarrow t \in [1;2]$

$\Rightarrow E\leq 1-\frac{8}{t^2-12t+4}-\frac{2(t+2)}{t+1}\leqslant \frac{-7}{6}$

$\Leftrightarrow (t-2)(t^2-21t+46)\leqslant 0$ (Đúng)

$\Rightarrow E\leqslant \frac{-7}{6}$

Vậy Max $P=\frac{-7}{6}$ $\Leftrightarrow x=1;y=z=2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 05-05-2016 - 20:56

"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 


#127
phamngochung9a

phamngochung9a

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THPT
  • 480 Bài viết

Bài 63:Cho x,y,z thuộc [1;2]. Tìm giá trị lớn nhất của:
$F=(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

$F=3+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}$

Không mất tính tổng quát, giả sử $2\geq x\geq y\geq z\geq 1$

Xét các tích sau:

  • $\left ( \frac{x}{y}-1 \right )\left ( \frac{y}{z}-1 \right )\geq 0\Rightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{z}\leq \frac{x}{z}+1$
  • $\left ( \frac{y}{x}-1 \right )\left ( \frac{z}{y}-1 \right )\geq 0\Rightarrow \frac{y}{x}+\frac{z}{y}\leq \frac{z}{x}+1$

Vậy:

$F\leq 5+2\left ( \frac{z}{x}+\frac{x}{z} \right )$

Đặt $t=\frac{x}{z}$, dễ chứng minh: $t\in \left [ 1;2 \right ]$ 

Khi đó: $F\leq 5+2\left ( t+\frac{1}{t} \right )$

 

Khảo sát hàm số trên với $t\in \left [ 1;2 \right ]$, ta được $F\leq 10$



#128
ZOT Murloc

ZOT Murloc

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 27 Bài viết

Không biết có spam hay không nhưng hình như 

$\left\{\begin{matrix} c=0 & \\ a=b=\frac{2}{\sqrt{3}} & \end{matrix}\right.$

 không thỏa mãn điều kiện giả thiết, bạn ạ

Giả thiết là $ab+bc+ca=1$ mà

Oops. Cảm ơn bạn nhé :)) Mình lộn mất rồi. Mà nếu theo lời người ra bài thì số 3 phải thay bằng số 1 thì ms chuẩn đề thầy Nam :V Nếu nt thì dấu bằng sẽ là c=0,a=b=1. Mình đoán là có nhầm lẫn :P


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ZOT Murloc: 05-05-2016 - 22:36


#129
tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1644 Bài viết

Bài 70: Cho $0\le c\le b\le a\le 1$. Tìm min của biểu thức:

$P=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}-\frac{(a-c)^2}{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 05-05-2016 - 23:15


#130
tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1644 Bài viết

Bài 71:Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2\ge a+b+c$. Tìm GTNN của biểu thức:

$P=\sum \frac{a^2}{b+c}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 05-05-2016 - 23:15


#131
tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1644 Bài viết

Bài 72: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác với $a+b+c=3$. Tìm Min của:

$P=3a^2+3b^2+3c^2+4abc$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 05-05-2016 - 23:18


#132
tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1644 Bài viết

Bài 73: Cho a,b,c>0 và abc=1. Chứng minh:

$\sum \frac{2}{a^2(b+c)}\ge 3$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 19-06-2016 - 20:09


#133
tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1644 Bài viết

Bài 74: Cho x,y,x là các số thực dương thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2=1$. Tìm GTNN của biểu thức:

$\sum \frac{x}{1-x^2}$



#134
tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1644 Bài viết

Bài 75: Cho $x,y,z\ge 1$.Tìm GTNN của biểu thức:

$\sum \left(\frac{x^2}{1+x^3}\right)+\sqrt{\frac{8+x^2y^2z^2}{3}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 05-05-2016 - 23:34


#135
nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1451 Bài viết

Bài 73: Cho a,b,c>0 và abc=1. Chứng minh:

$\sum \frac{2}{a^2(b+c)}\ge 3$

Giải 

BĐT $\Leftrightarrow \frac{(bc)^2}{b+c}+\frac{(ca)^2}{c+a}+\frac{(ab)^2}{a+b}\geqslant \frac{3}{2}$

Áp dụng Cauchy Schwarz và $AM-GM$ ta được 

$VT\geqslant \frac{(ab+bc+ca)^2}{2(a+b+c)}\geqslant \frac{3abc(a+b+c)}{2(a+b+c)}=\frac{3}{2}$

Dấu "=" khi $a=b=c=1$

Bạn nên đăng những bài đậm chất thi ĐH thì hợp lí hơn với tên của TOPIC này!! :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 05-05-2016 - 23:40

"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 


#136
tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1644 Bài viết

Bài 76: Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx+2$. Tìm GTNN của biểu thức:

$P=\frac{3x(x^2+y^2+z^2)}{(x+y+z)^2}+\frac{8(y^2+z^2)}{2y^2+2z^2+xy+xz}$



#137
tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1644 Bài viết

Bài 77: Cho $x,y,z>0$ và $xy^2z^2+x^2z+y=3z^2$. Tìm max của 

$P=\frac{z^4}{1+z^4(x^4+y^4)}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 31-05-2016 - 12:01


#138
NTA1907

NTA1907

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1014 Bài viết

Bài 77: Cho $x,y,z>0$ và $xy^2z^2+x^2z+y=3z^2$. Tìm max của 

$P=\frac{z^4}{1+z^4(x^4+y^4)}$

Do $z>0$ nên từ $xy^{2}z^{2}+x^{2}z+y=3z^{2}\Rightarrow xy^{2}+\frac{x^{2}}{z}+\frac{y}{z^{2}}=3$

Áp dụng AM-GM ta có:

$(x^{2}y^{2}+y^{2})+(x^{2}+\frac{x^{2}}{z^{2}})+(\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{1}{z^{2}})\geq 2(xy^{2}+\frac{x^{2}}{z}+\frac{y}{z^{2}})=6$

$P=\frac{z^{4}}{1+z^{4}(x^{4}+y^{4})}=\frac{1}{\frac{1}{z^{4}}+x^{4}+y^{4}}$

Đặt $a=\frac{1}{z^{2}}, b=x^{2}, c=y^{2}(a,b,c>0)\Rightarrow P=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Theo AM-GM ta chứng minh được:

$3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 2(ab+bc+ca+a+b+c)-3=2(x^{2}y^{2}+y^{2}+x^{2}+\frac{x^{2}}{z^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{1}{z^{2}})-3\geq 9$

$\Rightarrow P\leq \frac{1}{3}$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=1\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{z}=1\Leftrightarrow x=y=z=1$


Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.

 


#139
NTA1907

NTA1907

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1014 Bài viết

Bài 72: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác với $a+b+c=3$. Tìm Min của:

$P=3a^2+3b^2+3c^2+4abc$

Áp dụng nguyên lí Đi-rích-lê ta có:

$(a-1)(b-1)\geq 0 \Leftrightarrow ab\geq a+b-1\Rightarrow abc\geq ac+bc-c=c(a+b)-c=c(3-c)-c=2c-c^{2}$

Khi đó ta có:

$P\geq \frac{3}{2}(a+b)^{2}+3c^{2}+4(2c-c^{2})=\frac{3}{2}(3-c)^{2}+8c-c^{2}=\frac{c^{2}}{2}-c+\frac{27}{2}=\frac{(c-1)^{2}+26}{2}\geq 13$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=1$


Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.

 


#140
tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1644 Bài viết

Bài 78: Cho ba số thực a,b,c thay đổi thuộc [1;2] và thỏa mãn: $a+b+c\le 4$.

Chứng minh đẳng thức: $\sum \frac{a^2}{bc+2}>\frac{2}{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 06-05-2016 - 19:54





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh