Đến nội dung

Hình ảnh

Tổng hợp các bài BĐT trong các đề thi thử THPT Quốc Gia môn Toán năm 2017


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 383 trả lời

#201
phamngochung9a

phamngochung9a

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THPT
  • 480 Bài viết

bài 108:Cho các số thực không âm thỏa mãn a+b+c=$\frac{3}{2}$.Tìm GTNN của biểu thức

P=$(a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1)$

Ta sẽ chứng minh:

$\left ( a^{2}+1 \right )\left ( b^{2}+1 \right )\left ( c^{2}+1 \right )\geq \frac{5}{16}\left ( a+b+c+1 \right )^{2}$

Thật vậy: 

$\left ( a^{2}+1 \right )\left ( b^{2}+1 \right )\left ( c^{2}+1 \right )\\=\left ( a^{2}b^{2}+a^{2}+b^{2}+1 \right )\left ( c^{2}+1 \right )\\=\left ( a^{2}b^{2}+\frac{1}{16}+a^{2}+b^{2}+\frac{15}{16} \right )\left ( c^{2}+1 \right )\\\geq \left ( a^{2}+\frac{1}{2}ab+b^{2}+\frac{15}{16} \right )\left ( c^{2}+1 \right )\\\geq \left [ \frac{5}{8}\left ( a+b \right )^{2}+\frac{15}{16} \right ]\left ( c^{2}+1 \right )$

Vậy ta chỉ cần chứng minh:

$\left [ \frac{5}{8}\left ( a+b \right )^{2}+\frac{15}{16} \right ]\geq \frac{5}{16}\left ( a+b+c+1 \right )^{2}\\\Leftrightarrow \left [ 2\left ( a+b \right )^{2}+3 \right ]\left ( c^{2}+1 \right )\geq \left ( a+b+c+1 \right )^{2}$

Đặt $a+b=x$, bằng biến đổi tương đương, dễ chứng minh:

$2x^{2}+3\geq \left ( x+1 \right )^{2}+1$

$\Rightarrow \left ( 2x^{2}+3 \right )\left ( c^{2}+1 \right )\geq \left [ \left ( x+1 \right )^{2}+1 \right ]\left ( 1+c^{2} \right )\\\geq \left ( x+c+1 \right )^{2}\rightarrow Q.E.D$



#202
tungteng532000

tungteng532000

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 174 Bài viết

Bài 107:Chứng Minh Rằng với mọi  a,b,c dương,ta đều có:

$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$$\geq 2$

Ta có: $(\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}-1)+(\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}-1)=(a-b)^2(\frac{1}{ab+bc+ca}-\frac{2c}{(a+b)(b+c)(c+a)})+(a-c)(b-c)(\frac{1}{ab+bc+ca}-\frac{1}{(b+c)(c+a)})$
Giả sử $a\geq b\geq c$
Ta có: $\frac{1}{ab+bc+ca}-\frac{2c}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq \frac{1}{ab+bc+ca}-\frac{a+b}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{1}{ab+bc+ca}-\frac{1}{(b+c)(c+a)}=\frac{c^2}{(ab+bc+ca)(b+c)(c+a)}>0$
$\frac{1}{ab+bc+ca}-\frac{1}{(b+c)(c+a)}=\frac{c^2}{(ab+bc+ca)(b+c)(c+a)}>0$
Bđt được chứng minh, đẳng thức xảy ra khi a=b=c.
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tungteng532000: 25-05-2016 - 22:54

                                              Lời giải hay thì like nhé :))
FB: 
https://www.facebook...oylanh.lung.564


#203
nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1451 Bài viết

Bài 109: (Đề thi thử SD và ĐT tỉnh Ninh Bình 2016)

 

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn : $\frac{1}{c^2}=\frac{2}{a^2}+\frac{2}{b^2}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của :

 

$$P=\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{a+2c}+\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

Cách giải bài $109$

http://diendantoanho...raccsqrta2b2c2/

Mình thấy đây là bài toán không phải mới nên lười gõ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 26-05-2016 - 01:17

"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 


#204
Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1396 Bài viết

Bài 110 (Đề thi thử lần 2 chuyên Lương Thế Vinh - Đồng Nai năm 2016)

 

Cho $x,y$ dương thỏa mãn : $x^4+y^4+\frac{4}{xy}=9xy-3$ . Tìm GTLN của biểu thức : $P=\frac{1}{(x^3+y^3)(x^2+y^2)}-\frac{1}{1+2xy}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 30-05-2016 - 13:02


#205
ngothithuynhan100620

ngothithuynhan100620

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 107 Bài viết

Bài 110 (Đề thi thử lần 2 chuyên Lương Thế Vinh - Đồng Nai năm 2016)

 

Cho $x,y$ dương thỏa mãn : $x^4+y^4+\frac{4}{xy}=9xy-3$ . Tìm GTLN của biểu thức : $P=\frac{1}{(x^3+y^3)(x^2+y^2)}-\frac{1}{1+2xy}$

C1: Ta có BDT quen thuộc :$x^3+y^3\ge \frac{1}{2}(x^2+y^2)(x+y)$

$=>P\le \frac{2}{(x^2+y^2)^2(x+y)}-\frac{1}{1+2xy}$

Lại có: $x+y\ge 2\sqrt{xy}$

$=>P\le \frac{1}{(x^2+y^2)^2\sqrt{xy}}-\frac{1}{1+2xy}$

Hay $P\le \frac{1}{\sqrt{t}(9t-3-\frac{4}{t}-2t^2)}-\frac{1}{1+2t}$ (do giả thiết và đặt $t=xy$).

Mặt khác ta lại có: $x^4+y^4\ge 2x^2y^2=> 9xy-3=x^4+y^4+\frac{4}{xy}\ge 2x^2y^2+\frac{4}{xy}\iff (xy-1)(2xy+1)(xy-4)\le 0\iff 1\le xy\le 4$

Hay $1\le t\le 4$.

Đến đây khảo sát $f(t)= \frac{1}{\sqrt{t}(9t-3-\frac{4}{t}-2t^2)}-\frac{1}{1+2t},1\le t\le 4$

$=> Max(f)=\frac{-1}{12}.khi.t=1\iff x=y=1$.

Vậy $MaxP=\frac{-1}{12}$

C2: Làm tương tự như trên ta có: $1\le xy\le 4$.

Áp dụng BDT Cauchy ta có:

$P\le \frac{1}{4*\sqrt{x^5y^5}}-\frac{1}{1+2xy}$

Đến đây xét hàm $(f(t)=\frac{1}{4*\sqrt{t^5}}-\frac{1}{1+2t},1\le t\le 4$ 

Ta tìm được $Maxf(t)=\frac{-1}{12}.khi.t=1\iff x=y=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngothithuynhan100620: 26-05-2016 - 17:17

                                                                                                                                                                   Lấy bất biến ứng vạn biến

                                                                                                                                                                               ED05DCDD2A7559524BE5222A4F48EFE5.png      


#206
Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1396 Bài viết

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC DÀNH CHO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN TỤY NĂM 2015-2016

 

Bài 111 (Lần 1) Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn : $a+b+c=1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 

$$P=\frac{a^2}{(b+c)^2+5bc}+\frac{b^2}{(c+a)^2+5ac}-\frac{3}{4}(a+b)^2$$

 

Bài 112 (Lần 2) Cho các số không âm $a,b$ và số dương $c$ thỏa mãn $a^3+b^3=c(c-1)$ . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của:

 

$$P=\frac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 30-05-2016 - 13:03


#207
phamngochung9a

phamngochung9a

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THPT
  • 480 Bài viết

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC DÀNH CHO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN TỤY NĂM 2015-2016

 

Bài 111 (Lần 1) Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn : $a+b+c=1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 

$$P=\frac{a^2}{(b+c)^2+5bc}+\frac{b^2}{(c+a)^2+5ac}-\frac{3}{4}(a+b)^2$$

 

Bài 112 (Lần 2) Cho các số không âm $a,b$ và số dương $c$ thỏa mãn $a^3+b^3=c(c-1)$ . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của:

 

$$P=\frac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}$$

Bài 111:

Khá quen thuộc

Ta có:

$P\geq \frac{4}{9}.\frac{a^{2}}{\left ( b+c \right )^{2}}+\frac{4}{9}.\frac{b^{2}}{\left ( c+a \right )^{2}}-\frac{3}{2}\left ( a^{2}+b^{2} \right )\\=\frac{4}{9}.\frac{a^{2}}{\left ( 1-a \right )^{2}}+\frac{4}{9}.\frac{b^{2}}{\left ( 1-b \right )^{2}}-\frac{3}{2}a^{2}-\frac{3}{2}b^{2}$

Bằng biến đổi tương đương, dễ dàng chứng minh:

$\frac{4}{9}.\frac{x^{2}}{\left ( 1-x \right )^{2}}-\frac{3}{2}x^{2}\geq \frac{-1}{18}$ với mọi $x\in \left ( 0;1 \right )$

Vậy: 

$\min P=-\frac{1}{9}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{1}{3} & & \\ b=\frac{1}{3} & & \\ c=\frac{1}{3} & & \end{matrix}\right.$
Bài 112
  • Find maximum:
Ta có: $P=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{\left ( a+b+c \right )^{2}}\\\leq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{\left ( a+b+c \right )^{2}}=1$
Vậy $\max P=1\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=0 & & \\ b=0 & & \\ c=1 & & \end{matrix}\right.$
  • Find minimum:

Từ giả thiết: $a^{3}+b^{3}=c\left ( c-1 \right ).1\leq c.\frac{c^{2}}{4}=\frac{c^{3}}{4}$

Mà: $a^{3}+b^{3}\geq \frac{\left ( a+b \right )^{3}}{4}$

Vậy: $\frac{c^{3}}{4}\geq \frac{\left ( a+b \right )^{3}}{4}\\\Leftrightarrow \frac{c}{a+b}\geq 1$

$P\geq \frac{\frac{1}{2}\left ( a+b \right )^{2}+c^{2}}{\left ( a+b+c \right )^{2}}\\=\frac{1+2\left ( \frac{c}{a+b} \right )^{2}}{2\left ( 1+\frac{c}{a+b} \right )^{2}}$

Đặt $t=\frac{c}{a+b}$, ta có: $t\in \left [ 1;+\infty  \right )$

Khi đó: $P\geq \frac{1+2t^{2}}{2\left ( 1+t \right )^{2}}$

Khảo sát hàm số trên với $t\in \left [ 1;+\infty  \right )$, ta thu được:

$\min P=\frac{3}{8}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=1 & & \\ b=1 & & \\ c=2 & & \end{matrix}\right.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 26-05-2016 - 20:37


#208
ineX

ineX

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 353 Bài viết

TOPIC này đã được Tổng hợp trong File trên và sẽ được cập nhật liên tục!

File gửi kèm


"Tôi sinh ra là để thay đổi thế giới chứ không phải để thế giới thay đổi tôi" - Juliel

 

3cf67218ea144a6eb6caf571068071ff.1.gif


#209
tien123456789

tien123456789

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 116 Bài viết

Bài 113:Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn $ a> 0,b+c> 0,a^{2}+b^{2}+c^{2}=1 $.CMR

$ \frac{a^{3}}{b^{2}-bc+c^{2}}+\frac{b^{3}+c^{3}}{a^{2}}\geq \sqrt{2} $


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 30-05-2016 - 12:56

Điều quan trọng là đừng bao giờ bỏ cuộc. Đừng lo sợ sự chậm trễ mà hãy lo sợ khi dừng lại. - Kim Nan Do


#210
tien123456789

tien123456789

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 116 Bài viết

Bài 114:(Trường THPT Quảng Xương 4 -Thanh Hóa)

Giả sử x,y,z là ba số thực dương thỏa mãn $x> y$ và $xy+(x+y)z+z^{2}= 1$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{1}{4(x-y)^{2}}+\frac{1}{(x+z)^{2}}+\frac{1}{(y+z)^{2}}$

Bài 115:(Trường THPT Cẩm Thủy 1-Thanh Hóa)

cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $c(a^{2}+b^{2})= a+b$.Tìm GTNN của biểu thức:

P=$\frac{1}{(a+1)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}+\frac{1}{(1+c)^{2}}+\frac{4}{(a+1)(b+1)(c+1)}$

Bài 116:(Trường THPT Cẩm Thủy 3-Thanh Hóa)

Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn $5^{-x}+5^{-y}+5^{-z}= 1$.CMR

$\frac{25^{x}}{5^{x}+5^{y+z}}+\frac{25^{y}}{5^{y}+5^{x+z}}+\frac{25^{z}}{5^{z}+5^{x+y}}\geq \frac{5^{x}+5^{y}+5^{z}}{4}$

Bài 117:(Chuyên Vĩnh Phúc-lần 3)

Cho các số thực dương x,y thỏa mãn điều kiện $x+y= 2016$.Tìm GTNN của biểu thức

$\sqrt{5x^{2}+xy+3y^{2}}+\sqrt{3x^{2}+xy+5y^{2}}+\sqrt{x^{2}+xy+2y^{2}}+\sqrt{2x^{2}+xy+y^{2}}$

Bài 118:Chuyên Vĩnh Phúc-lần 1)

Cho x,y$\in \mathbb{R}$ thỏa mãn$\left\{\begin{matrix} 2y\geq x^{2} & \\ y\leq -2x^{2}+3x& \end{matrix}\right.$.Tìm GTNN của biểu thức:

$P=x^{4}+y^{4}+\frac{2}{(x+y)^{2}}$

Bài 119: (THPT Hàn Thuyên-Bắc Ninh)

Cho các số thực x,y,z thỏa mãn x>2,y>1,z>0.Tìm GTLN của biểu thức:

$P=\frac{1}{2\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}-2(2x+y-3)}}-\frac{1}{y(x-1)(z+1)}$

Bài 120:(Lương Thế Vinh- Hà Nội-lần 3)

Cho các số thực a,b dương thỏa mãn $ab\geq 1$.Tìm GTNN của biểu thức:

$T=\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}-\frac{32}{\sqrt{2a(1+a)+2b(1+b)+8}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 01-06-2016 - 15:43

Điều quan trọng là đừng bao giờ bỏ cuộc. Đừng lo sợ sự chậm trễ mà hãy lo sợ khi dừng lại. - Kim Nan Do


#211
tuanyeubeo2000

tuanyeubeo2000

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết

 

Bài 117:(Chuyên Vĩnh Phúc-lần 3)

Cho các số thực dương x,y thỏa mãn điều kiện $x+y= 2016$.Tìm GTNN của biểu thức

$\sqrt{5x^{2}+xy+3y^{2}}+\sqrt{3x^{2}+xy+5y^{2}}+\sqrt{x^{2}+xy+2y^{2}}+\sqrt{2x^{2}+xy+y^{2}}$

 

Bài 117 : $ P=\sqrt { { 5x }^{ 2 }+xy+{ 3 }y^{ 2 } } +\sqrt { { 5y }^{ 2 }+xy+{ 3x }^{ 2 } } +\sqrt { { x }^{ 2 }+xy+{ 2 }y^{ 2 } } +\sqrt { { 2y }^{ 2 }+xy+z^{ 2 } } \\ =\sqrt { { (x+\frac { y }{ 2 } ) }^{ 2 }+{ (2x })^{ 2 }+\frac { 11{ y }^{ 2 } }{ 4 }  } +\sqrt { (y+\frac { x }{ 2 } )^{ 2 }+{ (2y) }^{ 2 }+\frac { 11{ x }^{ 2 } }{ 4 }  } +\sqrt { { (x+\frac { y }{ 2 } ) }^{ 2 }+\frac { 7{ y }^{ 2 } }{ 4 }  } +\sqrt { { (y+\frac { x }{ 2 } ) }^{ 2 }+\frac { 7{ x }^{ 2 } }{ 4 }  } \\ Áp\quad dụng\quad bđt\quad mincop-xki\quad ta\quad có\quad :\\ P\ge \sqrt { { (x+y+\frac { x+y }{ 2 } ) }^{ 2 }+{ (2x+2y) }^{ 2 }+\frac { 11 }{ 4 } { (x+y) }^{ 2 } } +\sqrt { { (x+y+\frac { x+y }{ 2 } ) }^{ 2 }+\frac { 7 }{ 4 } { (x+y) }^{ 2 } } =6048+4032=10080 $


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 28-05-2016 - 11:25

Hiện tại là tặng phẩm vì theo cách chơi chữ trong tiếng anh thì hai từ nãy gần như là một 

Nên người nước ngoài luôn đưa ra một chân lý và chứng minh nó bằng ý nghĩa của họ chứ không phải cách tạo nên hai từ đó 

Vậy nên : Qùa tặng là cuộc sống hiện tại - Hãy nắm nó thật chắc


#212
tuanyeubeo2000

tuanyeubeo2000

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết

 

Bài 115:(Trường THPT Cẩm Thủy 1-Thanh Hóa)

cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $c(a^{2}+b^{2})= a+b$.Tìm GTNN của biểu thức:

P=$\frac{1}{(a+1)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}+\frac{1}{(1+c)^{2}}+\frac{4}{(a+1)(b+1)(c+1)}$

 

Bài 115 : $ Gt:a+b=c({ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 })\ge \frac { { (a+b) }^{ 2 } }{ 2 } c=>a+b\le \frac { 2 }{ c } .Ta\quad có\quad bổ\quad đề\quad sau\quad :\\ \frac { 1 }{ { (x+1) }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ { (y+1) }^{ 2 } } \ge \frac { 1 }{ (x+y)(x+\frac { 1 }{ y } ) } +\frac { 1 }{ (x+y)(y+\frac { 1 }{ x } ) } =\frac { 1 }{ xy+1 } .Áp\quad dụng\quad ta\quad có\quad :\\ \frac { 1 }{ { (a+1) }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ { (b+1) }^{ 2 } } \ge \frac { 1 }{ ab+1 } \ge \frac { 1 }{ \frac { { (a+b) }^{ 2 } }{ 4 } +1 } =\frac { 4 }{ { (a+b) }^{ 2 }+4 } \ge \frac { c^{ 2 } }{ 1+{ c }^{ 2 } } .Và\quad \frac { 1 }{ { (c+1) }^{ 2 } } \ge \frac { 1 }{ 2({ c }^{ 2 }+1) } \\ Chú\quad ý\quad thêm\quad (a+1)(b+1)(c+1)\le \frac { { (a+b+2) }^{ 2 }(c+1) }{ 4 } \le \frac { { (c+1) }^{ 3 } }{ { c }^{ 2 } } .\quad Đến\quad đây\quad :\\ =>P\ge \frac { { c }^{ 2 } }{ 1+{ c }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ 2(c^{ 2 }+1) } +\frac { { 4c }^{ 2 } }{ { (c+1) }^{ 3 } } (\quad đến\quad đây\quad hàm\quad c) $


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 28-05-2016 - 11:25
Làm câu nào thì trích câu đó thôi :)

Hiện tại là tặng phẩm vì theo cách chơi chữ trong tiếng anh thì hai từ nãy gần như là một 

Nên người nước ngoài luôn đưa ra một chân lý và chứng minh nó bằng ý nghĩa của họ chứ không phải cách tạo nên hai từ đó 

Vậy nên : Qùa tặng là cuộc sống hiện tại - Hãy nắm nó thật chắc


#213
tuanyeubeo2000

tuanyeubeo2000

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết

Bài 114:(Trường THPT Quảng Xương 4 -Thanh Hóa)

Giả sử x,y,z là ba số thực dương thỏa mãn $x> y$ và $xy+(x+y)z+z^{2}= 1$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{1}{4(x-y)^{2}}+\frac{1}{(x+z)^{2}}+\frac{1}{(y+z)^{2}}$

 

Bài 114 : $ Gt:<=>(z+x)(z+y)=1.\quad Đặt\quad x+z=a\quad ,\quad y+z=b\quad ->\quad x-y=a-b->{ (x-y) }^{ 2 }={ (a-b) }^{ 2 }\\ <=>{ (x-y) }^{ 2 }={ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }-2.\quad =>P\ge \frac { 1 }{ 4({ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }-2) } +\frac { 1 }{ { a }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ { b }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 4\left[ { (a+b) }^{ 2 }-4 \right]  } +{ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }\\ =\frac { 1 }{ 4\left[ { (a+b) }^{ 2 }-4 \right]  } +{ (a+b) }^{ 2 }-2\quad (\quad đến\quad đây\quad xét\quad hàm\quad f(t)\quad với\quad t=\quad a+b) $


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 28-05-2016 - 11:23
Làm câu nào thì trích câu đó

Hiện tại là tặng phẩm vì theo cách chơi chữ trong tiếng anh thì hai từ nãy gần như là một 

Nên người nước ngoài luôn đưa ra một chân lý và chứng minh nó bằng ý nghĩa của họ chứ không phải cách tạo nên hai từ đó 

Vậy nên : Qùa tặng là cuộc sống hiện tại - Hãy nắm nó thật chắc


#214
tuanyeubeo2000

tuanyeubeo2000

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết

Bài 121:  ( THPT Chuyên - Bình Long )

$ Cho\quad x,y,z\ge 0,thõa\quad mãn\quad \sum { x^{ 2 } } =2,với\quad x=\quad max\quad \left\{ x,y,z \right\} và\quad { y }^{ 2 }+z>0.\quad Tìm\quad GTNN\quad của\\ P=\frac { 6{ x }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 }+z } +\frac { 6{ y }^{ 2 } }{ { y }^{ 2 }+z } +\frac { z }{ 2x+{ y }^{ 3 } }  $


Hiện tại là tặng phẩm vì theo cách chơi chữ trong tiếng anh thì hai từ nãy gần như là một 

Nên người nước ngoài luôn đưa ra một chân lý và chứng minh nó bằng ý nghĩa của họ chứ không phải cách tạo nên hai từ đó 

Vậy nên : Qùa tặng là cuộc sống hiện tại - Hãy nắm nó thật chắc


#215
phamngochung9a

phamngochung9a

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THPT
  • 480 Bài viết

Bài 113:Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn $a> 0,b+c> 0,a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$.CMR

$\frac{a^{3}}{b^{2}-bc+c^{2}}+\frac{b^{3}+c^{3}}{a^{2}}\geq \sqrt{2}$

Vì vai trò của $b,c$ là như nhau nên ta có thể giả sử $b\geq c$

  • Nếu $a\geq \sqrt{\frac{4}{5}}$

Ta có: $\frac{a^{3}}{b^{2}}+\frac{b^{3}}{a^{2}}\\=\frac{a^{3}}{3b^{2}}+\frac{a^{3}}{3b^{2}}+\frac{a^{3}}{3b^{2}}+\frac{b^{3}}{2a^{2}}+\frac{b^{3}}{2a^{2}}\\\geq 5\sqrt[5]{\frac{a^{5}}{108}}> \sqrt{2}$

  • Nếu $a< \sqrt{\frac{4}{5}}$

Áp dụng BĐT Cauchy- Schwarz, ta có:

$P\geq \frac{\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}}{a^{2}b+ab^{2}+a^{2}c+ac^{2}-abc}= \frac{1}{a^{2}b+ab^{2}+a^{2}c+ac^{2}-abc}$

Vậy ta chỉ cần chứng minh: $A=a^{2}b+ab^{2}+a^{2}c+ac^{2}-abc\leq \frac{1}{\sqrt{2}}$, thật vậy:

$A=f\left ( a,bc \right )=a^{2}\sqrt{1-a^{2}+bc}+a\left ( 1-a^{2} \right )-abc$

Xét hiệu:

$d=f\left ( a,bc \right )-f\left ( a,0 \right )\\=a^{2}.\frac{bc}{\sqrt{1-a^{2}+bc}+\sqrt{1-a^{2}}}-abc\\=\frac{abc}{\sqrt{1-a^{2}+bc}+\sqrt{1-a^{2}}}.\left ( a-\sqrt{1-a^{2}}-\sqrt{1-a^{2}+bc} \right )\\\leq \frac{abc}{\sqrt{1-a^{2}+bc}+\sqrt{1-a^{2}}}.\left ( a-2\sqrt{1-a^{2}} \right )\\=\frac{abc}{\sqrt{1-a^{2}+bc}+\sqrt{1-a^{2}}}.\frac{5a^{2}-4}{a+2\sqrt{1-a^{2}}}\leq 0$

Vậy:

$A\leq a^{2}\sqrt{1-a^{2}}+a\left ( 1-a^{2} \right )\\\leq \frac{1}{2}a+a-a^{3}=\frac{3}{2}a-a^{3}$

Khảo sát hàm số trên với $a\in \left ( 0;1 \right ]$, ta được: $A\leq \frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow P\geq \sqrt{2}$

 

Ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{1}{\sqrt{2}} & & \\ b=\frac{1}{\sqrt{2}} & & \\ c=0 & & \end{matrix}\right.$ hoặc hoán vị $b$  và $c$ 

 

P.s: Lời giải dùng dồn biến nên hơi củ chuối  :D . Ai có lời giải thuần túy thì post lên nhé


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 28-05-2016 - 08:16


#216
tien123456789

tien123456789

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 116 Bài viết

Vì vai trò của $b,c$ là như nhau nên ta có thể giả sử $b\geq c$

  • Nếu $a\geq \sqrt{\frac{4}{5}}$

Ta có: $\frac{a^{3}}{b^{2}}+\frac{b^{3}}{a^{2}}\\=\frac{a^{3}}{3b^{2}}+\frac{a^{3}}{3b^{2}}+\frac{a^{3}}{3b^{2}}+\frac{b^{3}}{2a^{2}}+\frac{b^{3}}{2a^{2}}\\\geq 5\sqrt[5]{\frac{a^{5}}{108}}> \sqrt{2}$

  • Nếu $a< \sqrt{\frac{4}{5}}$

Áp dụng BĐT Cauchy- Schwarz, ta có:

$P\geq \frac{\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}}{a^{2}b+ab^{2}+a^{2}c+ac^{2}-abc}= \frac{1}{a^{2}b+ab^{2}+a^{2}c+ac^{2}-abc}$

Vậy ta chỉ cần chứng minh: $A=a^{2}b+ab^{2}+a^{2}c+ac^{2}-abc\leq \frac{1}{\sqrt{2}}$, thật vậy:

$A=f\left ( a,bc \right )=a^{2}\sqrt{1-a^{2}+bc}+a\left ( 1-a^{2} \right )-abc$

Xét hiệu:

$d=f\left ( a,bc \right )-f\left ( a,0 \right )\\=a^{2}.\frac{bc}{\sqrt{1-a^{2}+bc}+\sqrt{1-a^{2}}}-abc\\=\frac{abc}{\sqrt{1-a^{2}+bc}+\sqrt{1-a^{2}}}.\left ( a-\sqrt{1-a^{2}}-\sqrt{1-a^{2}+bc} \right )\\\leq \frac{abc}{\sqrt{1-a^{2}+bc}+\sqrt{1-a^{2}}}.\left ( a-2\sqrt{1-a^{2}} \right )\\=\frac{abc}{\sqrt{1-a^{2}+bc}+\sqrt{1-a^{2}}}.\frac{5a^{2}-4}{a+2\sqrt{1-a^{2}}}\leq 0$

Vậy:

$A\leq a^{2}\sqrt{1-a^{2}}+a\left ( 1-a^{2} \right )\\\leq \frac{1}{2}a+a-a^{3}=\frac{3}{2}a-a^{3}$

Khảo sát hàm số trên với $a\in \left ( 0;1 \right ]$, ta được: $A\leq \frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow P\geq \sqrt{2}$

 

Ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{1}{\sqrt{2}} & & \\ b=\frac{1}{\sqrt{2}} & & \\ c=0 & & \end{matrix}\right.$ hoặc hoán vị $b$  và $c$ 

 

P.s: Lời giải dùng dồn biến nên hơi củ chuối  :D . Ai có lời giải thuần túy thì post lên nhé

sử dụng cauchy-schwarz ta có$VT\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{a(b^{2}-bc+c^{2}+a(c+b))}\geq \frac{1}{a(b^{2}-bc+c^{2}+\frac{a^{2}+(b+c)^{2}}{2})}=\frac{2}{a(a^{2}+3b^{2}+3c^{2})}= \frac{2}{a(3-2a^{2})}$

bài toán quy về chứng minh 

$a(3-2a^{2})\leq \sqrt{2}\Leftrightarrow 2a^{3}+\sqrt{2}\geq 3a$ (đúng theo AM-GM)


Điều quan trọng là đừng bao giờ bỏ cuộc. Đừng lo sợ sự chậm trễ mà hãy lo sợ khi dừng lại. - Kim Nan Do


#217
tungteng532000

tungteng532000

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 174 Bài viết

 

Bài 116:(Trường THPT Cẩm Thủy 3-Thanh Hóa)

Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn $5^{-x}+5^{-y}+5^{-z}= 1$.CMR

$\frac{25^{x}}{5^{x}+5^{y+z}}+\frac{25^{y}}{5^{y}+5^{x+z}}+\frac{25^{z}}{5^{z}+5^{x+y}}\geq \frac{5^{x}+5^{y}+5^{z}}{4}$

 

Bài 116:
Đặt $5^x=a,5^y=b,5^z=c$, ta có: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\Leftrightarrow ab+bc+ca=abc$
$P=\sum \frac{a^2}{a+bc}=\sum \frac{a^3}{a^2+abc}=\sum \frac{a^3}{(a+b)(a+c)}$
Áp dụng bđt AM-GM, ta được:
$\frac{a^3}{(a+b)(b+c)}+\frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8}\geq \frac{3}{4}$
Tương tự, ta có: MinP=3
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=log_{5}(3)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 28-05-2016 - 11:30

                                              Lời giải hay thì like nhé :))
FB: 
https://www.facebook...oylanh.lung.564


#218
tuanyeubeo2000

tuanyeubeo2000

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết

 

Bài 120:(Lương Thế Vinh- Hà Nội-lần 3)

Cho các số thực a,b dương thỏa mãn $ab\geq 1$.Tìm GTNN của biểu thức:

$T=\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}-\frac{32}{\sqrt{2a(1+a)+2b(1+b)+8}}$

$ Gt:ab\ge 1->\sqrt { ab } \ge 1.\quad Áp\quad dụng\quad bổ\quad đề\quad :\frac { 1 }{ 1+x } +\frac { 1 }{ 1+y } \ge \frac { 2 }{ 1+\sqrt { xy }  } (\sqrt { xy } \ge 1)\\ =>\frac { 1 }{ a+1 } +\frac { 1 }{ b+1 } \ge \frac { 2 }{ \sqrt { ab } +1 } (vì\quad :\sqrt { ab } \ge 1).Và\quad \\ 2a(a+1)\quad +2b(b+1)+8={ 2a }^{ 2 }+{ 2 }b^{ 2 }+2a+2b+8\ge 4ab+4+4\sqrt { ab } +4\ge 8\sqrt { ab } +4\sqrt { ab } +4=12\sqrt { ab } +4\\ =>P\ge \frac { 2 }{ t+1 } -\frac { 32 }{ \sqrt { 12t+4 }  } (t\ge 1).\quad Xét\quad thấy\quad P\ge -7.\quad Nên\quad <=>(t-1)(147{ t }^{ 2 }+318t+175)\ge 0(\quad đúng) $


Hiện tại là tặng phẩm vì theo cách chơi chữ trong tiếng anh thì hai từ nãy gần như là một 

Nên người nước ngoài luôn đưa ra một chân lý và chứng minh nó bằng ý nghĩa của họ chứ không phải cách tạo nên hai từ đó 

Vậy nên : Qùa tặng là cuộc sống hiện tại - Hãy nắm nó thật chắc


#219
tuanyeubeo2000

tuanyeubeo2000

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết

Bài 122 ( PTNK-ĐHQG-TP.HCM):

$ Cho\quad a,b,c\ge 0\quad thõa\quad mãn\quad \sum { { a }^{ 2 }=2\quad .Tìm\quad min\quad của\quad \quad  } \\ P=\sum { \frac { 1 }{ { (a+b) }^{ 2 } }  } +\frac { 30(ab+bc+ca) }{ { (a+b+c) }^{ 2 } } $


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 30-05-2016 - 13:00

Hiện tại là tặng phẩm vì theo cách chơi chữ trong tiếng anh thì hai từ nãy gần như là một 

Nên người nước ngoài luôn đưa ra một chân lý và chứng minh nó bằng ý nghĩa của họ chứ không phải cách tạo nên hai từ đó 

Vậy nên : Qùa tặng là cuộc sống hiện tại - Hãy nắm nó thật chắc


#220
chidungdijiyeon

chidungdijiyeon

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 67 Bài viết

Ta sẽ chứng minh:

$\left ( a^{2}+1 \right )\left ( b^{2}+1 \right )\left ( c^{2}+1 \right )\geq \frac{5}{16}\left ( a+b+c+1 \right )^{2}$

Thật vậy: 

$\left ( a^{2}+1 \right )\left ( b^{2}+1 \right )\left ( c^{2}+1 \right )\\=\left ( a^{2}b^{2}+a^{2}+b^{2}+1 \right )\left ( c^{2}+1 \right )\\=\left ( a^{2}b^{2}+\frac{1}{16}+a^{2}+b^{2}+\frac{15}{16} \right )\left ( c^{2}+1 \right )\\\geq \left ( a^{2}+\frac{1}{2}ab+b^{2}+\frac{15}{16} \right )\left ( c^{2}+1 \right )\\\geq \left [ \frac{5}{8}\left ( a+b \right )^{2}+\frac{15}{16} \right ]\left ( c^{2}+1 \right )$

Vậy ta chỉ cần chứng minh:

$\left [ \frac{5}{8}\left ( a+b \right )^{2}+\frac{15}{16} \right ]\geq \frac{5}{16}\left ( a+b+c+1 \right )^{2}\\\Leftrightarrow \left [ 2\left ( a+b \right )^{2}+3 \right ]\left ( c^{2}+1 \right )\geq \left ( a+b+c+1 \right )^{2}$

Đặt $a+b=x$, bằng biến đổi tương đương, dễ chứng minh:

$2x^{2}+3\geq \left ( x+1 \right )^{2}+1$

$\Rightarrow \left ( 2x^{2}+3 \right )\left ( c^{2}+1 \right )\geq \left [ \left ( x+1 \right )^{2}+1 \right ]\left ( 1+c^{2} \right )\\\geq \left ( x+c+1 \right )^{2}\rightarrow Q.E.D$

Cho mình hỏi kế quả bài này đi bạn, phải là 49/32 không?? tại mình không dùng đạo hàm, mình dùng BĐT sơ cấp


 "Đừng thấy cái bóng to của mình trên vách tường mà tưởng mình vĩ đại."

* Pythagoras*

Một lần ngã là một lần bớt dại

Ai nên khôn mà chả dại đôi lần





3 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh


    Google (1)