Chủ đề này có 383 trả lời

[tritanngo99]

Bài 172:  Cho $x,y \in R$ và $(x+y)^3+4xy\ge 2$. Tìm GTNN của biểu thức:

$P=3(x^4+y^4+x^2y^2)-2(x^2+y^2)+1$

Bài 173: Cho ba số không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Tìm GTNN của biểu thức:

$P=3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+3(ab+bc+ca)+2\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

Bài 174: Cho hai số dương $x,y$ thỏa mãn điều kiện: $xy+x+y=3$. Tìm GTLN của biểu thức:

$P=\frac{3x}{y(x+1)}+\frac{3y}{x(y+1)}-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{y^2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 21-06-2016 - 12:06

[cristianoronaldo]

Bài 172:  Cho $x,y \in R$ và $(x+y)^3+4xy\ge 2$. Tìm GTNN của biểu thức:

$P=3(x^4+y^4+x^2y^2)-2(x^2+y^2)+1$

Bài 173: Cho ba số không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Tìm GTNN của biểu thức:

$P=3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+3(ab+bc+ca)+2\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

Bài 174: Cho hai số dương $x,y$ thỏa mãn điều kiện: $xy+x+y=3$. Tìm GTLN của biểu thức:

$P=\frac{3x}{y(x+1)}+\frac{3y}{x(y+1)}-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{y^2}$

Câu 173 là đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2009-2010

[leminhnghiatt]

Bài 173: Cho ba số không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Tìm GTNN của biểu thức:

$P=3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+3(ab+bc+ca)+2\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

Đặt $t=xy+yz+zx \rightarrow t=xy+yz+zx \leq \dfrac{(x+y+z)^2}{3}=\dfrac{1}{3}$

 

$P \geq (xy+yz+zx)^2+3(xy+yz+zx)+\sqrt{2(x+y+z)^2-4(xy+yz+zx)}$

 

$\rightarrow P \geq t^2+3t+\sqrt{2-4t}$

 

TXĐ: $t \in [0;\dfrac{1}{3}]$

 

Ta có: $f(t)'=2t+3-\dfrac{2}{\sqrt{2-4t}}$

 

$f(t)'=0 \rightarrow (2t+3)\sqrt{2-4t}=2$

 

với $t \in [0; \dfrac{1}{3}] \rightarrow (2t+3)\sqrt{2-4t} \geq \sqrt{6}>2$

 

$\rightarrow f(t)'=0$ vô nghiệm

 

$f(0)=\sqrt{2}$

 

$f(\dfrac{1}{3})=\dfrac{10+3\sqrt{6}}{9}$

 

Vậy $Min_P=f(0)=\sqrt{2} \iff (x;y;z)=(1;0;0)$ và các hoán vị

[leminhnghiatt]

Bài 174: Cho hai số dương $x,y$ thỏa mãn điều kiện: $xy+x+y=3$. Tìm GTLN của biểu thức:

$P=\frac{3x}{y(x+1)}+\frac{3y}{x(y+1)}-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{y^2}$

 

Đặt $xy=t \rightarrow x+y=3-t$

 

Ta có: $3=x+y+xy \geq xy+2\sqrt{xy} \rightarrow \sqrt{xy} \leq 1 \rightarrow t \leq 1$

 

Ta có:

 

$P=\dfrac{3xy(x+y)+3(x+y)^2-6xy}{xy(xy+x+y+1)}-\dfrac{(x+y)^2-2xy}{x^2y^2}$

 

$=\dfrac{3t(3-t)+3(3-t)^2-6t}{4t}-\dfrac{(3-t)^2-2t}{t^2}$

$=\dfrac{-19t^2+59t-36}{4t^2}$

 

Ta có: $P'=\dfrac{-236t+288}{t^3}$ (với $t \in (0;1]$)

 

$P'=0 \rightarrow t=\dfrac{72}{59} \not \in (0;1]$

 

Vì P' nghịch biến trên $(0;1]$ nên P đạt max tại $P(1)=1 \iff x=y=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 21-06-2016 - 10:07

[nguyenhongsonk612]

Bài 172:  Cho $x,y \in R$ và $(x+y)^3+4xy\ge 2$. Tìm GTNN của biểu thức:

$P=3(x^4+y^4+x^2y^2)-2(x^2+y^2)+1$

 

Giải:

$P=3(x^2+y^2)^2-3x^2y^2-2(x^2+y^2)+1$$\geqslant 3(x^2+y^2)^2-\frac{3(x^2+y^2)^2}{4}-2(x^2+y^2)+1$

   $=\frac{9}{4}(x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)+1$

GT$\Rightarrow 2\leqslant (x+y)^2+(x+y)^3\Rightarrow x+y\geqslant 1\Rightarrow x^2+y^2\geqslant \frac{(x+y)^2}{2}\geqslant \frac{1}{2}$

Đặt $t=x^2+y^2$ $(t \in \begin{bmatrix} \frac{1}{2};+\infty \end{bmatrix})$

$P\geqslant f(t)=\frac{9}{4}t^2-2t+1$

Lập BBT ta thấy $f(t)\geqslant f\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \end{pmatrix}=\frac{9}{16}$

$\Rightarrow$ Min $P=\frac{9}{16}$ $\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

Còn sót bài $161$ kìa các bạn. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 21-06-2016 - 10:28

[tritanngo99]

Bài 175: Cho $a,b\in [0;1]$. Tìm GTLN của biểu thức:

$P=\frac{a}{\sqrt{2b^2+5}}+\frac{b}{\sqrt{2a^2+5}}$

Bài 176: Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn: $x+y+z=4$. Tìm GTNN của biểu thức:

$P=x+\frac{y^2}{x}+\frac{z^3}{y^2}$.

Bài 177: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a\ge b\ge c$ và $a+b+c=3$. Tìm GTNN của biểu thức:

$P=\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+3b$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 22-06-2016 - 11:30

[nguyenhongsonk612]

Bài 175: Cho $a,b\in [0;1]$. Tìm GTLN của biểu thức:

$P=\frac{a}{\sqrt{2b^2+5}}+\frac{b}{\sqrt{2a^2+5}}$

 

Giải:

Vì $a,b \in [0;1]$ $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 5\geqslant 5a^2 & & \\ 5\geqslant 5b^2 & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow P\leqslant \frac{a}{\sqrt{2b^2+5a^2}}+\frac{b}{\sqrt{2a^2+5b^2}}$$=\frac{t}{\sqrt{5t^2+2}}+\frac{1}{\sqrt{2t^2+5}}$

(với $t=\frac{a}{b}$)

Giả sử $a\leqslant b$ $\Rightarrow 0\leqslant t\leqslant 1$

$f'(t)=2.\frac{(2t^2+5)\sqrt{2t^2+5}-t(5t^2+2)\sqrt{5t^2+2}}{(2t^2+5)(5t^2+2)\sqrt{(2t^2+5)(5t^2+2)}}$

Ta C/m $(2t^2+5)\sqrt{2t^2+5}-t(5t^2+2)\sqrt{5t^2+2} \geqslant 0$ (*)

(*) $\Leftrightarrow (t^4-1)(125t^4+142t^2+125)\leqslant 0$ (đúng do $t \in [0;1]$)

$\Rightarrow f'(t)\geqslant 0$

Mà $f(t)$ liên tục trên $[0;1]$

$\Rightarrow f(t)$ đồng biến trên $[0;1]$

$\Rightarrow f(t)\leqslant f(1)=\frac{2\sqrt{7}}{7}$

Vậy Max $P=\frac{2\sqrt{7}}{7}$ $\Leftrightarrow a=b=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 21-06-2016 - 17:00

[tungteng532000]

 

Bài 176: Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn: $x+y+z=4$. Tìm GTNN của biểu thức:

$P=x+\frac{y^2}{x}+\frac{z^3}{y^2}$.

 

Áp dụng bđt AM-GM, ta có:
$\frac{x}{4}+\frac{y^2}{x}\geq y$
$\frac{y}{8}+\frac{y}{8}+\frac{z^3}{y^2}\geq \frac{3z}{4}$
Do đó $P\geq \frac{3}{4}(x+y+z)=3$
Đẳng thức xảy ra khi $x=\frac{16}{7},y=\frac{8}{7},z=\frac{4}{7}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tungteng532000: 22-06-2016 - 10:08

[tungteng532000]

 

Bài 177: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a\ge b\ge c$ và $a+b+c=3$. Tìm GTNN của biểu thức:

$P=\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+3b$

Áp dụng bđt AM-GM, ta có:
$\frac{a}{c}+ac\geq 2a$ 
$\frac{c}{b}+bc\geq 2c$
Do đó $P\geq 2c+2a+3b-c(a+b)=2c+2a+3b-c(3-c)=c^2-c+2a+3b\geq 2c-1-c+2a+2b+c=2(a+b+c)-1=5$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tungteng532000: 22-06-2016 - 10:15

[tritanngo99]

Bài 178: Cho $x,y,z$ là ba số thực tùy ý thuộc đoạn $[0;1]$. Tìm GTLN của biểu thức:

$P=\sum \frac{x}{y+z+1}+(1-x)(1-y)(2-z)$

Bài 179: Cho ba số thực $x,y,z$ thay đổi thỏa mãn: $xy=1+z(x+y)$. Tìm GTLN của biểu thức:

$P=\frac{2xy(xy+1)}{(1+x^2)(1+y^2)}+\frac{z}{1+z^2}$

Bài 180: Tìm GTNN của biểu thức $S=\frac{3}{b+c-a}+\frac{4}{a+c-b}+\frac{5}{a+b-c}$ tròng đó $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn điều kiện: $2c+b=abc$.

Bài 181: Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn: $a,b,c\in (0,1)$ và $ab+bc+ca=1$.

Tìm GTNN của biểu thức: $P=\sum \frac{a^2(1-2b)}{b}$

Bài 182: Cho $x,y$ là các số thực thỏa mãn: $(x^2+y^2+1)^2+3x^2y^2+1=4x^2+5y^2$. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:

$P=\frac{x^2+2y^2-3x^2y^2}{x^2+y^2+1}$

Bài 183:Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm GTNN của biểu thức:

$P=\sum \frac{1}{|a^2-b^2|}$

Bài 184: Cho các số thực $x,y,z\in [-1;1]$ và $x+y+z=0$. Tìm GTNN của biểu thức:

$P=\sum \sqrt{1+x+\frac{7x^2}{9}}$

Bài 185: Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác và thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+ab-2bc+2ca=0$.

Tìm GTNN của $P=\frac{c^2}{(a+b-c)^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 27-06-2016 - 21:46

[tungteng532000]

 

Bài 180: Tìm GTNN của biểu thức $S=\frac{3}{b+c-a}+\frac{4}{a+c-b}+\frac{5}{a+b-c}$ tròng đó $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn điều kiện: $2c+b=abc$.

 

Áp dụng bđt $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$, ta có:
$\frac{3}{b+c-a}+\frac{4}{a+c-b}+\frac{5}{a+b-c}=(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b})+2(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+b-c})+3(\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{a+b-c})\geq \frac{2}{c}+\frac{4}{b}+\frac{6}{c}$
Lại có $GT\Leftrightarrow \frac{2}{b}+\frac{1}{c}=a$
Nên $S\geq 2(a+\frac{3}{a})\geq 4\sqrt{3}$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\sqrt{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tungteng532000: 22-06-2016 - 12:20

[tungteng532000]

Bài 178: Cho $x,y,z$ là ba số thực tùy ý thuộc đoạn $[0;1]$. Tìm GTLN của biểu thức:

$P=\sum \frac{x}{y+z+1}+(1-x)(1-y)(2-z)$

 

Áp dụng bđt AM-GM, ta có:
$(1-x)(1-y)(1+x+y)\leq \frac{3^3}{27}=1\Rightarrow (2-z)(1-x)(1-y)\leq \frac{2-z}{x+y+1}$
Do đó $P\leq \frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{z+x+1}+\frac{2}{x+y+1}$
Ta chứng minh: $\frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{z+x+1}\leq \frac{2(x+y)}{x+y+1}$
Ta có: $\frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{z+x+1}\leq \frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}$
$\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}\leq \frac{2(x+y)}{x+y+1}\Leftrightarrow \frac{x^2}{y+1}+\frac{y^2}{x+1}\leq x+y\Leftrightarrow \frac{x(x-y-1)}{y+1}+\frac{y(y-x-1)}{x+1}\leq 0$ (đúng) vì $x,y\epsilon [0,1]$
Do đó $P\leq 2$
Đẳng thức xảy ra khi x=y=0.
 

[tungteng532000]

 

Bài 179: Cho ba số thực $x,y,z$ thay đổi thỏa mãn: $xy=1+z(x+y)$. Tìm GTLN của biểu thức:

$P=\frac{2xy(xy+1)}{(1+x^2)(1+y^2)}+\frac{z}{1+z^2}$

 

Viết lại giả thiết $xy-yz-zx=1$
Nên tồn tại $A+B+C= \pi$ sao cho $x=tan\frac{A}{2},y=tan\frac{B}{2},-z=tan\frac{C}{2}$
Ta có: $P=2cos^2\frac{A}{2}.cos^2\frac{B}{2}.tan\frac{A}{2}.tan\frac{B}{2}(tan\frac{A}{2}.tan\frac{B}{2}+1)-\frac{sinC}{2}=2sin^2\frac{A}{2}.sin^2\frac{B}{2}+2cos^2\frac{A}{2}.cos^2\frac{B}{2}-\frac{sinC}{2}=\frac{(1-cosA)(1-cosB)}{2}+\frac{(1+cosA)(1+cosB)}{2}-\frac{sinC}{2}=1+cosA.cosB-\frac{sinC}{2}=1+\frac{(cosA+cosB)^2}{4}-\frac{(cosA-cosB)^2}{4}-\frac{sinC}{2}\leq 1+cos^2\frac{A+B}{2}.cos^2\frac{A-B}{2}-\frac{sinC}{2}\leq 1+sin^2\frac{C}{2}-\frac{sinC}{2}=1+sin^2\frac{C}{2}-sin\frac{C}{2}\sqrt{1-sin^2\frac{C}{2}}$
Khảo sát hàm $f(a)=1+a^2-a\sqrt{1-a^2}$ với $a\epsilon [0,1]$
Chắc là ổn.

[ZOT Murloc]

Bài 179: Cho ba số thực $x,y,z$ thay đổi thỏa mãn: $xy=1+z(x+y)$. Tìm GTLN của biểu thức:

$P=\frac{2xy(xy+1)}{(1+x^2)(1+y^2)}+\frac{z}{1+z^2}$

 

Xét $x+y=0$. Suy ra $xy=1$. Vô lý

 

Suy ra $x+y \neq 0$

 

Rút $z=\frac{xy-1}{x+y}$ thế vào P ta có

 

$P=\frac{2xy(xy+1)+(xy-1)(x+y)}{(1+x^2)(1+y^2)}$

 

+) Nếu $z \leq 0$

 

TH1: $x+y>0$

 

$\Rightarrow xy< 1$

 

Ta có

 

$P=\frac{2xy(xy+1)+(xy-1)(x+y)}{(1+x^2)(1+y^2)}\leq \frac{2xy\left ( xy+1 \right )}{x^2y^2+x^2+y^2+1}< \frac{2xy\left ( xy+1 \right )+2x^2+2y^2}{x^2y^2+x^2+y^2+1}=2$

 

TH2:$x+y<0$

 

$\Rightarrow xy\geq 1$

 

Ta có

 

$P=\frac{2xy(xy+1)+(xy-1)(x+y)}{(1+x^2)(1+y^2)}\leq \frac{2xy\left ( xy+1 \right )}{x^2y^2+x^2+y^2+1}= \frac{2xy\left ( xy+1 \right )}{(xy+1)^2+(x-y)^2}=\frac{2xy}{xy+1}=2-\frac{2}{xy+1}\leq 1$

 

+) Nếu $z>0$

 

TH1:$x+y<0$

 

$\Rightarrow xy\leq 1$

 

Nếu $\left[\begin{matrix} xy\leq -1 & \\ 0\leq xy\leq 1 & \end{matrix}\right.$ thì 

 

$P=\frac{2xy(xy+1)+(xy-1)(x+y)}{(1+x^2)(1+y^2)}\leq \frac{2xy\left ( xy+1 \right )+\frac{\left ( xy-1 \right )^2+\left ( x+y)^2 \right )}{2}}{x^2y^2+x^2+y^2+1}= \frac{2xy\left ( xy+1 \right )}{(xy+1)^2+(x-y)^2}+\frac{1}{2} \leq \frac{2xy}{xy+1}+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}-\frac{2}{xy+1}< \frac{3}{2}$

 

Nếu $-1<xy<0$ thì 

 

$P=\frac{2xy(xy+1)+(xy-1)(x+y)}{(1+x^2)(1+y^2)}< \frac{\frac{\left ( xy-1 \right )^2+\left ( x+y)^2 \right )}{2}}{x^2y^2+x^2+y^2+1}= \frac{1}{2}$

 

 

TH2:$x+y>0$

 

$\Rightarrow xy>1$

 

Suy ra x,y dương

 

Ta có

 

$P=\frac{2xy(xy+1)+(xy-1)(x+y)}{(1+x^2)(1+y^2)}=\frac{2xy(xy+1)+\frac{1}{2}(xy+1)(2x+2y)-2(x+y)}{(1+x^2)(1+y^2)}$

 

Theo BĐT AM-GM ta có

 

$(xy+1)\left ( 2x+2y \right )\leq \frac{x^2y^2+4x^2+4y^2+10xy+1}{2}$

 

$x+y\geq 2\sqrt{xy}$

 

Lại có

 

$\frac{2xy(xy+1)}{(1+x^2)(1+y^2)}=\frac{2xy(xy+1)}{(xy+1)^2+(x-y)^2}\leq \frac{2xy}{xy+1}$

 

Suy ra

 

$P\leq \frac{2xy}{xy+1}+\frac{x^2y^2+4x^2+4y^2+10xy+1-16\sqrt{xy}}{4x^2y^2+4x^2+4y^2+4}$

 

$\leq \frac{2xy}{xy+1}+1+\frac{10xy-3x^2y^2-3-16\sqrt{xy}}{4\left ( xy+1 \right )^2}$

 

$=\frac{9x^2y^2+26xy+1-16\sqrt{xy}}{4\left ( xy+1 \right )^2}$

 

Việc còn lại là khảo sát hàm số

 

$f(t)=\frac{9t^2+26t+1-16\sqrt{t}}{t+1}$

 

với $t \in (1;+\infty)$

 

Bài của tungteng bị sai khoảng do bị lầm là x,y,z là các số thực dương

Ai làm gọn bài của mình hơn đc không???

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ZOT Murloc: 23-06-2016 - 14:35

[leminhnghiatt]

Bài 182: Cho $x,y$ là các số thực thỏa mãn: $(x^2+y^2+1)^2+3x^2y^2+1=4x^2+5y^2$. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:

$P=\frac{x^2+2y^2-3x^2y^2}{x^2+y^2+1}$

 

 

$(x^2+y^2+1)^2+3x^2y^2+1=4x^2+5y^2$

 

$\iff (x^2+y^2)^2+2x^2+2y^2+2+3x^2y^2=4x^2+5y^2$

 

$\iff (x^2+y^2)^2-2x^2-3y^2=-3x^2y^2$ (1)

 

Ta có: $P=\dfrac{x^2+2y^2-3x^2y^2}{x^2+y^2+1}$

 

$=\dfrac{(x^2+y^2)^2-2x^2-3y^2+x^2+2y^2}{x^2+y^2+1}$

 

$=\dfrac{(x^2+y^2)^2-(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)+1}$

 

Đặt $t=x^2+y^2$ với $t \in [0;+\infty)$

 

$f(x)=\dfrac{t^2-t}{t+1}$

 

$\rightarrow f'(x)=\dfrac{t^2+2t-1}{(t+1)^2} \rightarrow t=-1+\sqrt{2}$

 

$f(0)=0;f(-1+\sqrt{2})=-3+2\sqrt{2}$

 

$max=0 \iff x=y=0$

 

$min=-3+2\sqrt{2} \iff x,y$ là nghiệm pt $(-1+\sqrt{2})^2-2x^2-3(-1+\sqrt{2}-x^2)+3x^2(-1+\sqrt{2}-x^2)=0$

 

$\iff -3x^4+x^2(3\sqrt{2}-2)-5\sqrt{2}+6=0$ (vô nghiệm) $\rightarrow$ k xảy ra min

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 23-06-2016 - 10:46

[Dinh Xuan Hung]

FILE PDF Update từ bài 137 đến bài 185

 

 Tổng hợp các bài BĐT trong đề thi thử THPT Quốc Gia môn Toán năm 2016.pdf   565.77K   299 Số lần tải

[caobo171]

 

Bài 185: Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác và thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+ab-2bc+2ca=0$.

Tìm GTNN của $P=\frac{c^2}{(a+b-c)^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}$ 

Bài này điều kiện bị sai mà   

[caobo171]

 

Bài 184: Cho các số thực $x,y,z\in [-1;1]$ và $x+y+z=0$. Tìm GTNN của biểu thức:

$P=\sum \sqrt{1+x+\frac{7x^2}{9}}$

 

Ta thấy: 
$P=\sum\sqrt{(1+\frac{1}{2}x)^{2}+\frac{19}{36}x^{2}}\geq\sum{(1+\frac{1}{2}x)}$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caobo171: 25-06-2016 - 12:29

[phamngochung9a]

Khuấy động topic nào mọi người:

 

Bài 186: Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x\geq 2$ và $x+y+z=6$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

 

$$P=\frac{\left ( y+z-2 \right )\left ( xy\sqrt{9y+3z}+y^{2}\sqrt{9x-3z} \right )+yz\left ( \sqrt{y}-\sqrt{x} \right )}{y\left ( y+\sqrt{x} \right )\left ( \sqrt{x}+1 \right )+1}+\frac{3z\sqrt{2}}{4}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 26-06-2016 - 10:06

[phamngochung9a]

Bài 181: Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn: $a,b,c\in (0,1)$ và $ab+bc+ca=1$.

Tìm GTNN của biểu thức: $P=\sum \frac{a^2(1-2b)}{b}$

Bài 181:

 

$P=\sum \frac{a^{2}\left ( 1-b \right )}{b}-\left ( a^{2}+b^{2}+c \right )$

 

Vì $a,b,c\in \left ( 0;1 \right )$ nên ta sử dụng AM-GM cho cặp số dương :

$\frac{a^{2}\left ( 1-b \right )}{b}+b\left ( 1-b \right )\geq 2a\left ( 1-b \right )\\\Rightarrow \frac{a^{2}\left ( 1-b \right )}{b}\geq 2a-b+b^{2}-2ab$

 

Xây dựng các BĐT tương tự rồi cộng lại, ta được:

 

$\sum \frac{a^{2}\left ( 1-b \right )}{b}\geq a+b+c+a^{2}+b^{2}+c^{2}-2\\\Rightarrow \sum \frac{a^{2}\left ( 1-2b \right )}{b}\geq a+b+c-2\geq \sqrt{3\left ( ab+bc+ca \right )}-2=\sqrt{3}-2$

 

Vậy $\min P=\sqrt{3}-2\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 26-06-2016 - 09:43