Chủ đề này có 383 trả lời

[phamngochung9a]

Bài 185: Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác và thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+ab-2bc+2ca=0$.

Tìm GTNN của $P=\frac{c^2}{(a+b-c)^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}$ 

Đúng như bạn Caobo171 đã nói, bài này cũng sai đề. Đây là câu cuối đề thi HSG Bắc Giang lớp 12 năm 2015- 2016. 

Giả thiết đúng phải là: $a^2+b^2+c^2+ab-2bc{\color{Red}- }2ca=0$

 

Đặt $\left\{\begin{matrix} a=xc & \\ b=yc & \end{matrix}\right.$ khi đó: $x^{2}+y^{2}+xy+1-2x-2y=0$ 

 

Khi đó: $a+b> c\Rightarrow xc+yc> c\Rightarrow x+y> 1$

 

Ta có:

 

$P=\frac{1}{\left ( x+y-1 \right )^{2}}+\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{\sqrt{xy}}{x+y}$

 

Biến đổi giả thiết:

 

• $xy=\left ( x+y-1 \right )^{2}\Rightarrow \sqrt{xy}=x+y-1$  (do $x+y> 1$ )

 

• $x^{2}+y^{2}=-\left ( x+y \right )^{2}+4\left ( x+y \right )-2$

Vậy:

 

$P=\frac{1}{\left ( x+y-1 \right )^{2}}+\frac{1}{-\left ( x+y \right )^{2}+4\left ( x+y \right )-2}+\frac{x+y-1}{x+y}$

 

Đặt $x+y=t$ và khảo sát hàm chắc là ngon rồi 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 26-06-2016 - 10:04

[nguyenhongsonk612]

Khuấy động topic nào mọi người:

 

Bài 186: Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x\geq 2$ và $x+y+z=6$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

 

$$P=\frac{\left ( y+z-2 \right )\left ( xy\sqrt{9y+3z}+y^{2}\sqrt{9x-3z} \right )+yz\left ( \sqrt{y}-\sqrt{x} \right )}{y\left ( y+\sqrt{x} \right )\left ( \sqrt{x}+1 \right )+1}+\frac{3z\sqrt{2}}{4}$$

Cảm ơn em phamngochung9a

Giải:

$x\geqslant 2\Rightarrow y+z\leqslant 4\Leftrightarrow y+z-2\leqslant 2$

$\sqrt{9y+3z}.\sqrt{9x}\leqslant \frac{9x+9y+3z}{2}\Leftrightarrow \sqrt{9y+3z}.\sqrt{x}\leqslant \frac{3x+3y+z}{2}$

$\sqrt{9x-3z}.\sqrt{9y}\leq \frac{9x+9y-3z}{2}\Leftrightarrow \sqrt{9x-3z}.\sqrt{y} \leqslant \frac{3x+3y-z}{2}$

$\Rightarrow  \left ( y+z-2 \right )\left ( xy\sqrt{9y+3z}+y^{2}\sqrt{9x-3z} \right )+yz\left ( \sqrt{y}-\sqrt{x} \right )$

$\leqslant 2\begin{pmatrix} y\sqrt{x}.\frac{3x+3y+z}{2}+y\sqrt{y}.\frac{3x+3y-z}{2} \end{pmatrix}+yz(\sqrt{y}-\sqrt{x})$ $= 3y(x+y)(\sqrt{x}+\sqrt{y})$

$\Rightarrow \frac{\left ( y+z-2 \right )\left ( xy\sqrt{9y+3z}+y^{2}\sqrt{9x-3z} \right )+yz\left ( \sqrt{y}-\sqrt{x} \right )}{y\left ( y+\sqrt{x} \right )\left ( \sqrt{x}+1 \right )+1}$ $\leqslant \frac{3y(x+y)(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{y(y+\sqrt{x})(\sqrt{x}+1)+1}$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có 

$y(y+\sqrt{x})(\sqrt{x}+1)+1\geqslant y(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2+1$

$\Rightarrow \frac{3y(x+y)(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{y(y+\sqrt{x})(\sqrt{x}+1)+1}\leqslant \frac{3y(x+y)(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{y(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2+1}=\frac{3(x+y)}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\frac{1}{y(\sqrt{x}+\sqrt{y})}}$

Ta C/m $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\frac{1}{y(\sqrt{x}+\sqrt{y})}\geqslant 2\sqrt{2}\Leftrightarrow xy+2y\sqrt{xy}+y^2+1\geqslant y(2\sqrt{2x}+2\sqrt{2y})$ (*)

VT (*) $\geqslant xy+2y\sqrt{xy}+2y=y(x+2+2y\sqrt{xy})\geqslant y(2\sqrt{2x}+2\sqrt{2y})=$ VP (*)

$\Rightarrow P\leqslant \frac{3\sqrt{2}}{4}(x+y+z)=\frac{3\sqrt{2}}{4}.6=\frac{9\sqrt{2}}{2}$

Vậy Max $P=\frac{9\sqrt{2}}{2}$ $\Leftrightarrow x=2;y=1;z=3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 26-06-2016 - 22:56

[ChienThanga1k49]

 

 

$P=\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{ab+bc+ca}}=\sum \sqrt{\frac{2a^{2}}{2a(b+c)}}+\sqrt{\frac{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{ab+bc+ca}}\\\geq 2\sqrt{2}.\sum \frac{a}{2a+b+c}+\sqrt{\frac{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{ab+bc+ca}}\\\geq 2\sqrt{2}.\frac{(a+b+c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca)}+\sqrt{\frac{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{ab+bc+ca}}\\=\frac{\sqrt{2}}{1-\frac{ab+bc+ca}{(a+b+c)^{2}}}+\sqrt{2.\frac{(a+b+c)^{2}}{ab+bc+ca}-4}$

 

Đặt $t=\frac{(a+b+c)^{2}}{ab+bc+ca}$, ta có: $t\in \left [3;+\infty \right )$

 

$P=\frac{\sqrt{2}}{1-\frac{1}{t}}+\sqrt{2t-4}=\frac{t\sqrt{2}}{t-1}+\sqrt{2t-4}$

 

Khảo sát hàm số $f(t)=\frac{t\sqrt{2}}{t-1}+\sqrt{2t-4}$ trên $\left [3;+\infty \right )$, ta có: $f(t)\geq \frac{5\sqrt{2}}{2}$

 

P/s:Bạn ghi rõ năm ra nhé

 

hình như nhầm đề bạn ơi

[tritanngo99]

Bài 187: Cho $a,b,c\ge 0$ thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm $GTLN$ của biểu thức:

$P=a^2b+b^2c+c^2a-abc$.

Bài 188: Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn: $c=min(a,b,c)$ và $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm GTLN của biểu thức:

$P=2ab+3bc+3ca+\frac{6}{a+b+c}$.

Bài 189:Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn: $a+b=c+1$. Tìm GTNN của biểu thức:

$P=\sqrt[3]{\frac{9a^2}{(b+c)^2+5bc}}+\sqrt[3]{\frac{9b^2}{(c+a)^2+5ca}}+\frac{a+b+c^2}{9}$.

Bài 190: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn: $(3a+2b+c)(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c})=30$. Tìm GTLN của biểu thức:

$P=\frac{b+2c-7\sqrt{72a^2+c^2}}{a}$

Bài 191: Cho các số thực $x,y$ thỏa mãn điều kiện $x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2}$. Tìm GTLN,GTNN của biểu thức:

$P=x^2+y^2+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}$.

Bài 192: Cho các số thực $x,y,z\in [-1;1]$ và thỏa mãn: $xy+yz+zx=0$. Tìm GTNN:

$P=y^2+z^2+4x-2y-2z$.

Bài 193: Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn: $xy\ge1;z\ge 1$. Tìm GTNN của:

$P=\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}+\frac{z^3+2}{3(xy+1)}$.

Bài 194: Cho $x,y,z>0$ là các số thực dương thỏa mãn: $xyz+x+z=y$. Tìm GTLN của biểu thức:

$P=\frac{2}{x^2+1}-\frac{2}{y^2+1}-\frac{4z}{\sqrt{z^2+1}}+\frac{3z}{(z^2+1)\sqrt{z^2+1}}$.

Bài 195: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn: $(a+c)(b+c)=4c^2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$A=\frac{4a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}-\frac{2ab}{c^2}-\frac{\sqrt{7c^2-3ab}}{c}$

Bài 196: Cho $a,b,c>0$. Tìm GTNN của biểu thức:

$P=\frac{bc}{(a+c)(a+b)}-\frac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

P/s: Đây là những bày mình sưu tầm và đã có lời giải. Nếu sau 1 tuần bài nào chưa có đáp án, mình sẽ đăng lên cho mọi người tham khảo.

Và phamngochung9a em nhớ bôi đỏ các bài làm được nhé.:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 01-07-2016 - 08:31

[datmc07061999]

Bài 197: (THPT Mộc Lỵ lần 2)

Cho $x,y>0$ thỏa $2x+3y=7$ Tìm MIN:

   $P=2xy+y+\sqrt{5(x^{2}+y^{2})}-24\sqrt[3]{8(x+y)-(x^{2}+y^{2}+3)}$

Bài 198: (THPT Mộc Lỵ lần 3)

Cho $a,b,c>0$ thỏa $4(a^{3}+b^{3})+c^{3}=2(a+b+c)(ab+bc-2)$ Tìm MAX:

   $P=\frac{2a^{2}}{3a^{2}+b^{2}+2a(c+2)}+\frac{b+c}{a+b+c+2}-\frac{(a+b)^{2}+c^{2}}{16}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 29-06-2016 - 12:27

[cristianoronaldo]

Bài 187: Cho $a,b,c\ge 0$ thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm $GTLN$ của biểu thức:

$P=a^2b+b^2c+c^2a-abc$.

Bài 188: Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn: $c=min(a,b,c)$ và $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm GTLN của biểu thức:

$P=2ab+3bc+3ca+\frac{6}{a+b+c}$.

Bài 189:Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn: $a+b+c=1$. Tìm GTNN của biểu thức:

$P=\sqrt[3]{\frac{9a^2}{(b+c)^2+5bc}}+\sqrt[3]{\frac{9b^2}{(c+a)^2+5ca}}+\frac{a+b+c^2}{9}$.

Bài 190: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn: $(3a+2b+c)(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c})=30$. Tìm GTLN của biểu thức:

$P=\frac{b+2c-7\sqrt{72a^2+c^2}}{a}$

Bài 191: Cho các số thực $x,y$ thỏa mãn điều kiện $x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2}$. Tìm GTLN,GTNN của biểu thức:

$P=x^2+y^2+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}$.

Bài 192: Cho các số thực $x,y,z\in [-1;1]$ và thỏa mãn: $xy+yz+zx=0$. Tìm GTNN:

$P=y^2+z^2+4x-2y-2z$.

Bài 193: Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn: $xy\ge1;z\ge 1$. Tìm GTNN của:

$P=\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}+\frac{z^3+2}{3(xy+1)}$.

Bài 194: Cho $x,y,z>0$ là các số thực dương thỏa mãn: $xyz+x+z=y$. Tìm GTNN của biểu thức:

$P=\frac{2}{x^2+1}-\frac{2}{y^2+1}-\frac{4z}{\sqrt{z^2+1}}+\frac{3z}{(z^2+1)\sqrt{z^2+1}}$.

Bài 195: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn: $(a+c)(b+c)=4c^2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$A=\frac{4a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}-\frac{2ab}{c^2}-\frac{\sqrt{7c^2-3ab}}{c}$

Bài 196: Cho $a,b,c>0$. Tìm GTNN của biểu thức:

$P=\frac{bc}{(a+c)(a+b)}-\frac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

P/s: Đây là những bày mình sưu tầm và đã có lời giải. Nếu sau 1 tuần bài nào chưa có đáp án, mình sẽ đăng lên cho mọi người tham khảo.

Và phamngochung9a em nhớ bôi đỏ các bài làm được nhé.:

Em xin chém câu dễ nhất:

Bài 187:

Do vai trò của a,b,c là như nhau nên ta có thể giả sử b là số nằm giữa a và c.

Như vậy ta có:$(b-a)(b-c)\leq 0$

Ta có:

P=$a^2b+b^2c+c^2a-abc=(b^2c+a^2c-a^2b-abc)+b(a^2+c^2)= c(b-a)(b-c)+b(a^2+c^2)$

$\Rightarrow P\leq b(a^2+c^2)$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có

$b(a^2+a^2)=2\sqrt{b^2.\frac{c^2+a^2}{2}.\frac{c^2+a^2}{2}}\leq 2\sqrt{(\frac{b^2+\frac{c^2+a^2}{2}+\frac{c^2+a^2}{2}}{3})^3}=2$

Dấu ''='' xảy ra khi a=b=c=1 hoặc a=0,b=1,c=$\sqrt{2}$và các hoán vị

[tritanngo99]

Em xin chém câu dễ nhất:

Bài 187:

Do vai trò của a,b,c là như nhau nên ta có thể giả sử b là số nằm giữa a và c.

Như vậy ta có:$(b-a)(b-c)\leq 0$

Ta có:

P=$a^2b+b^2c+c^2a-abc=(b^2c+a^2c-a^2b-abc)+b(a^2+c^2)= c(b-a)(b-c)+b(a^2+c^2)$

$\Rightarrow P\leq b(a^2+c^2)$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có

$b(a^2+a^2)=2\sqrt{b^2.\frac{c^2+a^2}{2}.\frac{c^2+a^2}{2}}\leq 2\sqrt{(\frac{b^2+\frac{c^2+a^2}{2}+\frac{c^2+a^2}{2}}{3})^3}=2$

Dấu ''='' xảy ra khi a=b=c=1 hoặc a=0,b=1,c=$\sqrt{2}$và các hoán vị

Bài làm em ý tưởng tốt. Chẳng hạn anh sửa giả thiết lại thành :$ab+bc+ca=3$ thì sao?. Em suy nghĩ thử.

[Baoriven]

Lời giải bài 189: 

Sử dụng AM-GM ta có: 

$\frac{9a^2}{(b+c)^2+5bc}\geq \frac{27a^3}{3a(b+2c)(c+2b)}\geq \frac{27a^3}{(a+b+c)^3}$

Suy ra: $\sqrt[3]{\frac{9a^2}{(b+c)^2+5bc}}\geq \frac{3a}{a+b+c}$

Tương tự ta có: $\sqrt[3]{\frac{9b^2}{(c+a)^2+5ca}}\geq \frac{3b}{a+b+c}$

Do đó: $P\geq \frac{3(a+b)}{a+b+c}+\frac{a+b+c^2}{9}=\frac{3(c+1)}{2c+1}+\frac{c^2+c+1}{9}$

Xét $f(c)=\frac{3(c+1)}{2c+1}+\frac{c^2+c+1}{9},c>0$

$f'(c)=\frac{(2c+1)^3-27}{9(2c+1)^2};f'(c)=0\Leftrightarrow c=1$

Suy ra: $P\geq f(c)\geq f(1)=\frac{7}{3}$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 28-06-2016 - 15:27

[Baoriven]

Lời giải bài 188: 

Ta có: $2ab+3bc+3ca\leq (a+b+c)^2-1$

Suy ra: $P\leq (a+b+c)^2+\frac{6}{a+b+c}-1$

Đặt: $t=a+b+c$ với $t\epsilon (\sqrt{3};3]$  

Khi đó $P\leq f(t)=t^2+\frac{6}{t}-1$

Ta có: $f'(t)=2t-\frac{6}{t^2}>0,\forall t\epsilon (\sqrt{3};3]$

$\Rightarrow P\leq f(t)\leq f(3)=10$

$MaxP=10\Leftrightarrow a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 28-06-2016 - 16:05

[cyndaquil]

 Xin đc chém câu dễ nhất

193 

Ta có bdt phụ $\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1} \ge \frac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}+1} (\star)$

$(\star)\Leftrightarrow \frac{x^2+y^2+x+y}{xy+1+x+y} \ge \frac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}+1}$

$\Leftrightarrow \color{red}{(x^2+y^2)\sqrt{xy}}+\color{blue}{(x^2+y^2)}+(x+y) \ge \color{red}{2xy\sqrt{xy}}+\color{blue}{\sqrt{xy}(x+y)}+2\sqrt{xy}$ (đúng theo cosi)

$\Rightarrow P \ge \frac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}+1}+\frac{1}{xy+1}$

Đặt $\sqrt{xy}=a\;(a \ge 1)$

Khi đó $P \ge \frac 32\Leftrightarrow \frac{2a}{a+1}+\frac{1}{a^2+1} \ge \frac 32\Leftrightarrow (a-1)^3 \ge 0$ (luôn đúng)

$\Rightarrow P_{\min}=\frac 32\Leftrightarrow x=y=z=1$

[nguyenhongsonk612]

 

Bài 195: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn: $(a+c)(b+c)=4c^2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$A=\frac{4a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}-\frac{2ab}{c^2}-\frac{\sqrt{7c^2-3ab}}{c}$

 

Bài này có vẻ dễ nhất

Các bạn làm bài nào cố gắng trích dẫn đề bài bài đó ra, đọc cho dễ. 

Giải:

GT $\Leftrightarrow \begin{pmatrix} \frac{a}{c}+1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{b}{c}+1 \end{pmatrix}=4$

Đặt $\frac{a}{c}=x; \frac{b}{c}=y$ $(x,y >0)$ $\Rightarrow (x+1)(y+1)=4\Leftrightarrow xy+x+y=3$

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta được $3\geqslant xy+2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\leqslant 1$

$A=\frac{4x}{y+1}+\frac{4y}{x+1}-2xy-\sqrt{7-3xy}$

Ta có

$\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}=\frac{(x+y)^2-2xy+x+y}{(x+1)(y+1)}=\frac{x^2y^2-9xy+12}{4}$

Đặt $xy=t$ $(t \in (0;1])$

$A=f(t)=t^2-11t+12-\sqrt{7-3t}$

Khảo sát hàm $f(t)$ trên $(0;1]$ ta được $f(t)\geqslant f(1)=0$

Vậy Min $P=0$ $\Leftrightarrow x=y=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 28-06-2016 - 16:38

[datmc07061999]

Bài 196: Cho $a,b,c>0$. Tìm GTNN của biểu thức:
$P=\frac{bc}{(a+c)(a+b)}-\frac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

- Xin trình bày như sau:
Viết lại P
$P=\frac{1}{(x+1)(y+1)}-\frac{4}{(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})(y+\frac{x}{y})(x+\frac{y}{x})}=\frac{1}{(xy+x+y+1)}-\frac{4xy}{(x+y)(xy+x+y+1)}$
(Cái đoạn này cứ chia a,b,c tương ứng xuống mẫu thôi)
Với $x=\frac{a}{c};y=\frac{a}{b}\rightarrow \frac{x}{y}=\frac{b}{c}$
Ta đi chứng minh 
$P\geq \frac{-1}{3}\Leftrightarrow x+y-4xy\geq \frac{-1}{3}(x+y)(xy+x+y+1)\Leftrightarrow (x+y)^{2}+4(x+y)+xy(x+y)-12xy\geq 0$
Lại có $\left\{\begin{matrix} (x+y)^{2}\geq 4xy & \\ xy(x+y)\geq 2xy\sqrt{xy}& \\ x+y\geq 2\sqrt{xy}& \end{matrix}\right.$.
Do đó ta quy BĐT về: 
       $xy\sqrt{xy}-4xy+4\sqrt{xy}\geq 0\Leftrightarrow \sqrt{xy}(\sqrt{xy}-2)^{2}\geq 0$    (Luôn đúng)
Vậy $P\geq \frac{-1}{3}$. Đẳng thức khi $x=y=2\rightarrow a=2b=2c$.

P/s: 2 năm rồi mới quay lại diễn đàn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi datmc07061999: 28-06-2016 - 22:20

[phamngochung9a]

Bài 197: (THPT Mộc Lỵ lần 2)

Cho $x,y>0$ thỏa $2x+3y=7$ Tìm MIN:

   $P=2xy+y+\sqrt{5(x^{2}+y^{2})}-24\sqrt[3]{8(x+y)-(x^{2}+y^{2}+3)}$

Bài 198: (THPT Mộc Lỵ lần 3)

Cho $a,b,c>0$ thỏa $4(a^{3}+b^{3})+c^{3}=2(a+b+c)(ab+bc-2)$ Tìm MAX:

   $P=\frac{2a^{2}}{3a^{2}+b^{2}+2a(c+2)}+\frac{b+c}{a+b+c+2}-\frac{(a+b)^{2}+c^{2}}{16}$

Bài 197:

 

$P=2xy+y+\sqrt{\left ( 4+1 \right )\left ( x^{2}+y^{2} \right )}-24\sqrt[3]{8\left ( x+y \right )-\left ( x+y \right )^{2}+2xy-3}\\\geq 2xy+y+2x+y-24\sqrt[3]{-\left [ \left ( x+y \right )^{2}-6\left ( x+y \right )+9 \right ]+2xy+2\left ( x+y \right )+6}\\\geq 2\left (x+1 \right )\left ( y+1 \right )-2-24\sqrt[3]{2\left ( x+1 \right )\left ( y+1 \right )+4}$

 

Đặt $t=\left ( x+1 \right )\left ( y+1 \right )$, ta có:

 

$12=2\left ( x+1 \right )+3\left ( y+1 \right )\geq 2\sqrt{6\left ( x+1 \right )\left ( y+1 \right )}\\\Rightarrow \left ( x+1 \right )\left ( y+1 \right )\leq 6\\\Rightarrow t\leq 6$

 

Khảo sát hàm số $f\left ( t \right )=2t-2-24\sqrt[3]{2t+4}$ trên $\left ( 0;6 \right ]$, ta được: $f\left ( t \right )\leq 10-24\sqrt[3]{16}$

 

Vậy $\min P=10-24\sqrt[3]{16}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2 & \\ y=1 & \end{matrix}\right.$

 

Bài 198:

 

$P\leq \frac{a}{2ab+2a^{2}+\left ( c+2 \right )}+\frac{b+c}{a+b+c+2}-\frac{\left ( a+b \right )^{2}+c^{2}}{16}\\\leq \frac{a+b+c}{a+b+c+2}-\frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{32}$

 

Đặt $t=a+b+c$

 

Từ giả thiết:

 

$\left ( a+b \right )^{3}+c^{3}\leq \frac{1}{2}\left ( a+b+c \right )^{3}-4\left ( a+b+c \right )\\\Rightarrow \frac{1}{2}t^{3}-4t\geq \frac{t^{3}}{4}\\\\\Rightarrow t\geq 4$

 

$P\leq f\left ( t \right )=\frac{t}{t+2}-\frac{t^{2}}{32}$ 

 

Khảo sát hàm $f\left ( t \right )$ trên với $t\in \left [ 4;+\infty \right ]$ ta được

 

$\max P=\frac{1}{6}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 30-06-2016 - 11:52

[nguyenhongsonk612]

 

 

Bài 198:

 

$P\leq \frac{a}{2ab+2a^{2}+\left ( c+2 \right )}+\frac{b+c}{a+b+c+2}-\frac{\left ( a+b \right )^{2}+c^{2}}{16}\\\leq \frac{a+b+c}{a+b+c+2}-\frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{32}$

 

Đặt $t=a+b+c$

 

Từ giả thiết:

 

$\left ( a+b \right )^{3}+c^{3}\leq \frac{1}{2}\left ( a+b+c \right )^{3}-4\left ( a+b+c \right )\\\Rightarrow \frac{1}{2}t^{3}-4t\geq \frac{t^{3}}{4}\\\\\Rightarrow t\geq 4$

 

$P$$\geq $$f\left ( t \right )=\frac{t}{t+2}-\frac{t^{2}}{32}$ 

 

Khảo sát hàm $f\left ( t \right )$ trên với $t\in \left [ 4;+\infty \right ]$ ta được

 

$\max P=\frac{1}{6}$

$1$ lỗi nhỏ

Với cả bài $194$ là tìm GTLN hay GTNN vậy ban tritanngo99

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 29-06-2016 - 17:27

[tien123456789]

tối qua nằm ngủ mơ thấy đề thi THPT Quốc Gia năm nay vào một trong 2 câu này    

Bài 199:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+2b-c>0 và $(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}=4$.Tìm GTLN của biểu thức:

$P=\frac{a+c+2}{a(b+c)+a+b+1}-\frac{a+b+1}{(a+c)(a+2b-c)}$

 

Bài 200:Cho x,y,z$\geq 0$,x+y+z=1.Tìm GTLN của:

$x^{4}(y+z)+y^{4}(z+x)+z^{4}(x+y)$

 

 

500 anh em thử dự đoán câu bất năm nay xem   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tien123456789: 30-06-2016 - 09:12

[Dinh Xuan Hung]

tối qua nằm ngủ mơ thấy đề thi THPT Quốc Gia năm nay vào một trong 2 câu này    

Bài 199:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+2b-c>0 và $(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}=4$.Tìm GTLN của biểu thức:

$P=\frac{a+c+2}{a(b+c)+a+b+1}-\frac{a+b+1}{(a+c)(a+2b-c)}$

 

 

 

 

500 anh em thử dự đoán câu bất năm nay xem   

 

[Baoriven]

Lời giải bài 190:

Đặt: $x=\frac{b}{2a};y=\frac{c}{3a}$

Suy ra: $30=x(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+1)+3(x+y+1)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+1)\geq \frac{x(y+1)}{y}+28$

$\Rightarrow x\leq \frac{2y}{y+1}$

Do đó: $P=2x+6y-21\sqrt{y^2+8}\leq \frac{4y}{y+1}+6y-21\sqrt{y^2+8}\leq -55$

BĐT cuối có được nhờ tính đạo hàm và lập BBT.

Dấu bằng xảy ra khi: $6a=3b=2c$

[nguyenhongsonk612]

Bài 201: Với $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a>c$; $b>c$. Chứng minh rằng:

                     $(a+b+c)^3\begin{pmatrix} \frac{8}{a^3+b^3}+\frac{1}{b^3+c^3}+\frac{1}{c^3+a^3} \end{pmatrix}\geq 48$

[tungteng532000]

Bài 201: Với $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a>c$; $b>c$. Chứng minh rằng:

                     $(a+b+c)^3\begin{pmatrix} \frac{8}{a^3+b^3}+\frac{1}{b^3+c^3}+\frac{1}{c^3+a^3} \end{pmatrix}\geq 48$

Lời giải
Đặt $x=a+\frac{c}{2},y=b+\frac{c}{2}$
Ta có: $a+b+c=x+y,a^3+b^3\leq x^3+y^3,b^3+c^3\leq y^3,c^3+a^3\leq x^3$
Do đó $P\geq (x+y)^3(\frac{8}{x^3+y^3}+\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3})=(x+y)^3[\frac{4}{x^3+y^3}+\frac{4}{x^3+y^3}+\frac{x^3+y^3}{x^3y^3}]\geq 3(x+y)^3\sqrt[3]{\frac{16}{x^3y^3(x^3+y^3)}}=3(x+y)^3\sqrt[3]{\frac{16}{(x+y).xy.xy.xy(x^2-xy+y^2)}}\geq 3(x+y)^3\sqrt[3]{\frac{16.4^4}{(x+y)^9}}=48$
Đẳng thức xảy ra khi a=b, c=0

 

[tritanngo99]

$1$ lỗi nhỏ

Với cả bài $194$ là tìm GTLN hay GTNN vậy ban tritanngo99

GTLN đấy bạn. Mình gõ nhầm xl nha