Bài 200:
Bài này mình làm khá dài, nếu ai có cách hay hơn thì đăng lên nha.
Do vai trò của $x,y,z$ như nhau nên KMTTQ giả sử $x\ge y\ge z\implies z\le \frac{1}{3}\implies x+y\ge \frac{2}{3}$
$gt\implies z=1-x-y(1)$.
Đặt $x+y=a;xy=b$. Từ $(1)\implies a\in [\frac{2}{3};1];b\in [0;\frac{1}{4}]$.(d0 $4b\le a^2$).
Khi đó: $A=x^4(1-x)+y^4(1-y)+z^4(1-z)=(x^4+y^4)-(x^5+y^5)+a(1-a)^4$
Lại có: $x^4+y^4=a^4-4a^2b+2b^2;x^5+y^5=a^5-5a^3b+5ab^2$
Nên $A=(a^4-4a^2b+2b^2)-(a^5-5a^3b+5ab^2)+a(1-a)^4=-3a^4+a^3(6+5b)-a^2(4b+4)+a(1-5b^2)+2b^2$
$=b^2(2-5a)+b(5a^3-4a^2)+(a-4a^2+6a^3-3a^4)=f(b),b\in [0;\frac{1}{4}]$.
Nhắc lại kiến thức: Xét tam thức bậc 2: $f(x)=mx^2+nx+p(m<0),x\in [u,v]$.
Khi đó: $f(x)_{Max}=f(\frac{-n}{2m})$ nếu $\frac{-n}{2m}\in [u,v]$.
Và $f(x)_{Max}=Max({f(u);f(v)})$ nếu $\frac{-n}{2m}\noin [u,v]$.
Tóm lại $f(x)_{Max}=Max({f(u);f(v);f(\frac{-n}{2m})})\forall x\in [u;v]$.
Áp dụng điều này vào bài toán trên ta có: $a\in [\frac{2}{3};1]\implies 2-5a<0$
$Max A=Max{f(0),f(\frac{4a^2-5a^3}{2(2-5a)}),f(\frac{1}{4})}$.
*Ta có: $f(0)=a-4a^2+6a^3-3a^4=f(a)\forall a\in [\frac{2}{3};1]$.
Đến đây khảo sát hàm $f(a)$. Ta tìm được: $Max f(a)=\frac{1}{12}$ tại $a=\frac{3+\sqrt{3}}{6}$.
Tương tự khảo sát $f(\frac{1}{4})$. Ta tìm được $Max f(\frac{1}{4})=\frac{1}{16}$ tại $a=1$.
Nhọc nhằng nhất là $f(\frac{4a^2-5a^3}{2(2-5a)})$ (Mình phải dùng Casio để tìm Max và Max cũng bằng 1/12).
Do $b\in [0;\frac{1}{4}]\implies \frac{4a^2-5a^3}{2(2-5a)} \in [0;\frac{1}{4}]\implies a\in [\frac{4}{5};1]$
Ta có: $f(\frac{4a^2-5a^3}{2(2-5a)})-\frac{1}{12}=\frac{25a^6-100a^5+160a^4-128a^3+52a^2-8a}{4(5a-2)}-\frac{1}{12}$
$=\frac{300a^6-1200a^5+1920a^4-1536a^3+624a^2-116a+8}{4(5a-2)}$
$=\frac{4(a-1)(75a^5-225a^4+255a^3-129a^2+27a-2)}{4(5a-2)}$.
Ta đi chứng minh: $T=75a^5-225a^4+255a^3-129a^2+27a-2\forall a\in [\frac{4}{5};1]$.
Thật vậy: $T=\frac{3(5a-4)[(5a-4)(125a^3-175a^2+65a+1)+25]}{125}+\frac{2}{125}$
Xét $125a^3-175a^2+65a+1=(125a^3+65a)-175a^2+1\ge^{CauChy} a^2(2\sqrt{125*65}-175)+1>0$
$\implies T>0$.
$\implies f(\frac{4a^2-5a^3}{2(2-5a)})-\frac{1}{12}\le 0\implies f(\frac{4a^2-5a^3}{2(2-5a)})\le \frac{1}{12}$.
Vậy $Max A=\frac{1}{12}$ tại $a=1\implies b=\frac{1}{6}$.
Kết luận: Vậy $Max A=\frac{1}{12}$. Dấu $=$ xảy ra tại $a=\frac{3+\sqrt{3}}{6},b=0...v....a=1;b=\frac{1}{6}\iff (x;y;z)=(\frac{3+\sqrt{3}}{6};0;\frac{3-\sqrt{3}}{6})$ và các hoán vị.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 01-07-2016 - 10:23