Chủ đề này có 527 trả lời

[O0NgocDuy0O]

Bài kế tiếp ( Đề thi tuyển sinh lớp 10 DHSPHN ) 

Biết $a, b, c> 0$ và $a+b+c=2016$. Hãy tìm GTNN của $A=\sqrt{a^2+ab+b^2}+\sqrt{b^2+bc+c^2}+\sqrt{c^2+ca+a^2}$

Mình xin giải như sau: 

$\sqrt{a^{2}+ab+b^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}(a-b)^{2}+\frac{3}{4}(a+b)^{2}}\geq \sqrt{\frac{3}{4}(a+b)^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}(a+b).$

Tương tự, ta có: $\sum \sqrt{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \sqrt{3}(a+b+c)=\sqrt{3}.2006.$

Đẳng thức xảy ra khi: $a=b=c=672.$

[PlanBbyFESN]

Bài toán (BĐT): Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn: $xy+yz+zx=1$.

 

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $M=x^{2}+3y^{2}+5z^{2}$

                                                             $N=x^{2}+2y^{2}+5z^{2}$

 

Hy vọng bài toán này không nằm trong đề thi tuyển sinh vào chuyên Toán bất kỳ trường nào!!!

 

Có mới thú vị! Khó làm được mới hay còn dễ thì nói làm gì!

 

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

 

Bài toán (BĐT): Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$

 

Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: $M=ab+3bc+5ca$

                                                             $N=2ab+3bc+4ca$

 

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bài toán (BĐT): Cho $a,b,c$ là các số không âm thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$

 

CM: $\frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ac}+\frac{c}{1+ab}\geq 1$

 

 

 

 

$\frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ac}+\frac{c}{1+ab}\geq 1\Leftrightarrow \frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ac}+\frac{c}{1+ab}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

 

$\Leftrightarrow \sum (\frac{a}{1+bc}-a^{2})\geq 0\Leftrightarrow \sum a(\frac{1-a-abc}{1+bc})\geq 0$

 

Mà: $bc\leq \frac{b^{2}+c^{2}}{2}=\frac{1-a^{2}}{2}\Rightarrow -abc\geq \frac{a(a^{2}-1)}{2}$

 

$\Rightarrow \sum a(\frac{1-a-abc}{1+bc})\geq \sum a(\frac{1-a+\frac{a(a^{2}-1)}{2}}{1+bc})=\sum (\frac{a(a-1)^{2}(a+2)}{1+bc})\geq 0$

(ĐPCM)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 28-04-2016 - 19:57

[tanthanh112001]

chém bài cho vui : (Tuyển sinh lớp 10 Quốc Học Huế, năm 2008 - 2009 - Chuyên toán)

Cho phương trình: $x^{4}-2mx^{2}+2m-1=0$. Tìm giá trị m để phương trình có bốn nghiệm $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ sao cho:

$x_{1}<x_{2}<x_{3}<x_{4}$ và $x_{4}-x_{1}=3(x_{3}-x_{2})$.

[githenhi512]

chém bài cho vui : (Tuyển sinh lớp 10 Quốc Học Huế, năm 2008 - 2009 - Chuyên toán)

Cho phương trình: $x^{4}-2mx^{2}+2m-1=0$. Tìm giá trị m để phương trình có bốn nghiệm $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ sao cho:

$x_{1}<x_{2}<x_{3}<x_{4}$ và $x_{4}-x_{1}=3(x_{3}-x_{2})$.

Đặt x²=y$\geq 0\Rightarrow y^{2}-2my+2m-1=0$(1)

Gọi y₁, y₂ là 2 no của (1) $\Rightarrow y_{1}+y_{2}=2m, y_{1}.y_{2}=2m-1$

Mà x₁<x₂<x₃<x₄ $\Rightarrow \sqrt{y_{1}}=-x_{1}=x_{4}, \sqrt{y_{2}}=x_{3}=-x_{2}$

Lại có $x_{4}-x_{1}=3(x_{3}-x_{2})\Rightarrow 2\sqrt{y_{1}}=6\sqrt{y_{2}}\Rightarrow y_{1}=9y_{2}$

$\Rightarrow 9y_{2}=2m-1,10y_{2}=2m\Rightarrow y_{2}=\frac{m}{5} thay  vào 9y_{2}=2m-1  tđ:9m^{2}-50m+25=0$

$\Rightarrow m\in \left \{ \frac{5}{9} ;5\right \}$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi githenhi512: 28-04-2016 - 20:58

[nntien]

Có mới thú vị! Khó làm được mới hay còn dễ thì nói làm gì!

 

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Đã nghịch bằng Wolframalpha và nhân tử Lagrange --> thật kinh khủng!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nntien: 28-04-2016 - 21:11

[PlanBbyFESN]

Đã nghịch bằng Wolframalpha và nhân tử Lagrange --> thật kinh khủng!

 

Oh! Không "lạm dụng công cụ" như bạn đâu, thậm chí mình còn không biết!

 

Đây là topic ôn thi THPT chuyên nên trình độ các bài đều ở mức THCS!

 

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

 

Để topic chuyên nghiệp hơn. Hi vọng những người giải bài có chút ý thức trình bày!

[dungxibo123]

Bạn nào ở khác TPHCM thì cho mình xin đề của các tỉnh khác nhe

[dungxibo123]

Mình có 1 bài thế này 
cho $/delta ABC$ nội tiếp (O). có tanB.tanC=3 cm OH song song BC.

đây là bài toán hay mong mọi người giải giúp

[Oo Nguyen Hoang Nguyen oO]

Mình nghĩ nên đánh STT lại từ đây đi, không ai đánh thì để mình khởi xướng cho.
1) Cho a là nghiệm của phương trình $x^2+x-1=0$. Tính $S=a+\sqrt{a^8+10a+13}$
2) Cho $x_{1},x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $x^2-x-1=0$. Không giải phương trình, chứng minh rằng $P(x_{1})=P(x_{2})$ với $P(x)=3x-\sqrt{33x+25}$

Ko ai giải nên mình đành giải vậy...

1)

$x^2+x-1=0\Leftrightarrow x^4=1-2x+x^2=(x^2+x-1)+2-3x=2-3x\Leftrightarrow x^8=4-12x+9x^2\Leftrightarrow x^8+10x+13=(x^2-10x+25)+8(x^2+x-1)=x^2-10x+25\Leftrightarrow S=a+\left | 5-a \right |=a+5-a=5$

(Dễ CM được $a<5$ qua định lý $Vietè$

 

2)

Theo định lý $Vietè$, ta có: $\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=1\\ x_{1}x_{2}=-1 \end{matrix}\right.$

Ta có: $P(x_{1})=P(x_{2})\Leftrightarrow 3x_{1}-\sqrt{33x_{1}+25}=3x_{2}-\sqrt{33x_{2}+25}\Leftrightarrow 9(x_{1}-x_{2})^2=33(x1+x2)+50-2\sqrt{(33x_{1}+25)(33x_{2}+25)}\Leftrightarrow 9(1^2-4(-1))=33+50-2\sqrt{-33^2+25.33+25^2}\Leftrightarrow 45=83-2.19$ (hiển nhiên đúng)
Vậy ta có đpcm

[lamgiaovien2]

Bài toán số học( Đề thi IMO 2001)

Có 21 học sinh nữ và 21 học sinh nam tham dự vào một kỳ thi toán.

  Mỗi thí sinh giải được ít nhất là 6 bài 

  Với mỗi học sinh nữ và với mỗi học sinh nam tồn tại một bài toán giải được bởi cả 2 học sinh này 

Chứng minh rằng tồn tại một bài toán giải được bởi ít nhất 3 học sinh nữ và 3 học sinh nam,

[Shin Janny]

Chứng minh rằng: $5.7^{2(n+1)}+2^{3n}$ chia hết cho $41$ với $n$ là số nguyên dương.

   $5.7^{2(n+1)}+2^{3n}$

=$5.49^{n}.49+8^{n}$

=$41.5.49^{n}+8.5.49^{n}+8^{n}$

=$41.5.49^{n}+41.49^{n}-(49^{n}-8^{n})$

Có $(49^{n}-8^{n})\vdots (49-8)$ (với $n$ là số nguyên dương) hay $(49^{n}-8^{n})\vdots 41$

Vậy $5.7^{2(n+1)}+2^{3n}$ chia hết cho $41$ với $n$ là số nguyên dương.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Shin Janny: 29-04-2016 - 22:20

[nntien]

Mình có 1 bài thế này 
cho $/delta ABC$ nội tiếp (O). có tanB.tanC=3 cm OH song song BC.

đây là bài toán hay mong mọi người giải giúp

Phải chăng H là trực tâm tam giác ABC.

Lời giải vắn tắt:

$tanB.tanC=3$ <=> $BE.EC=AE\frac{AE}{3}$ (1). Gọi $K$ là điểm đối xứng với $H$ qua $E$ => tứ giác $BACK$ nội tiếp.

Ta lại có $BE.EC=AE.EK$ (2). Từ (1) và (2) => $EK=\frac{AE}{3}$ => $H$ là trung điểm $AK$ => $OH//BC$

Hình gửi kèm

• 

[Lawer]

Cho thêm ít bài nữa :

a) Chứng minh BĐT :

$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{6^2}+...+\frac{1}{(2n)^2}< \frac{1}{2}$ với mọi số tự nhiên $n\geq 2$

Làm 2 cách !

b) Chứng minh rằng nếu tích của ba số bằng 1 và tổng của chúng lớn hơn tổng các số nghịch đảo của chúng thì có một trong ba số đó lớn hơn 1.(Đề thi vô địch Nam Tư,1976).

c) Cho đa thức :$P_{(x)}=ax^2+bx+c.$ Chứng minh rằng nếu $P_{(x)}$ có ba nghiệm số phân biệt $\alpha ,\beta ,\gamma$ thì $a=b=c=0$ tức là $P_{(x)}=0$ với mọi $x$.

d) Xác định tất cả các cặp số nguyên dương $(x;n)$ thỏa mãn phương trình sau $x^3+3367=2^n$.

e) Tìm các số tự nhiên: $2< x< y< z< t< u$ thỏa mãn:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}+\frac{1}{u}=1$

f) Giải phương trình:

$\left [ \frac{2x-1}{3} \right ]=\left [ \frac{x+1}{2} \right ]$

P/s: Riêng câu f) là mình khuyến mãi cho các bạn đó (trong Phần nguyên và ứng dụng).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lawer: 06-05-2016 - 11:51

[Mystic]

Mình góp thêm bài hình:

Cho tứ giác $ABCD$, trên các cạnh $AB$,$BC$,$CD$,$DA$ lần lượt lấy các điểm $M$,$N$,$P$,$Q$ sao cho $\frac{AM}{MB}=m,\frac{BN}{NC}=n,\frac{CP}{PD}=p,\frac{DQ}{QA}=q$, đồng thời $(1-mp)(1-nq)\leq 0$.

Chứng minh rằng $S_{MNPQ}\leq max${$S_{ABC};S_{BCD};S_{CDA};S_{DAB}$}.

[Mystic]

Cho tam giác vuông $ABC(\widehat{A}=90^{\circ})$, đường cao AD, gọi I là giao điểm các đường phân giác của tam giác ABD, J là giao điểm các đường phân giác của tam giác ADC, đường thẳng IJ cắt AB tại M và cắt AC tại N.

Chứng minh rằng:

a) Tam giác AMN vuông cân.

b) $S_{AMN}\leq \frac{1}{2}S_{ABC}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mystic: 30-04-2016 - 18:49

[ducthang0701]

xử luôn bài hệ nhé

x^2+yz=x

y^2+xz=y

z^2+xy=z

mình gõ latex sao mà k đc ấy ,ngu quá ,các bạn thông cảm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducthang0701: 01-05-2016 - 20:29

[ducthang0701]

Cho tam giác vuông $ABC(\widehat{A}=90^{\circ})$, đường cao AD, gọi I là giao điểm các đường phân giác 

 

gõ lại chuẩn tí bạn ,mình k hiểu

[ngochapid]

Bài toán hình:

 

Cho hình vuông ABCD. Bên trong hình vuông ABCD lấy điểm E sao cho tam giác BCE đều. EC cắt BD tại F. Chứng minh rằng DE đi qua trung điểm của AF.

Xin thầy cho em xin ý tưởng để giải bài toán này, em nghĩ mãi vẫn chưa thấy khả thi, em cảm ơn thầy!

[ngochapid]

Giải phương trình nghiệm nguyên dương: $x^2+(x+1)^2=y^2$

[nntien]

Giải phương trình nghiệm nguyên dương: $x^2+(x+1)^2=y^2$

 

$x^2+(x+1)^2=y^2$<=> $(2x+1)^2=2y^2-1$ phương trình Pell quen thuộc!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nntien: 30-04-2016 - 23:35