Chủ đề này có 527 trả lời

[Oo Nguyen Hoang Nguyen oO]

Giải phương trình nghiệm nguyên dương: $x^2+(x+1)^2=y^2$

bài này có thể xài phương pháp biến đổi về phương trình Pell như bạn nntien hoặc bước nhảy Viete, nhưng cách này hơi phức tạp vì cấp 3 mới học

[ducthang0701]

$x^2+(x+1)^2=y^2$<=> $(2x+1)^2=2y^2-1$ phương trình Pell quen thuộc!

đây là chương trình lớp mấy đây nhỉ

[Ngu Vi Toan]

mình có bài này nhờ các bạn giúp đỡ
(de thi thu vao lop 10 truong minh)
cau 5:

cho $x+2y\leq \frac{3}{2}$ chung minh : $2y(x+y)^2+\frac{1}{x^3}+\frac{2}{y^3}\geq 25$

[nntien]

đây là chương trình lớp mấy đây nhỉ

Co the xay dung lai cach giai pt Pell nhung day la cai sai cua nguoi ra de

[nntien]

Bài 65:
(Bài viết của sát thủ)
Bài 1:
Cho tam giác đều ABC, điểm M nằm trên cạnh BC ( M khác B,C). Vẽ MD vuông góc AB và ME vuông góc AC ( D thuộc AB, E thuộc AC).Xác định vị trí của M để diện tích tam giác MDE max.
Bài 2:
Cho 2 đường tròn (O;R) và (O';R') với R'>R, cắt nhau tại hai điểm A,B. Tia OA cắt (O') tại C và tia O'A cắt đường tròn (O) tại D. Tia BD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD tại E. So sánh BC và BE.
Bài 3:
Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường cao AH. Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC. Trên cung nhỏ AH của (O) lấy M bất kì khác A.Trên tiếp tuyến tại M của (O) lấy hai điểm D và E sao cho BD=BE=BA.Đường thẳng BM cắt (O) tại điểm thứ hai N.
a) CM: BDNE nội tiếp.
b) CMR đường tròn ngoại tiép tứ giác BDNE tiếp xúc với (O).
PS:  đây là các bài toán bên box Hình học

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nntien: 02-05-2016 - 17:48

[PhucLe]

Ai giúp mình giải đề này với, câu nào dễ thì ghi kết quả ra thôi là được rồi.

p/s: do không có thời gian, mình không gõ nguyên cái đề ra, ai đánh máy nhanh gõ giúp nha!

File gửi kèm

•  2011-2012.DOC   62.5K   171 Số lần tải

[Oo Nguyen Hoang Nguyen oO]

Co the xay dung lai cach giai pt Pell nhung day la cai sai cua nguoi ra de

Sao lại sai? Mình thấy có sai gì đâu

 

đây là chương trình lớp mấy đây nhỉ

Đây hình như là chương trình cấp 3 mới đi sâu vào, cấp 2 chỉ cần biết là đủ rồi

[githenhi512]

Ai giúp mình giải đề này với, câu nào dễ thì ghi kết quả ra thôi là được rồi.

p/s: do không có thời gian, mình không gõ nguyên cái đề ra, ai đánh máy nhanh gõ giúp nha!

6.a. $VT\geq \frac{4}{3(x+y)}\geq \frac{4}{3.2}=VP$(đpcm)

Dấu ''='' xr khi x=y=1

b. $\frac{9}{4}=\sum a+\sum ab\leq \sqrt{3\sum a^{2}}+\sum a^{2}$

$\Leftrightarrow (\sum a^{2}-\frac{\sqrt{3}}{2})(\sum a^{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2})\geq 0\Leftrightarrow \sum a^{2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow$ đpcm

Dấu ''='' xr khi a=b=c=0.5

7. $AM.BP=1=AB.AB. Mà \hat{BAM}=\hat{ABP}=(60^{\circ})$

$\Rightarrow \bigtriangleup ABM~\bigtriangleup BPA\Rightarrow \hat{ABM}=\hat{BPA}$

Lại có: $\hat{ABM}+\hat{NBP}=60\Rightarrow \hat{BNP}=180^{\circ}-\hat{NBP}-\hat{NPB}=120^{\circ}$

$\Rightarrow \hat{ANB}=180^{\circ}-\hat{BNP}=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}=\hat{ACB}$

$\Rightarrow$ TG AMCB nt. Áp dụng đ/l Ptoleme và AB=BC=CA tc: AB.NC+BC.NA=NB.AC

$\Rightarrow NB^{2}=(NA+NC)^{2}\geq 4NA.NC$(đpcm)

[nntien]

Góp một bài toán vui như sau:

Bảy chú lùn ngồi quây quanh một chiếc bàn tròn. Bạch Tuyết rót hết 3 lít sữa vào ly cho các chú lùn tùy theo năng suất làm việc của các chú. Tuy nhiên sau đó mỗi chú lùn lại chia đều hết phần sữa của mình cho sáu người còn lại và chia theo thứ tự chiều kim đồng hồ. Đến người cuối cùng sau khi chia phần sữa của mình thì lạ thay phần sữa mỗi chú lại giống như lúc đầu Bạch Tuyết đã rót. Tìm lượng sữa đã rót ở mỗi ly lúc đầu. 

Bài này nhìn ta đoán ra ngay kết quả. Tuy nhiên để giải nó lý luận có thể là dài dòng.

Gọi $x_i$ là lượng sữa của chú lùn thứ $i$ có trước khi chia sữa (chứ không phải lượng sữa có trong ly lúc đầu). Trong các $x_i$ tồn tại giá trị lớn nhất là $x$.

Vì chú lùn có lượng sữa $x$ nhận được sữa $\frac{x_i}{6}$ từ các chú thứ $i$ nên:

$x=\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6}{6}$, trong đó $x_i \leq x$ từ đó suy ra $x_1=x_2=x_3=x_4=x_5=x_6=x$

Suy ra lượng sữa lúc đầu cho mỗi chú là:

$0,\frac{x}{6},\frac{2x}{6},\frac{3x}{6},\frac{4x}{6},\frac{5x}{6},x$, trong đó $x=\frac{6}{7}$.

[Oo Nguyen Hoang Nguyen oO]

$x=\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6}{6}$, trong đó $x_i \leq x$ từ đó suy ra $x_1=x_2=x_3=x_4=x_5=x_6=x$

Suy ra lượng sữa lúc đầu cho mỗi chú là:

$0,\frac{x}{6},\frac{2x}{6},\frac{3x}{6},\frac{4x}{6},\frac{5x}{6},x$, trong đó $x=\frac{6}{7}$.

Đoạn này nghĩa là sao vậy? Bạn giải thích rõ hơn được không?

[nntien]

 

Bài toán hình:

 

Cho hình vuông ABCD. Bên trong hình vuông ABCD lấy điểm E sao cho tam giác BCE đều. EC cắt BD tại F. Chứng minh rằng DE đi qua trung điểm của AF.

 

 

Xin thầy cho em xin ý tưởng để giải bài toán này, em nghĩ mãi vẫn chưa thấy khả thi, em cảm ơn thầy!

 

Lời giải vắn tắt:

Ta dễ dàng chứng minh được $BE$ vuông góc với $AF$. Kẻ BG//AF. Ta chứng minh N là trung điểm của BG.

Ta có $BG$ vuông góc với $BE$ và $\angle BEN = 45^0$. => Tam giác $BEN$ vuông cân tại B => $BE=BN=BA$.

=> Tam giác $BAN$ đều (vì $\angle ABG = 60^0$). => N là trung điểm BG => M là trung điểm của AF.

Hình gửi kèm

• 

[nntien]

Đoạn này nghĩa là sao vậy? Bạn giải thích rõ hơn được không?

vì $x$ là lớn nhất trong các $x_i$ nên $x_i \leq x$ => $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6 \leq 6x$ mà $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6 = 6x$

=> $x_1=x_2=x_3=x_4=x_5=x_6=x$

[githenhi512]

Ai giúp mình giải đề này với, câu nào dễ thì ghi kết quả ra thôi là được rồi.

p/s: do không có thời gian, mình không gõ nguyên cái đề ra, ai đánh máy nhanh gõ giúp nha!

5.$\sqrt{x+2\sqrt{3}}=\sqrt{y}+\sqrt{z}(x,y,z\in \mathbb{N})$

$\Rightarrow x+2\sqrt{3}=y+z+2\sqrt{yz}$. $\Leftrightarrow x-y-z=2(\sqrt{yz}-\sqrt{3})(1)$

$\Leftrightarrow (x-y-z)^{2}=4yz-8\sqrt{3yz}+12.$

$\Rightarrow \sqrt{3yz}\in \mathbb{N}. Đặt \sqrt{3yz}=a\in \mathbb{N}. Từ (1)\Rightarrow (x-y-z)\sqrt{3}=2a-6$

$x,y,z,a\in \mathbb{N}\Rightarrow x-y-z=0\Rightarrow yz=3\Rightarrow (y,z)=(1;3);(3;1)$ $\Rightarrow x=4$

Vậy (x;y;z)=(4;1;3);(4;3;1)

1. $P=\frac{3\sqrt{a+1}}{\sqrt{a+1}+2}$

2.a. m<2

b. $A=-2m^{3}-12m-14$

3.$a, x\in \left \{ 0;4 \right \} b, -8\leq m\leq -6$

[Lawer]

Mình góp thêm bài hình:

Cho tứ giác $ABCD$, trên các cạnh $AB$,$BC$,$CD$,$DA$ lần lượt lấy các điểm $M$,$N$,$P$,$Q$ sao cho $\frac{AM}{MB}=m,\frac{BN}{NC}=n,\frac{CP}{PD}=p,\frac{DQ}{QA}=q$, đồng thời $(1-mp)(1-nq)\leq 0$.

Chứng minh rằng $S_{MNPQ}\leq max${$S_{ABC};S_{BCD};S_{CDA};S_{DAB}$}.

Ta có:$\frac{S_{BMN}}{S_{BAC}}=\frac{BM}{BA}.\frac{BN}{BC}=\frac{BM}{(BM+MA)}.\frac{BN}{(BN+NC)}=\frac{n}{(1+m)(1+n)}$

Tương tự $\frac{S_{CNP}}{S_{CBD}}=\frac{p}{(1+n)(1+p)},\frac{S_{PDQ}}{S_{DCA}}=\frac{q}{(1+q)(1+p)},\frac{S_{AQM}}{S_{ADB}}=\frac{m}{(1+m)(1+q)}$

$\Rightarrow \frac{S_{BMN}}{S_{BAC}}+\frac{S_{CNP}}{S_{CBD}}+\frac{S_{PDQ}}{S_{DCA}}+\frac{S_{AQM}}{S_{ADB}}$

$=\frac{n}{(1+m)(1+n)}+\frac{p}{(1+p)(1+n)}+\frac{q}{(1+q)(1+p)}+\frac{m}{(1+m)(1+q)}$

Ta chứng minh

$\frac{n}{(1+m)(1+n)}+\frac{p}{(1+p)(1+n)}+\frac{q}{(1+q)(1+p)}+\frac{m}{(1+m)(1+q)}\geq 1$

$\Leftrightarrow n(1+p)(1+q)+p(1+m)(1+q)+q(1+m)(1+n)+m(1+n)(1+p)\geq (1+m)(1+n)(1+p)(1+q)$

$\Leftrightarrow (1-mp)(1-nq)\leq 0$

luông đúng theo giả thiết.

Đặt $S=max${$S_{ABC};S_{BCD};S_{CDA};S_{DAB}$}

và  $s=min${$S_{ABC};S_{BCD};S_{CDA};S_{DAB}$}

thì $S+s=S_{ABCD}$.

Ta có $S_{MNPQ}=S_{ABCD}-(S_{AQM}+S_{BMN}+S_{CNP}+S_{DPQ})$

$\leq S_{ABCD}-s(\frac{n}{(1+m)(1+n)}+\frac{p}{(1+p)(1+n)}+\frac{q}{(1+q)(1+p)}+\frac{m}{(1+m)(1+q)})$

$\leq S_{ABCD}-s=S$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lawer: 04-05-2016 - 13:37

[Lawer]

Cho tam giác vuông $ABC(\widehat{A}=90^{\circ})$, đường cao AD, gọi I là giao điểm các đường phân giác của tam giác ABD, J là giao điểm các đường phân giác của tam giác ADC, đường thẳng IJ cắt AB tại M và cắt AC tại N.

Chứng minh rằng:

a) Tam giác AMN vuông cân.

b) $S_{AMN}\leq \frac{1}{2}S_{ABC}$.

Hình thì các bạn tự vẽ, xin lỗi vì mình không biết dùng Geogebra.

a) Từ I và J hạ các đường vuông góc với các cạnh AB,AC,BC và AD 

$\Rightarrow IP=IQ=IF,JH=JK=JE.$

Chứng minh $\widehat{JAG}=\widehat{AJE}$ (cùng phụ với hai góc bằng nhau $\widehat{JAC}=\widehat{JAE}$) để

suy ra JG=AE, còn JK=JE=JH=ED nên JG+JK=AD, suy ra AK+AG=AD.

Do đó AG+AK=AQ+AL=AD $\Rightarrow$ GQ=LK.

Gọi O là giao điểm của IL và JG $\Rightarrow$ OI=OJ $\Rightarrow$ Tam giác OIJ vuông cân $\Rightarrow$ Tam giác AMN vuông cân.

b) Từ câu a) suy ra AM=AN=AD $\Rightarrow S_{AMN}=\frac{1}{2}AM.AN=\frac{1}{2}AD^2$.

Gọi T là trung điểm của BC, ta có $S_{ABC}=\frac{1}{2}BC.AD=AT.AD\geq AD^2.$

Suy ra $S_{AMN}\leq \frac{1}{2}S_{ABC}$, dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow$ tam giác ABC vuông cân.

[Mystic]

Cho thêm ít bài nữa :

a) Chứng minh BĐT :

$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{6^2}+...+\frac{1}{(2n)^2}< \frac{1}{2}$ với mọi số tự nhiên $n\geq 2$

Làm 2 cách !

b) Chứng minh rằng nếu tích của ba số bằng 1 và tổng của chúng lớn hơn tổng các số nghịch đảo của chúng thì có một trong ba số đó lớn hơn 1.(Đề thi vô địch Nam Tư,1976).

c) Cho đa thức :$P_{(x)}=ax^2+bx+c.$ Chứng minh rằng nếu $P_{(x)}$ có ba nghiệm số phân biệt $\alpha ,\beta ,\gamma$ thì $a=b=c=0$ tức là $P_{(x)}=0$ với mọi $x$.

d) Xác định tất cả các cặp số nguyên dương $(x;n)$ thỏa mãn phương trình sau $x^3+3367=2^n$.

e) Tìm các số tự nhiên: $2< x< y< z< t< u$ thỏa mãn:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}+\frac{1}{u}=1$

f) Giải phương trình:

$\left [ \frac{2x-1}{3} \right ]=\left [ \frac{x-1}{2} \right ]$

P/s: Riêng câu f) là mình khuyến mãi cho các bạn đó (trong Phần nguyên và ứng dụng).

Mình thì xin phép chém câu a

Nói thế thôi nhưng câu a theo mình là chọn biểu thức trung gian, bạn coi cho mình xem nó sai ở đoạn nào không chứ mình chọn thế này sau khi 1 hồi biến đổi nó "tịt" luôn

Biểu thức trung gian: $B=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{5.6}+...+\frac{1}{(2n-1)2n}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mystic: 04-05-2016 - 14:05

[Lawer]

Mình thì xin phép chém câu a

Nói thế thôi nhưng câu a theo mình là chọn biểu thức trung gian, bạn coi cho mình xem nó sai ở đoạn nào không chứ mình chọn thế này sau khi 1 hồi biến đổi nó "tịt" luôn

Biểu thức trung gian: $B=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{5.6}+...+\frac{1}{(2n-1)2n}$

À vậy sao bạn không chọn biểu thức trung gian là thế này nhỉ :

$B=\frac{1}{2^2-1}+\frac{1}{4^2-1}+\frac{1}{6^2-1}+...+\frac{1}{(2n)^2-1}.$

P/s: Nếu các bạn không giải thì để mai mình "chém" hết luôn nhé ! 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lawer: 04-05-2016 - 14:10

[dongochuyen]

Đặt $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=t$

=>$t^2-3t+2$\geq$0$<=>$(t-1)(t-2)$\geq$0$<=>$(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-1)(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2)$

<=>$\frac{(x-y)^2}{xy}\frac{(x-\frac{y}{2})^2+\frac{3y^2}{4}}{xy}\geq 0$

<=>$\frac{(x-y)^2.\left [ (x-\frac{y}{2})^2+\frac{3y^2}{4} \right ]}{x^2y^2}\geq 0$(hcđ)

=>đpcm

bạn ơi mình ko hiểu lắm là tại sao tự nhiên đang ẩn a,b bạn lại đổi sang ẩn x,y?

[I Love MC]

 

$\left [ \frac{2x-1}{3} \right ]=\left [ \frac{x-1}{2} \right ]$

 

Đặt $[\frac{2x-1}{3}]=[\frac{x-1}{2}]=n$ 
Vậy thì $3n \le 2x-1 <3n+3$ và $2n \le x-1 <2n+2$ 
Hay $3n+1 \le 2x<3n+4$ và $4n+2 \le 2x <4n+6$ 
Suy ra $4n+6>3n+1$ và $3n+4>4n+2$ 
suy ra $-5<n<2$ 
Suy ra $n \in \{-4,-3,-2,-1,0,1\}$ 
$n=0$ thì $1 \le 2x<4$ và $2 \le 2x<6$ đến đây giải đc $x$ thôi  
tương tự với các TH còn lại

[I Love MC]

Về việc phương trình $x^2+(x+1)^2=y^2$ 
Đây là phương trình Pitago . Ở đây ta giả sử $x$ không âm để cho tiện 
Vậy thì theo phương pháp giải phương trình Pitago thì phương trình này có nghiệm 
$\begin{cases} &x=mn&\\&x+1=\frac{n^2-m^2}{2} \end{cases}$ 
Khi đó ta có $n^2-m^2-2mn=2$ đến đây ta giải phương trình này bình thường