Chủ đề này có 527 trả lời

[Oo Nguyen Hoang Nguyen oO]

Về việc phương trình $x^2+(x+1)^2=y^2$ 
Đây là phương trình Pitago . Ở đây ta giả sử $x$ không âm để cho tiện 
Vậy thì theo phương pháp giải phương trình Pitago thì phương trình này có nghiệm 
$\begin{cases} &x=mn&\\&x+1=\frac{n^2-m^2}{2} \end{cases}$ 
Khi đó ta có $n^2-m^2-2mn=2$ đến đây ta giải phương trình này bình thường

$n,m$ ở đâu ra vậy bạn? Bạn có thể giải rõ ra được không? (nếu ngắn gọn)

[I Love MC]

GIỚI THIỆU CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PYTHAGORES 
Xét phương trình $x^2+y^2=z^2$ (2) 
Nhận xét nếu $(x,y,z)=d$ thì bộ ba $(\frac{x}{d},\frac{y}{d},\frac{z}{d})$ cũng là nghiệm của (2) . Nên vậy ta chỉ cần xét trường hợp $d=1$ 
$d=1$ nên tồn tại $x,y$ phải có một số lẻ . Giả sử $x$ lẻ 
PT (2) $\leftrightarrow (z-y)(y+z)=x^2$ 
Giả sử $(z-y,z+y)=d$ thì $d|x$ nên $d$ là số lẻ . Hơn nữa $d|(z-y+z+y)$ nên $d|z$ tương tự ta có có $d|y$ mà $(x,y,z)=1$ nên $d=1$ 
Suy ra $z-y=m^2,z+y=n^2$ với $m,n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau và $m<n$ từ đó ta có : 
$x=mn,y=\frac{n^2-m^2}{2},z=\frac{m^2+n^2}{2}$ 
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (2) là 
$x=\omega_1.dmn,y=\omega_2.d\frac{n^2-m^2}{2},z=\omega_3.d\frac{m^2+n^2}{2}$ 
trong đó $\omega_i \in \{-1,1\}$ với $i=1,2,3$ $n>m \ge 1$ và $(m,n)=1$ 

[Oo Nguyen Hoang Nguyen oO]

Tiện đây "cống hiến" cho topic một bài toán luôn cho đỡ bị loãng topic:

Tìm x,y nguyên dương thoả mãn phương trình: $25x+46=y(y+1)$

[the unknown]

Góp một bài dễ thôi: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa $ab+bc+ca=3$. Chứng minh rằng:

                $\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\geq \frac{3}{2}$

[Oo Nguyen Hoang Nguyen oO]

Góp một bài dễ thôi: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa $ab+bc+ca=3$. Chứng minh rằng:

                $\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\geq \frac{3}{2}$

Phải chăng là xài ứng dụng của bất đẳng thức $Cauchy$?

[the unknown]

Tiện đây "cống hiến" cho topic một bài toán luôn cho đỡ bị loãng topic:

Tìm x,y nguyên dương thoả mãn phương trình: $25x+46=y(y+1)$

Giả thiết tương đương $100x+185=(2y+1)^2$. Do đó $(2y+1)^2$ là số chính phương lẻ chia hết cho 5 nên $(2y+1)^2\equiv 25$ ( $mod$ $100$).

Mà $100x+185\equiv 85$ ( $mod$ $100$) nên vô lý.

Vậy không tồn tại $x,y$ thỏa mãn đề bài.

[Oo Nguyen Hoang Nguyen oO]

Giả thiết tương đương $100x+185=(2y+1)^2$. Do đó $(2y+1)^2$ là số chính phương lẻ chia hết cho 5 nên $(2y+1)^2\equiv 25$ ( $mod$ $100$).

Mà $100x+185\equiv 85$ ( $mod$ $100$) nên vô lý.

Vậy không tồn tại $x,y$ thỏa mãn đề bài.

Mở rộng bài toán ra tập hợp số thực thì có giải được không bạn?

[the unknown]

Thêm một bài nữa cho vui: Giả sử $m,n,p$ ($n$ là hằng số, $m,p$ là các số thực thay đổi) là các số thực sao cho phương trình $x^4+mx^3+nx^2+px+1$ có bốn nghiệm thực đều âm ( không nhất thiết phân biệt). Tìm giá trị lớn nhất của $p$ theo $n$.

[the unknown]

Mở rộng bài toán ra tập hợp số thực thì có giải được không bạn?

Dĩ nhiên là được chứ bạn. Điều này cũng đúng với tập hợp số hữu tỉ vì khi đó $x=\frac{y^2+y-46}{25}$ nên nếu $y$ là số hữu tỉ thì $x$ cũng là số hữu tỉ.

[Lawer]

Đặt $[\frac{2x-1}{3}]=[\frac{x-1}{2}]=n$ 
Vậy thì $3n \le 2x-1 <3n+3$ và $2n \le x-1 <2n+2$ 
Hay $3n+1 \le 2x<3n+4$ và $4n+2 \le 2x <4n+6$ 
Suy ra $4n+6>3n+1$ và $3n+4>4n+2$ 
suy ra $-5<n<2$ 
Suy ra $n \in \{-4,-3,-2,-1,0,1\}$ 
$n=0$ thì $1 \le 2x<4$ và $2 \le 2x<6$ đến đây giải đc $x$ thôi  
tương tự với các TH còn lại

Bạn làm thế nào vậy cà ? Mình không hiểu rõ lắm

Đây là cách của mình

Đặt $\left [ \frac{2x-1}{3} \right ]=\left [ \frac{x+1}{2} \right ]=t(t\epsilon Z.)$

Theo t/c nếu $[a]=[b]$ thì $\left | a-b \right |< 1.$ Ta có

$\left | \frac{2x-1}{3}-\frac{x+1}{2} \right |< 1\Leftrightarrow -1< \frac{x-5}{6}< 11\Leftrightarrow -1< x< 11.$ Khi đó

$\left\{\begin{matrix} 0< \frac{x+1}{2}< 6 & & \\ -1< \frac{2x-1}{3}< 7 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 0\leq \left [ \frac{x+1}{2} \right ]\leq 5 & & \\ -1\leq \left [ \frac{2x-1}{3} \right ] \leq 6& & \end{matrix}\right.$

Suy ra $t\epsilon \left \{ 0;1;2;3;4;5 \right \}.$

Từ đó mình thay vào tính thôi !

Với $t=0$ thì $\left [ \frac{2x-1}{3} \right ]=\left [ \frac{x-1}{2} \right ]=0$ 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 0\leq \frac{2x-1}{3}< 1 & & \\ 0\leq \frac{x+1}{2}< 1 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{1}{2}\leq x< 2 & & \\ -1\leq x< 1 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \frac{1}{2}\leq x< 1.$

Tương tự các TH còn lại :

Với $t=1$ $\Leftrightarrow 1\leq x< 3$

Với $t=2$ $\Leftrightarrow \frac{7}{2}\leq x< 5$

Với $t=3$ $\Leftrightarrow 5\leq x< \frac{11}{2}$

Với $t=4$ $\Leftrightarrow 7\leq x< 8$

Với $t=5$ $\Leftrightarrow 9\leq x< \frac{19}{2}.$

Đến đay mình có thể suy ra tập nghiệm

P/s: Xin lỗi vì post đề sai 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lawer: 06-05-2016 - 11:52

[ducthang0701]

 

Theo t/c nếu $[a]=[b]$ thì $\left | a-b \right |< 1.$ Ta có

$\left | \frac{2x-1}{3}-\frac{x+1}{2} \right |< 1\Leftrightarrow -1< \frac{x-5}{6}< 

có vẻ k ổn lắm ,nếu để thế thì x-1 chứ nhỉ

[Lawer]

có vẻ k ổn lắm ,nếu để thế thì x-1 chứ nhỉ

Ý bạn là sao ? Bạn có thể nói rõ chỗ không hiểu ra đc ko ?

[ducthang0701]

đoạn |a-b| <1 hình như suy ra đc (2x-1)/3-(x-1)/2 < 1 chứ sao lai là x+1

[tanthanh112001]

tiện đây mình cũng góp 1 bài, có trong đề thi chuyên toán tỉnh mình năm ngoái

Cho hai số a, b khác 0 và khác 1, thỏa mãn điều kiện $a+b=1$.

Chứng minh rằng: $\frac{a}{b^3-1}-\frac{b}{a^3-1}=\frac{2(b-a)}{a^2b^2+3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tanthanh112001: 07-05-2016 - 08:21

[Zeref]

tiện đây mình cũng góp 1 bài, có trong đề thi chuyên toán tỉnh mình năm ngoái

Cho hai số a, b khác 0 và khác 1, thỏa mãn điều kiện $a+b=1$.

Chứng minh rằng: $\frac{a}{b^3-1}+\frac{b}{a^3-1}=\frac{2(b-a)}{a^2b^2-3}$

Xin bạn xem lại đề, mình tính thử bằng máy tính thì nó không ra . Khi tính a=0,5;b=0,5 thì VT= $\frac{-8}{7}$ còn VP=0. Khi thử với các giá trị khác cũng vậy 

[hoduchieu01]

đây là chương trình lớp mấy đây nhỉ

trong tài liệu phương trình nghiệm nguyên nâng cao cũng có của thcs mà

[tanthanh112001]

Xin bạn xem lại đề, mình tính thử bằng máy tính thì nó không ra . Khi tính a=0,5;b=0,5 thì VT= $\frac{-8}{7}$ còn VP=0. Khi thử với các giá trị khác cũng vậy 

úi chết ! mình nhầm dấu cộng với dấu trừ, cảm ơn nhé, đã sửa ở trên

[NTA1907]

Góp một bài dễ thôi: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa $ab+bc+ca=3$. Chứng minh rằng:

                $\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\geq \frac{3}{2}$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$\frac{a^{2}}{a^{2}+1}+\frac{b^{2}}{b^{2}+1}+\frac{c^{2}}{c^{2}+1}\leq \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{a^{2}}{3a^{2}+3}\leq \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{a^{2}}{a(a+b+c)+2a^{2}+bc}\leq \frac{1}{2}$

Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có:

$\sum \frac{a^{2}}{a(a+b+c)+2a^{2}+bc}\leq \sum \frac{a^{2}}{4}\left ( \frac{1}{a(a+b+c)}+\frac{1}{2a^{2}+bc} \right )=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\sum \frac{a^{2}}{2a^{2}+bc}$

Do đó ta chỉ cần chứng minh:

$\sum \frac{a^{2}}{2a^{2}+bc}\leq 1$

$\Leftrightarrow \frac{bc}{2a^{2}+bc}\geq 1$

Áp dụng Svac-xơ ta có:

$\sum \frac{b^{2}c^{2}}{2a^{2}bc+b^{2}c^{2}}\geq \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+2abc(a+b+c)}=1$

$\Rightarrow$ đpcm

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$

[ducthang0701]

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$\frac{a^{2}}{a^{2}+1}+\frac{b^{2}}{b^{2}+1}+\frac{c^{2}}{c^{2}+1}\leq \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{a^{2}}{3a^{2}+3}\leq \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{a^{2}}{a(a+b+c)+2a^{2}+bc}\leq \frac{1}{2}$

Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có:

$\sum \frac{a^{2}}{a(a+b+c)+2a^{2}+bc}\leq \sum \frac{a^{2}}{4}\left ( \frac{1}{a(a+b+c)}+\frac{1}{2a^{2}+bc} \right )=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\sum \frac{a^{2}}{2a^{2}+bc}$

Do đó ta chỉ cần chứng minh:

$\sum \frac{a^{2}}{2a^{2}+bc}\leq 1$

$\Leftrightarrow \frac{bc}{2a^{2}+bc}\geq 1$

Áp dụng Svac-xơ ta có:

$\sum \frac{b^{2}c^{2}}{2a^{2}bc+b^{2}c^{2}}\geq \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+2abc(a+b+c)}=1$

$\Rightarrow$ đpcm

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$

bạn làm rõ hơn tí đc k ,mình chưa hiểu lắm ,nhất là từ bước 2 đến 4 ấy

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducthang0701: 06-05-2016 - 15:59

[ducthang0701]

xử luôn bài hệ nhé

x^2+yz=x

y^2+xz=y

z^2+xy=z

mình gõ latex sao mà k đc ấy ,ngu quá ,các bạn thông cảm

sao k ai giải giùm tí vậy