Với $a,b,c>0$
Chứng minh rằng $\sqrt{a^2+b^2-\sqrt{3}ab}+\sqrt{b^2+c^2-bc}\geq \sqrt{a^2+c^2}$
đây là bất đẳng thức hình học dựng một tam giác vuông và một hình thang vuông
Với $a,b,c>0$
Chứng minh rằng $\sqrt{a^2+b^2-\sqrt{3}ab}+\sqrt{b^2+c^2-bc}\geq \sqrt{a^2+c^2}$
đây là bất đẳng thức hình học dựng một tam giác vuông và một hình thang vuông
cho xin tài liệu bất đẳng thức dạng phân thức 2 biến có thể đưa về 3 biến để giải
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O), E nằm trên cung nhỏ BC (E khác B và C). Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại S. Nối AE cắt SB, SC lần lượt tại M và N. Đường thẳng CM cắt BN tại F.
a) Chứng minh 4 điểm C, E, M, S cùng thuộc 1 đường tròn
b) Chứng minh tam giác ACN đồng dạng tam giác MBA, tam giác MBC đồng dạng tam giác BCN,
c) Chứng minh khi E di chuyển trên cung nhỏ BC, đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định
(Đề dự bị vào lớp 10 THPT Chuyên Hà Nội 2014 - 2015)
Góp một bài rất hay
Với $x,y$ là các số thực, CM: $\sqrt{7x^2+6xy+3y^2}+\sqrt{3x^2+6xy+7y^2}\geq 4(x+y)$
Số hoàn hảo giống như người hoàn hảo, rất hiếm có.
Perfect numbers like perfect men, are very rare.
TỰ HÀO LÀ THÀNH VIÊN $\sqrt{MF}$
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O), E nằm trên cung nhỏ BC (E khác B và C). Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại S. Nối AE cắt SB, SC lần lượt tại M và N. Đường thẳng CM cắt BN tại F.
a) Chứng minh 4 điểm C, E, M, S cùng thuộc 1 đường tròn
b) Chứng minh tam giác ACN đồng dạng tam giác MBA
Làm trước hai ý dễ, hai ý còn lại ai giải giúp đi
a) Vì SB, SC là 2 tiếp tuyến của $(O)$ nên $SB=SC$ và $\widehat{SBC}=\widehat{SCB}$
$\Rightarrow \widehat{SBC}=\widehat{SCB}=\widehat{BAC}=60^0\Rightarrow \bigtriangleup SBC$ đều $\Rightarrow \widehat{BSC}=60^0$
$\Rightarrow \widehat{CSM}=180^0-\widehat{BSC}=180^0-60^0=120^0$
Ta có: $\widehat{AEC}=\widehat{ABC}=60^0\Rightarrow \widehat{MEC}=180^0-\widehat{AEC}=180^0-60^0=120^0$
$\Rightarrow \widehat{MEC}=\widehat{CSM}(=120^0)\Rightarrow $ tứ giác CESM nội tiếp $\Rightarrow đpcm$
b) Ta có: $\widehat{ABM}=\widehat{ABC}+\widehat{CSB}=60^0+60^0=120^0$
Tương tự $\widehat{ACN}=120^0$
$\Rightarrow \widehat{ACN}=\widehat{ABM}(=120^0)$ (1)
$\widehat{BMA}$ là góc có đỉnh ngoài đường tròn $\Rightarrow \widehat{BMA}=\frac{1}{2}(sđ\stackrel\frown{AB}-sđ\stackrel\frown{BE})=\frac{1}{2}(sđ\stackrel\frown{BC}-sđ\stackrel\frown{BE})=\frac{1}{2}sđ\stackrel\frown{EC}=\widehat{EAC}$ (2)
Từ (1);(2) $\Rightarrow đpcm$
TINH HOA CỦA TOÁN HỌC LÀ NẰM Ở SỰ TỰ DO CỦA NÓ.
---- Georg Cantor ----
Góp một bài rất hay
Với $x,y$ là các số thực, CM: $\sqrt{7x^2+6xy+3y^2}+\sqrt{3x^2+6xy+7y^2}\geq 4(x+y)$
Lời giải: Áp dụng BĐT $Mincopxki$, ta có:
$\sqrt{7x^2+6xy+3y^2}+\sqrt{3x^2+6xy+7y^2}=\sqrt{3(x+y)^{2}+4x^{2}}+\sqrt{3(x+y)^{2}+4y^{2}}\geq \sqrt{12(x+y)^{2}+4(x+y)^{2}}=4\left | x+y \right |\geq 4(x+y).$
Đẳng thức rảy ra khi $x=y$.
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
Góp một bài rất hay
Với $x,y$ là các số thực, CM: $\sqrt{7x^2+6xy+3y^2}+\sqrt{3x^2+6xy+7y^2}\geq 4(x+y)$
Từ đây có hệ sau:
$$\left\{\begin{matrix} \sqrt{7x^{2}+6xy+3y^{2}}+\sqrt{3x^{2}+6xy+7y^{2}} =4(x+y)& \\ \sqrt{x+2y+3}+\sqrt[3]{x-4y+5}=2& \end{matrix}\right.$$
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
Lời giải: Áp dụng BĐT $Mincopxki$, ta có:
$\sqrt{7x^2+6xy+3y^2}+\sqrt{3x^2+6xy+7y^2}=\sqrt{3(x+y)^{2}+4x^{2}}+\sqrt{3(x+y)^{2}+4y^{2}}\geq \sqrt{12(x+y)^{2}+4(x+y)^{2}}=4\left | x+y \right |\geq 4(x+y).$
Đẳng thức rảy ra khi $x=y$.
Bạn thử làm cách khác đi, biến đổi biểu thức dưới căn thức sao có tồn tại $(x-y)^2$ mới là hay
Số hoàn hảo giống như người hoàn hảo, rất hiếm có.
Perfect numbers like perfect men, are very rare.
TỰ HÀO LÀ THÀNH VIÊN $\sqrt{MF}$
Bạn thử làm cách khác đi, biến đổi biểu thức dưới căn thức sao có tồn tại $(x-y)^2$ mới là hay
Chiều ý bạn
$LHS=\sqrt{(\frac{5}{2}x+\frac{3}{2}y)^{2}+\frac{3}{4}(x-y)^{2}}+\sqrt{(\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}y)^{2}+\frac{3}{4}(x-y)^{2}}\geq 4(x+y).$
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
Cho đa thức P(x) = ax2 + bx + c. Biết P(x) chia cho x+1 dư 3, chia cho x dư 1, chia cho x-1 dư 5 . Tìm hệ số a,b,c.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Fat Boy: 24-05-2016 - 17:26
Toán Học thật
~~~~~~ Vi Diệu ~~~~~
Cho đa thức P(x) = ax2 + bx + c. Biết P(x) chia cho x+1 dư 3, chia cho x dư 1, chia cho x-1 dư 5 . Tìm hệ số a,b,c.
theo gt ta có : $ax^{2}+bx+c-3 \vdots x+1 $
$ax^{2}+bx+c-1\vdots x$
$ax^{2}+bx+c-5 \vdots x-1$
vs lần lượt các giá trị $x=-1$ , $x=0$ ,$x=1$ thì ta có hệ
$a-b+c-3=0$
$c-1=0$
$a+b+c-5=0$
giải hệ trên ta được $c=1; a=3 ; b=1$ * nhớ đối chiếu đk $a\neq 0$ *
Đúng thì like , sai thì thích
Hãy like nếu bạn không muốn like
Tiếc gì 1 nhấp chuột nhẹ nhàng ở nút like mọi người nhỉ ??
Toán Học thật
~~~~~~ Vi Diệu ~~~~~
Nhân lượng liên hợp đi bạn
Có đc $(x-\sqrt{x^2+\sqrt{2016}})(y-\sqrt{y^2+\sqrt{2016}})=1$ rồi sau đó tính x theo y hả bạn
Tính x+y biết
$(x+\sqrt{x^2+\sqrt{2016}})(y+\sqrt{y^2+\sqrt{2016}})=2016$
xin phép ... mình làm hơi tắt
pt $\Leftrightarrow (x+\sqrt{x^{2}+\sqrt{2016}})(\sqrt{x^{2}+\sqrt{2016}}-x)(y+\sqrt{y^{2}+\sqrt{2016}})=2016(\sqrt{x^{2}+\sqrt{2016}}-x)$
khai triển ra ta dc $y+\sqrt{y^{2}+\sqrt{2016}}=\sqrt{2016}(\sqrt{x^{2}+\sqrt{2016}}-x)$ (1)
tương tự ta có $x+\sqrt{x^{2}+\sqrt{2016}}=\sqrt{2016}(\sqrt{y^{2}+\sqrt{2016}}-y)$ (2)
trừ (2) cho (1) dc :
$(x-y)(1-12\sqrt{14}+\frac{(1-12\sqrt{14})(x+y)}{\sqrt{x^{2}+\sqrt{2016}}+\sqrt{y^{2}+\sqrt{2016}}})=0$
vì $1-12\sqrt{14}+\frac{(1-12\sqrt{14})(x+y)}{\sqrt{x^{2}+\sqrt{2016}}+\sqrt{y^{2}+\sqrt{2016}}})\ < 0$
nên $x=y$
phần còn lại thì dễ rồi..
Cho nhận xét ~~ mình thấy cách này hơi dài và nếu sai thì ns mình với. đúng thì like cái coi như công gõ
Đúng thì like , sai thì thích
Hãy like nếu bạn không muốn like
Tiếc gì 1 nhấp chuột nhẹ nhàng ở nút like mọi người nhỉ ??
Trên mặt phẳng cho 25 điểm phân biệt, biết rằng với 3 điểm bất kì trong số đó luôn có 2 điểm cách nhau với khoảng cách nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng có 1 đường tròn bán kính bằng 1 chứa không ít hơn 13 điểm đã cho.
Mình chém đại ~~ coi đúng k ?
- xét điểm A bất kì. Ta vẽ (A;1)
+ nếu ít nhất 12 điểm còn lại $\epsilon$ (A;1) thì ta có đpcm
+ Ngược lại thì xét điểm B sao cho AB>1. vẽ đường tròn tâm B ĐK 1.
. xÉT điểm C : vì AB >1 nên AC,BC <1 ( gt)
do đó C nằm trong ít nhất đường tròn tâm A hoăc B.
vs 24 điểm còn lại thì có 12 điểm + vs 1 điểm tâm nữa là có đpcm
Đúng thì like , sai thì thích
Hãy like nếu bạn không muốn like
Tiếc gì 1 nhấp chuột nhẹ nhàng ở nút like mọi người nhỉ ??
xin phép ... mình làm hơi tắt
pt $\Leftrightarrow (x+\sqrt{x^{2}+\sqrt{2016}})(\sqrt{x^{2}+\sqrt{2016}}-x)(y+\sqrt{y^{2}+\sqrt{2016}})=2016(\sqrt{x^{2}+\sqrt{2016}}-x)$
khai triển ra ta dc $y+\sqrt{y^{2}+\sqrt{2016}}=\sqrt{2016}(\sqrt{x^{2}+\sqrt{2016}}-x)$ (1)
tương tự ta có $x+\sqrt{x^{2}+\sqrt{2016}}=\sqrt{2016}(\sqrt{y^{2}+\sqrt{2016}}-y)$ (2)
trừ (2) cho (1) dc :
$(x-y)(1-12\sqrt{14}+\frac{(1-12\sqrt{14})(x+y)}{\sqrt{x^{2}+\sqrt{2016}}+\sqrt{y^{2}+\sqrt{2016}}})=0$
vì $1-12\sqrt{14}+\frac{(1-12\sqrt{14})(x+y)}{\sqrt{x^{2}+\sqrt{2016}}+\sqrt{y^{2}+\sqrt{2016}}})\ < 0$
nên $x=y$
phần còn lại thì dễ rồi..
Cho nhận xét ~~ mình thấy cách này hơi dài và nếu sai thì ns mình với. đúng thì like cái coi như công gõ
Chỗ này hình như lộn dấu rồi bạn ơi mà cách của bạn cũng hay
Có đc $(x-\sqrt{x^2+\sqrt{2016}})(y-\sqrt{y^2+\sqrt{2016}})=1$ rồi sau đó tính x theo y hả bạn
Mình có cách khác cho bài đó , tối qua gấu mới nhờ xong bài đó mới đau . Mình nghĩ không cần liên hợp mà chỉ cần cộng lại với nhau là xong
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi IamMathematics: 25-05-2016 - 07:28
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh