Chủ đề này có 527 trả lời

[hoduchieu01]

Với $a,b,c>0$

Chứng minh rằng $\sqrt{a^2+b^2-\sqrt{3}ab}+\sqrt{b^2+c^2-bc}\geq \sqrt{a^2+c^2}$

đây là bất đẳng thức hình học dựng một tam giác vuông và một hình thang vuông

[hoduchieu01]

cho xin tài liệu bất đẳng thức dạng phân thức 2 biến có thể đưa về 3 biến để giải

[nntien]

Liệu MĐ có đúng ko nếu có thêm đk a+b+c=0 vậy bạn

Bạn thấy bộ này (1,-1,0,1) cũng vậy nè!

[dogamer01]

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O), E nằm trên cung nhỏ BC (E khác B và C). Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại S. Nối AE cắt SB, SC lần lượt tại M và N. Đường thẳng CM cắt BN tại F.

a) Chứng minh 4 điểm C, E, M, S cùng thuộc 1 đường tròn

b) Chứng minh tam giác ACN đồng dạng tam giác MBA, tam giác MBC đồng dạng tam giác BCN,

c) Chứng minh khi E di chuyển trên cung nhỏ BC, đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định

(Đề dự bị vào lớp 10 THPT Chuyên Hà Nội 2014 - 2015)

 

[Oo Nguyen Hoang Nguyen oO]

Góp một bài rất hay

Với $x,y$ là các số thực, CM: $\sqrt{7x^2+6xy+3y^2}+\sqrt{3x^2+6xy+7y^2}\geq 4(x+y)$

[tanthanh112001]

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O), E nằm trên cung nhỏ BC (E khác B và C). Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại S. Nối AE cắt SB, SC lần lượt tại M và N. Đường thẳng CM cắt BN tại F.

a) Chứng minh 4 điểm C, E, M, S cùng thuộc 1 đường tròn

b) Chứng minh tam giác ACN đồng dạng tam giác MBA

Làm trước hai ý dễ, hai ý còn lại ai giải giúp đi

a) Vì SB, SC là 2 tiếp tuyến của $(O)$ nên $SB=SC$ và $\widehat{SBC}=\widehat{SCB}$

$\Rightarrow \widehat{SBC}=\widehat{SCB}=\widehat{BAC}=60^0\Rightarrow \bigtriangleup SBC$ đều $\Rightarrow \widehat{BSC}=60^0$

$\Rightarrow \widehat{CSM}=180^0-\widehat{BSC}=180^0-60^0=120^0$

Ta có: $\widehat{AEC}=\widehat{ABC}=60^0\Rightarrow \widehat{MEC}=180^0-\widehat{AEC}=180^0-60^0=120^0$

$\Rightarrow \widehat{MEC}=\widehat{CSM}(=120^0)\Rightarrow $ tứ giác CESM nội tiếp $\Rightarrow đpcm$

b) Ta có: $\widehat{ABM}=\widehat{ABC}+\widehat{CSB}=60^0+60^0=120^0$

Tương tự $\widehat{ACN}=120^0$

$\Rightarrow \widehat{ACN}=\widehat{ABM}(=120^0)$ (1)

$\widehat{BMA}$ là góc có đỉnh ngoài đường tròn $\Rightarrow \widehat{BMA}=\frac{1}{2}(sđ\stackrel\frown{AB}-sđ\stackrel\frown{BE})=\frac{1}{2}(sđ\stackrel\frown{BC}-sđ\stackrel\frown{BE})=\frac{1}{2}sđ\stackrel\frown{EC}=\widehat{EAC}$ (2)

Từ (1);(2) $\Rightarrow đpcm$

[O0NgocDuy0O]

Góp một bài rất hay

Với $x,y$ là các số thực, CM: $\sqrt{7x^2+6xy+3y^2}+\sqrt{3x^2+6xy+7y^2}\geq 4(x+y)$

Lời giải:  Áp dụng BĐT $Mincopxki$, ta có:

$\sqrt{7x^2+6xy+3y^2}+\sqrt{3x^2+6xy+7y^2}=\sqrt{3(x+y)^{2}+4x^{2}}+\sqrt{3(x+y)^{2}+4y^{2}}\geq \sqrt{12(x+y)^{2}+4(x+y)^{2}}=4\left | x+y \right |\geq 4(x+y).$

Đẳng thức rảy ra khi $x=y$.

[O0NgocDuy0O]

Góp một bài rất hay

Với $x,y$ là các số thực, CM: $\sqrt{7x^2+6xy+3y^2}+\sqrt{3x^2+6xy+7y^2}\geq 4(x+y)$

Từ đây có hệ sau: 

$$\left\{\begin{matrix} \sqrt{7x^{2}+6xy+3y^{2}}+\sqrt{3x^{2}+6xy+7y^{2}} =4(x+y)& \\ \sqrt{x+2y+3}+\sqrt[3]{x-4y+5}=2& \end{matrix}\right.$$

[Oo Nguyen Hoang Nguyen oO]

Lời giải:  Áp dụng BĐT $Mincopxki$, ta có:

$\sqrt{7x^2+6xy+3y^2}+\sqrt{3x^2+6xy+7y^2}=\sqrt{3(x+y)^{2}+4x^{2}}+\sqrt{3(x+y)^{2}+4y^{2}}\geq \sqrt{12(x+y)^{2}+4(x+y)^{2}}=4\left | x+y \right |\geq 4(x+y).$

Đẳng thức rảy ra khi $x=y$.

Bạn thử làm cách khác đi, biến đổi biểu thức dưới căn thức sao có tồn tại $(x-y)^2$ mới là hay

[O0NgocDuy0O]

Bạn thử làm cách khác đi, biến đổi biểu thức dưới căn thức sao có tồn tại $(x-y)^2$ mới là hay

Chiều ý bạn

$LHS=\sqrt{(\frac{5}{2}x+\frac{3}{2}y)^{2}+\frac{3}{4}(x-y)^{2}}+\sqrt{(\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}y)^{2}+\frac{3}{4}(x-y)^{2}}\geq 4(x+y).$

[Fat Boy]

Cho đa thức P(x) = ax² + bx + c. Biết P(x) chia cho x+1 dư 3, chia cho x dư 1, chia cho x-1 dư 5 . Tìm hệ số a,b,c.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Fat Boy: 24-05-2016 - 17:26

[uchihasatachi061]

Cho đa thức P(x) = ax² + bx + c. Biết P(x) chia cho x+1 dư 3, chia cho x dư 1, chia cho x-1 dư 5 . Tìm hệ số a,b,c.

theo gt ta có : $ax^{2}+bx+c-3 \vdots x+1 $

                      $ax^{2}+bx+c-1\vdots x$

                       $ax^{2}+bx+c-5 \vdots x-1$

              vs lần lượt các giá trị $x=-1$ , $x=0$ ,$x=1$ thì ta có hệ

              $a-b+c-3=0$

              $c-1=0$

              $a+b+c-5=0$

giải hệ trên ta được $c=1; a=3 ; b=1$ * nhớ đối chiếu đk $a\neq 0$ *

[Fat Boy]

Trên mặt phẳng cho 25 điểm phân biệt, biết rằng với 3 điểm bất kì trong số đó luôn có 2 điểm cách nhau với khoảng cách nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng có 1 đường tròn bán kính bằng 1 chứa không ít hơn 13 điểm đã cho.

[Zeref]

Tính x+y biết

$(x+\sqrt{x^2+\sqrt{2016}})(y+\sqrt{y^2+\sqrt{2016}})=2016$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zeref: 24-05-2016 - 20:43

[Oo Nguyen Hoang Nguyen oO]

Tính x+y biết

$(x+\sqrt{x^2+\sqrt{2016}})(y+\sqrt{y^2+\sqrt{2016}})=2016$

Nhân lượng liên hợp đi bạn

[Zeref]

Nhân lượng liên hợp đi bạn

Có đc $(x-\sqrt{x^2+\sqrt{2016}})(y-\sqrt{y^2+\sqrt{2016}})=1$ rồi sau đó tính x theo y hả bạn

[uchihasatachi061]

Tính x+y biết

$(x+\sqrt{x^2+\sqrt{2016}})(y+\sqrt{y^2+\sqrt{2016}})=2016$

xin phép ... mình làm hơi tắt    

pt $\Leftrightarrow (x+\sqrt{x^{2}+\sqrt{2016}})(\sqrt{x^{2}+\sqrt{2016}}-x)(y+\sqrt{y^{2}+\sqrt{2016}})=2016(\sqrt{x^{2}+\sqrt{2016}}-x)$

khai triển ra ta dc $y+\sqrt{y^{2}+\sqrt{2016}}=\sqrt{2016}(\sqrt{x^{2}+\sqrt{2016}}-x)$ (1)

tương tự ta có $x+\sqrt{x^{2}+\sqrt{2016}}=\sqrt{2016}(\sqrt{y^{2}+\sqrt{2016}}-y)$ (2)

trừ (2) cho (1) dc :

                 $(x-y)(1-12\sqrt{14}+\frac{(1-12\sqrt{14})(x+y)}{\sqrt{x^{2}+\sqrt{2016}}+\sqrt{y^{2}+\sqrt{2016}}})=0$

vì $1-12\sqrt{14}+\frac{(1-12\sqrt{14})(x+y)}{\sqrt{x^{2}+\sqrt{2016}}+\sqrt{y^{2}+\sqrt{2016}}})\ < 0$

nên $x=y$

phần còn lại thì dễ rồi..

Cho nhận xét ~~ mình thấy cách này hơi dài và nếu sai  thì ns mình với. đúng thì like cái   coi như công gõ   

[uchihasatachi061]

Trên mặt phẳng cho 25 điểm phân biệt, biết rằng với 3 điểm bất kì trong số đó luôn có 2 điểm cách nhau với khoảng cách nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng có 1 đường tròn bán kính bằng 1 chứa không ít hơn 13 điểm đã cho.

Mình chém đại ~~ coi đúng k ?

- xét điểm A bất kì. Ta vẽ (A;1)

      + nếu ít nhất 12 điểm còn lại $\epsilon$ (A;1) thì ta có đpcm

      + Ngược lại thì xét điểm B sao cho AB>1. vẽ đường tròn tâm B ĐK 1.

            . xÉT điểm C : vì AB >1 nên AC,BC <1 ( gt)

                                do đó C nằm trong ít nhất đường tròn tâm A  hoăc B.

                        vs 24 điểm còn lại thì có 12 điểm + vs 1 điểm tâm nữa là có đpcm

[Zeref]

xin phép ... mình làm hơi tắt    

pt $\Leftrightarrow (x+\sqrt{x^{2}+\sqrt{2016}})(\sqrt{x^{2}+\sqrt{2016}}-x)(y+\sqrt{y^{2}+\sqrt{2016}})=2016(\sqrt{x^{2}+\sqrt{2016}}-x)$

khai triển ra ta dc $y+\sqrt{y^{2}+\sqrt{2016}}=\sqrt{2016}(\sqrt{x^{2}+\sqrt{2016}}-x)$ (1)

tương tự ta có $x+\sqrt{x^{2}+\sqrt{2016}}=\sqrt{2016}(\sqrt{y^{2}+\sqrt{2016}}-y)$ (2)

trừ (2) cho (1) dc :

                 $(x-y)(1-12\sqrt{14}+\frac{(1-12\sqrt{14})(x+y)}{\sqrt{x^{2}+\sqrt{2016}}+\sqrt{y^{2}+\sqrt{2016}}})=0$

vì $1-12\sqrt{14}+\frac{(1-12\sqrt{14})(x+y)}{\sqrt{x^{2}+\sqrt{2016}}+\sqrt{y^{2}+\sqrt{2016}}})\ < 0$

nên $x=y$

phần còn lại thì dễ rồi..

Cho nhận xét ~~ mình thấy cách này hơi dài và nếu sai  thì ns mình với. đúng thì like cái   coi như công gõ   

Chỗ này hình như lộn dấu rồi bạn ơi mà cách của bạn cũng hay 

[IamMathematics]

Có đc $(x-\sqrt{x^2+\sqrt{2016}})(y-\sqrt{y^2+\sqrt{2016}})=1$ rồi sau đó tính x theo y hả bạn

Mình có cách khác cho bài đó , tối qua gấu mới nhờ xong bài đó mới đau  . Mình nghĩ không cần liên hợp mà chỉ cần cộng lại với nhau là xong 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi IamMathematics: 25-05-2016 - 07:28