Chủ đề này có 527 trả lời

[Fat Boy]

Bất đẳng thức Mincopski cho 3 bộ số xảy ra dấu bằng khi nào

4.Bất đẳng thức Mincopxki (Mincowski): Với 2 bộ m số $a_{1};a_{2};...;a_{m}$ và $b_{1}; b_{2};...; b_{m}$ thì :
$\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}+\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}+...+\sqrt{a_{m}^{2}+b_{m}^{2}}\geq \sqrt{(a_{1}+a_{2}+...+a_{m})^{2}+(b_{2}+b_{1}+...+b_{m})^{2}}$
Đẳng thức xảy ra khi :$\frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}=...=\frac{a_{m}}{b_{m}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Fat Boy: 28-05-2016 - 22:30

[Oo Nguyen Hoang Nguyen oO]

Vậy Min A = $2\sqrt{5}$

Dấu bằng xảy ra khi nào vậy bạn mình làm mà không được

Bđt Mincopxki: $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\geq \sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}$

Dấu bằng xảy ra khi $bc=ad$

Áp dụng vào đi bạn

[Fat Boy]

Dấu "=" xảy ra khi 2-x/1=2/1-y=x/y. Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau tính ra x=y=0
Nhưng phần x/y =2 thì ko xảy ra vì x=y=0, khó hiểu chỗ đó

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Fat Boy: 29-05-2016 - 08:03

[Zeref]

Dấu "=" xảy ra khi 2-x/1=2/1-y=x/y. Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau tính ra x=y=0
Nhưng phần x/y =2 thì ko xảy ra vì x=y=0, khó hiểu chỗ đó

Không nên lập dãy tỉ số bạn ạ   mình đã từng lập và thấy sai chỉ nên lập tích số như bạn Hoàng Nguyên nói ấy

[the unknown]

Bài 1:

        a) Tìm các cặp số thực $(a,b)$ để phương trình $x^2+ax+b=0$ có hai nghiệm nguyên và $3a+b=8$. Với các cặp số thực $(a,b)$ tìm được, giải phương trình đã cho.

        b) Giải phương trình: $(6x-3)\sqrt{7-3x}+(15-6x)\sqrt{3x-2}=2\sqrt{-9x^2+27x-14}+11$

Bài 2:

        a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x,y,z)$ để $3^{x}+5^{y}=z^3$.

        b) Chứng minh rằng phương trình: 

                                  $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2017}$

có hữu hạn nghiệm nguyên dương.

        c) Có bao nhiêu số thực $a$ sao cho biểu thức $a+\frac{1} {a}$ là một số nguyên dương không lớn hơn $2017$.

Bài 3: Chứng minh bất đẳng thức với ba số thực dương $a,b,c$ thỏa $a+b+c=3$:

                                   $a^2b+b^2c+c^2a\geq \frac{9a^2b^2c^2}{1+2a^2b^2c^2}$

Bài 4: Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$, $BC$ cố định, $A$ thay đổi trên đường tròn, $BE$ và $CF$ là các đường cao. Các tiếp tuyến với đường tròn $(O)$ tại $B$ và $C$ cắt nhau tại $S$, các đường thẳng $BC$ và $OS$ cắt nhau tại $M$.

         a) Chứng minh: $\frac{AB}{AE}=\frac{BS}{ME}$

         b) Giả sử $AS$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $K$. Chứng minh rằng $MA.MK$ không đổi khi $A$ thay đổi trên đường tròn $(O)$.

Bài 5: Chứng minh rằng với hai số thực không âm $a$ và $b$, ta có bất đẳng thức:

                                        $[2a]+[2b]\geq [a]+[b]+[a+b]$

trong đó $[a]$ là kí hiệu của số nguyên lớn nhất không vượt quá a.

Spoiler

Mình nghĩ nên đổi gió topic một chút đi nhỉ, chúng ta sẽ thảo luận về những bài toán khó hơn nhé  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi the unknown: 29-05-2016 - 10:33

[Zeref]

Bài 1:

        a) Tìm các cặp số thực $(a,b)$ để phương trình $x^2+ax+b=0$ có hai nghiệm nguyên và $3a+b=8$. Với các cặp số thực $(a,b)$ tìm được, giải phương trình đã cho.

        b) Giải phương trình: $(6x-3)\sqrt{7-3x}+(15-6x)\sqrt{3x-2}=2\sqrt{-9x^2+27x-14}+11$

Bài 2:

        a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x,y,z)$ để $3^{x}+5^{y}=z^3$.

        b) Chứng minh rằng phương trình: 

                                  $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2017}$

có hữu hạn nghiệm nguyên dương.

        c) Có bao nhiêu số thực $a$ sao cho biểu thức $a+\frac{1} {a}$ là một số nguyên dương không lớn hơn $2017$.

Bài 3: Chứng minh bất đẳng thức với ba số thực dương $a,b,c$ thỏa $a+b+c=3$:

                                   $a^2b+b^2c+c^2a\geq \frac{9a^2b^2c^2}{1+2a^2b^2c^2}$

Bài 4: Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$, $BC$ cố định, $A$ thay đổi trên đường tròn, $BE$ và $CF$ là các đường cao. Các tiếp tuyến với đường tròn $(O)$ tại $B$ và $C$ cắt nhau tại $S$, các đường thẳng $BC$ và $OS$ cắt nhau tại $M$.

         a) Chứng minh: $\frac{AB}{AE}=\frac{BS}{ME}$

         b) Giả sử $AS$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $K$. Chứng minh rằng $MA.MK$ không đổi khi $A$ thay đổi trên đường tròn $(O)$.

Bài 5: Chứng minh rằng với hai số thực không âm $a$ và $b$, ta có bất đẳng thức:

                                        $[2a]+[2b]\geq [a]+[b]+[a+b]$

trong đó $[a]$ là kí hiệu của số nguyên lớn nhất không vượt quá a.

Spoiler

Mình nghĩ nên đổi gió topic một chút đi nhỉ, chúng ta s  ẽ thảo luận về những bài toán khó hơn nhé  

Câu đầu tiên nhé

$\Delta=a^2-4b=a^2+12a-32=(a+6)^2-68 $

Để pt có nghiệm nguyên thì $\Delta$ phải là số chính phương giải hệ rồi kiểm tra kết quả

Quên mất trước tiên phải nhận xét S=-a ; P=b nên a,b là số nguyên 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zeref: 29-05-2016 - 10:47

[Fat Boy]

Không nên lập dãy tỉ số bạn ạ   mình đã từng lập và thấy sai chỉ nên lập tích số như bạn Hoàng Nguyên nói ấy

vậy là như vầy: 

Hình gửi kèm

• 

[Zeref]

vậy là như vầy: 

Đúng rồi đó bạn 

[Fat Boy]

Câu đầu tiên nhé

$\Delta=a^2-4b=a^2+12a-32=(a+6)^2-68 $

Để pt có nghiệm nguyên thì $\Delta$ phải là số chính phương giải hệ rồi kiểm tra kết quả

Quên mất trước tiên phải nhận xét S=-a ; P=b nên a,b là số nguyên 

hệ như thế nào vậy bác ? Như hệ hôm qua tìm m để m² +m + 23 là số chính phương ấy hả?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Fat Boy: 29-05-2016 - 11:30

[Hannie]

Bài 1:

b) Giải phương trình: $(6x-3)\sqrt{7-3x}+(15-6x)\sqrt{3x-2}=2\sqrt{-9x^2+27x-14}+11$ (1) 

Đkxđ: $\frac{2}{3}\leq x\leq \frac{7}{3}$

$(1)<=> \left [ 2(3x-2)+1 \right ]\sqrt{7-3x}+\left [ 2(7-3x)+1 \right ]\sqrt{3x-2}=2\sqrt{(3x-2)(7-3x)}+11 <=>2(3x-2)\sqrt{7-3x}+2(7-3x)\sqrt{3x-2}-2\sqrt{(7-3x)(3x-2)}+\sqrt{7-3x}+\sqrt{3x-2}-11=0 <=>2\sqrt{(7-3x)(3x-2)}(\sqrt{3x-2}+\sqrt{7-3x}-1)+\sqrt{7-3x}+\sqrt{3x-2}-11=0$ (2)

Đặt $\sqrt{7-3x}+\sqrt{3x-2}=t(t> 0)=>2\sqrt{(7-3x)(3x-2)}=t^{2}-5$

$(2)<=>(t^{2}-5)(t-1)+t-11=0 <=>t^{3}-t^{2}-4t-6=0 <=>t=3(t>0)$

=>$\sqrt{(7-3x)(3x-2)}=2$

Đến đây chỉ cần bình phương 2 vế rồi giải tiếp 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hannie: 29-05-2016 - 14:45

[Zeref]

Bài 1:

        a) Tìm các cặp số thực $(a,b)$ để phương trình $x^2+ax+b=0$ có hai nghiệm nguyên và $3a+b=8$. Với các cặp số thực $(a,b)$ tìm được, giải phương trình đã cho.

        b) Giải phương trình: $(6x-3)\sqrt{7-3x}+(15-6x)\sqrt{3x-2}=2\sqrt{-9x^2+27x-14}+11$

Bài 2:

        a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x,y,z)$ để $3^{x}+5^{y}=z^3$.

        b) Chứng minh rằng phương trình: 

                                  $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2017}$

có hữu hạn nghiệm nguyên dương.

        c) Có bao nhiêu số thực $a$ sao cho biểu thức $a+\frac{1} {a}$ là một số nguyên dương không lớn hơn $2017$.

Bài 3: Chứng minh bất đẳng thức với ba số thực dương $a,b,c$ thỏa $a+b+c=3$:

                                   $a^2b+b^2c+c^2a\geq \frac{9a^2b^2c^2}{1+2a^2b^2c^2}$

Bài 4: Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$, $BC$ cố định, $A$ thay đổi trên đường tròn, $BE$ và $CF$ là các đường cao. Các tiếp tuyến với đường tròn $(O)$ tại $B$ và $C$ cắt nhau tại $S$, các đường thẳng $BC$ và $OS$ cắt nhau tại $M$.

         a) Chứng minh: $\frac{AB}{AE}=\frac{BS}{ME}$

         b) Giả sử $AS$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $K$. Chứng minh rằng $MA.MK$ không đổi khi $A$ thay đổi trên đường tròn $(O)$.

Bài 5: Chứng minh rằng với hai số thực không âm $a$ và $b$, ta có bất đẳng thức:

                                        $[2a]+[2b]\geq [a]+[b]+[a+b]$

trong đó $[a]$ là kí hiệu của số nguyên lớn nhất không vượt quá a.

Spoiler

Mình nghĩ nên đổi gió topic một chút đi nhỉ, chúng ta sẽ thảo luận về những bài toán khó hơn nhé  

Bài 2c thì chắc chỉ có 2 số là 1 và -1 thôi

Bởi vì để biểu thức nguyên dương thì a là ước của 1

[Fat Boy]

 

 

 

a là số thực nên a có thể là phân số, => 1/a là phân số nghịch đảo của a. Có tổng của 2 phân số nghịch đảo nhau là số nguyên ko ?

[Zeref]

 a là số thực nên a có thể là phân số, => 1/a là phân số nghịch đảo của a. Có tổng của 2 phân số nghịch đảo nhau là số nguyên ko ?

 

Xin lỗi mình nhầm

A = $a+\frac{1}{a}$ =$\frac{a^2+1}{a}$

Vì A là số nguyên dương nên a >0 và $a^2+1 = ak$ (với k là số nguyên dương)

Xét pt bậc 2 $a^2-ak+1=0$

$\Delta=k^2-4$

Pt có nghiệm nên $k\geq2$ hoặc $k\leq-2$

$ a1 = \frac{k+ \sqrt{k^2-4}}{2}  $

$ a2 = \frac{k- \sqrt{k^2-4}}{2}  $

Đồng thời 2 nghiệm của pt là số dương nên

S>0 và P>0

=> k>0

Từ đó suy ra $k\geq2$

Sau đó xét từng giá trị a1 ,a2 sao cho không lớn hơn 2017

suy ra được $2\leq k \leq2017$

Như vậy có 2016 giá trị của k và 4032 giá trị của a thoả mãn đề bài

Mình nghĩ mình có sai sót chỗ nào đó rồi các bạn xem mình làm có đúng không

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zeref: 29-05-2016 - 20:48

[Fat Boy]

Xin lỗi mình nhầm

A = $a+\frac{1}{a}$ =$\frac{a^2+1}{a}$

Vì A là số nguyên dương nên a >0 và $a^2+1 = ak$ (với k là số nguyên dương)

Xét pt bậc 2 $a^2-ak+1=0$

$\Delta=k^2-4$

Pt có nghiệm nên $k\geq2$ hoặc $k\leq-2$

$ a1 = \frac{k+ \sqrt{k^2-4}}{2}  $

$ a2 = \frac{k- \sqrt{k^2-4}}{2}  $

Đồng thời 2 nghiệm của pt là số dương nên

S>0 và P>0

=> k>0

Từ đó suy ra $k\geq2$

Sau đó xét từng giá trị a1 ,a2 sao cho không lớn hơn 2017

suy ra được $2\leq k \leq2017$

Như vậy có 2016 giá trị của k và 4032 giá trị của a thoả mãn đề bài

Mình nghĩ mình có sai sót chỗ nào đó rồi các bạn xem mình làm có đúng không

Mình nghĩ chắc là đúng. Có thể trình bày như vầy đc ko nhỉ ?

 $a+\frac{1}{a}$ =$\frac{a^2+1}{a}$ = k ( k $\in$ N*, k $\leq$ 2017 ) 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Fat Boy: 29-05-2016 - 21:37

[the unknown]

Xin lỗi mình nhầm

A = $a+\frac{1}{a}$ =$\frac{a^2+1}{a}$

Vì A là số nguyên dương nên a >0 và $a^2+1 = ak$ (với k là số nguyên dương)

Xét pt bậc 2 $a^2-ak+1=0$

$\Delta=k^2-4$

Pt có nghiệm nên $k\geq2$ hoặc $k\leq-2$

$ a1 = \frac{k+ \sqrt{k^2-4}}{2}  $

$ a2 = \frac{k- \sqrt{k^2-4}}{2}  $

Đồng thời 2 nghiệm của pt là số dương nên

S>0 và P>0

=> k>0

Từ đó suy ra $k\geq2$

Sau đó xét từng giá trị a1 ,a2 sao cho không lớn hơn 2017

suy ra được $2\leq k \leq2017$

Như vậy có 2016 giá trị của k và 4032 giá trị của a thoả mãn đề bài

Mình nghĩ mình có sai sót chỗ nào đó rồi các bạn xem mình làm có đúng không

Một lưu ý cho các bạn là để ý rằng phương trình $a+\frac{1}{a}=2$ chỉ có một nghiệm duy nhất. Do đó số giá trị cần tìm chỉ là $4031$ thôi bạn nhé.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi the unknown: 29-05-2016 - 22:23

[Zeref]

Mình nghĩ chắc là đúng. Có thể trình bày như vầy đc ko nhỉ ?

 $a+\frac{1}{a}$ =$\frac{a^2+1}{a}$ = k ( k $\in$ N*, k $\leq$ 2017 ) 

Làm vậy chắc đúng hình như mình biến vấn đề từ con kiến thành con voi rồi nhỉ? 

[Zeref]

Một lưu ý cho các bạn là để ý rằng phương trình $a+\frac{1}{a}=2$ chỉ có một nghiệm duy nhất.

Cho hỏi ngu tí như thế thì được gì nhỉ?

Mà các bạn xem mình làm đúng không

[dungxibo123]

Xin lỗi mình nhầm

A = $a+\frac{1}{a}$ =$\frac{a^2+1}{a}$

Vì A là số nguyên dương nên a >0 và $a^2+1 = ak$ (với k là số nguyên dương)

Xét pt bậc 2 $a^2-ak+1=0$

$\Delta=k^2-4$

Pt có nghiệm nên $k\geq2$ hoặc $k\leq-2$

$ a1 = \frac{k+ \sqrt{k^2-4}}{2}  $

$ a2 = \frac{k- \sqrt{k^2-4}}{2}  $

Đồng thời 2 nghiệm của pt là số dương nên

S>0 và P>0

=> k>0

Từ đó suy ra $k\geq2$

Sau đó xét từng giá trị a1 ,a2 sao cho không lớn hơn 2017

suy ra được $2\leq k \leq2017$

Như vậy có 2016 giá trị của k và 4032 giá trị của a thoả mãn đề bài

Mình nghĩ mình có sai sót chỗ nào đó rồi các bạn xem mình làm có đúng không

mình hỏi cái này Zeref ơi.
bạn suy ra có 4032 giá trị nhưng đề bài là số Thực mà tức là vô số giá trị chứ
đúng không ?
 

[xuantungjinkaido]

1. Chứng minh rằng (n+1)(n+2)(n+3)...3n chia hết cho $3^{n}$ với mọi n

2. $x^{2017}+y^{2017}=2(xy)^{1008}$ Tìm maxP=xy 

3. a,b,c,d nguyên dương thỏa mãn $2a^{2}+ab+b^{2}=2c^{2}+cd+2d^{2}$ Chứng minh rằng a+b+c+d hợp số

[Zeref]

mình hỏi cái này Zeref ơi.
bạn suy ra có 4032 giá trị nhưng đề bài là số Thực mà tức là vô số giá trị chứ
đúng không ?
 

Mình không nghĩ vậy số giá trị của a phụ thuộc vào k cơ mà

Với lại k là số nguyên nữa cho nên mình nghĩ không thể là vô hạn giá trị được