Bài 2:
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x,y,z)$ để $3^{x}+5^{y}=z^3$.
- Trường hợp 1: $x$ là số chẵn.
Vì $3^x$ và $5^y$ là số lẻ suy ra $z^3$ chẵn suy ra $z$ chẵn. Do đó $8\mid z^3$.
Đặt $x=2k\Rightarrow 3^x=9^k\equiv 1$ (mod 8) $\Rightarrow 5^y\equiv 7$ (mod 8)
+ Nếu y lẻ, đặt $y=2m+1\Rightarrow 5^y=5.25^m\equiv 5$ (mod 8)
+ Nếu y chẵn, đặt $y=2m\Rightarrow 5^y=25^m\equiv 1$ (mod 8)
Do đó $5^y$ không thể chia 8 dư 7. Vậy $x$ chẵn loại.
- Trường hợp 2: $x$ là số lẻ.
+ Nếu $x=3k\Rightarrow k$ lẻ $\Rightarrow 3^x+5^y=27^k+5^y=(28-1)^k+5^y=BS(7)+(-1)^k+5^y=BS(7)+5^y-1$
Ta luôn có $z^3$ chia 7 chỉ có thể có số dư là $0,1,6$ $\Rightarrow 5^y\equiv 0,1,2$ (mod 7)
$z^3$ chia hết cho 8 mà k lẻ suy ra $27^k\equiv 3$ (mod 8) $\Rightarrow 5^y\equiv 5$ (mod 8) $\Rightarrow y$ lẻ.
Vì $y$ lẻ nên $5^y\equiv 3,5,6$ (mod 7). Do đó $x=3k$ loại
*Còn trường hợp $x=3k+1$ và $x=3k+2$ nữa mình chưa làm được, nhờ mọi người góp ý nhé.