Sử dụng AM-GM ta có:
$a^2+4c^2 \geq 4ac=\frac{8}{b}$. Tiếp tục sử dụng AM-GM ta có: $a^2+2b^2+4c^2-6b \geq \frac{8}{b}+b^2+b^2-6b \geq 3\sqrt[3]{\frac{8}{b}.b^2.b^2}-6b=0$.
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow$ $(a,b,c)=(\sqrt{2}, 2, \frac{1}{\sqrt{2}})$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngockhanh99k48: 26-06-2016 - 08:05
Bất đẳng thức chứng minh đúng bởi vì ta có đánh giá sau: $\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{a+1}}\geq \frac{8}{a+3}\Leftrightarrow (a+3)^2\geq 8a+8\Leftrightarrow (a-1)^2\geq 0$ ( luôn đúng ).
Và vì vậy nên: $\sum \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{a+1}}\geq \sum \frac{8}{a+3}$.
Vậy bất đẳng thức chứng minh đúng, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi the unknown: 26-06-2016 - 20:11
Bài 47 (Taiwan TST). Cho ba số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện $(a+b)(b+c)(c+a) > 0.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\[(a+b+c)^{2016}\left(\frac{1}{a^{2016}+b^{2016}}+\frac{1}{b^{2016}+c^{2016}}+\frac{1}{c^{2016}+a^{2016}}\right).\]
Bài 48 (Japan MO Final). Cho bốn số thực $a,b,c,d$ thỏa mãn điều kiện $ab+bc+cd =1.$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P (a^2+ac+c^2)(b^2+bd+d^2).$$
Bài 48 (Japan MO Final). Cho bốn số thực $a,b,c,d$ thỏa mãn điều kiện $ab+bc+cd =1.$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P (a^2+ac+c^2)(b^2+bd+d^2).$$
Bài 48: Ta xét: $S=(a^2+ac+c^2)(b^2+bd+d^2)-(ab+bc+cd)^2=(ad-bc)(ab+ad+cd)=(ad-bc)(1+ad-bc)=(ad-bc+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}\geq -\frac{1}{4}$
Bài 50 (Taiwan TST Round 2). Cho hai số thực dương $x,y$ thỏa mãn điều kiện $x+y=1.$ Chứng minh rằng
\[\frac{x}{x^2+y^3}+\frac{y}{x^3+y^2} \leqslant 2 \left(\frac{x}{x+y^2}+\frac{y}{x^2+y}\right).\]
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 19-07-2016 - 18:14
Bài 50 (Taiwan TST Round 2). Cho hai số thực dương $x,y$ thỏa mãn điều kiện $x+y=1.$ Chứng minh rằng
\[\frac{x}{x^2+y^3}+\frac{y}{x^3+y^2} \leqslant 2 \left(\frac{x}{x+y^2}+\frac{y}{x^2+y}\right).\]
Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có $(x^2+y^3)(1+y)\geq (x+y^2)^2>0$. Suy ra $\frac{x}{x^2+y^3}\leq \frac{x(1+y)}{(x+y^2)^2}$.
Tương tự ta có $\frac{y}{y^2+x^3}\leq \frac{y(1+x)}{(y+x^2)^2}$. Cộng vế theo vế với BĐT trên, ta có:
Bài 51.1. (Tuymaada, Junior). Cho ba số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2 \geqslant 3.$ Chứng minh rằng
\[(a+b+c)^3 \geqslant 9(ab+bc+ca).\] Bài 51.2. (Tuymaada, Seniors). Cho ba số thực $x, y, z\in \left ( \frac{3}{2},+\infty \right ).$ Chứng minh rằng
\[x^{24} + \root 5\of {y^{60}+z^{40}} \geqslant \left(x^4 y^3 + {1\over 3} y^2 z^2 + {1\over 9} x^3 z^3 \right)^2.\]
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 22-07-2016 - 19:31
Bài 54 (Azerbaijan JBMO TST). Với $a,b,c$ là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện $a+b+c=3.$ Chứng minh rằng
\[2(ab+ac+bc)-3abc \geqslant a \sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}}+b \sqrt{\frac{c^2+a^2}{2}}+c \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}.\]
Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport