Sở giáo dục và đào tạo Vĩnh Phúc Kỳ thi chọn HSG lớp 10 THPT Chuyên 2015-2016
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1:(2 điểm) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} \dfrac{7}{x}-\dfrac{27}{y}=2x^2 & \\ \dfrac{9}{y}-\dfrac{21}{x}=2y^2 \end{matrix}\right.$
Câu 2:(1 điểm) Cho hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện
$$f(yf(x+y)+f(x))=4x+2yf(x+y) \forall x,y \in \mathbb{R} (1)$$
a) Chứng minh rằng $f(0)=0$
b) Tìm tất cả các hàm $f(x)$ thỏa mãn $(1)$
Câu 3:(1 điểm). Cho hai số thực dương $a,b$ thỏa mãn $a<b$ và $\dfrac{1+ab}{b-a} \leq \sqrt{3}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$P= \dfrac{(1+a^2)(1+b^2)}{a(a+b)}$$
Câu 4:(3 điểm) Cho tam giác $ABC$ nhọn, $AB<AC$. Đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với ba cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. $K$ là hình chiếu của $D$ trên $EF$, $AI$ cắt $BC$ tại $X$. Vẽ tiếp tuyến $XH$ của đường tròn $(I)$ với $H$ thuộc $(I)$ và $H$ khác $D$.
a) Chứng minh rằng $KD$ và $IH$ cắt nhau tại điểm $Q$ trên đường tròn $I$.
b) Vẽ đường tròn đi qua hai điểm $B$ và $C$, tiếp xúc với $(I)$ tại điểm $P$. Tiếp tuyến tại $(P)$ của $(I)$ cắt đường thẳng $BC$ tại $M$. Chứng minh rằng $MK=MD$
c) Chứng minh rằng ba điểm $P,K,H$ thẳng hàng
Câu 5:(2 điểm)
a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $a$ cho trước luôn tồn tại vô số số nguyên tố lẻ $p$ sao cho $a^p+2016^p$ không chia hết cho $p$
b) Tìm tất cả các số nguyên dương $a$ thỏa mãn điều kiện: Có vô số số nguyên dương lẻ $n$ sao cho $a^n+2016^n$ chia hết cho $n$
Câu 6:(1 điểm) Tìm tất cả các bộ sắp thứ tự $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6)$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
(i) $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=30$
(ii) Có thể viết các số $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6$ lên các cạnh của một lục giác lồi sao cho sau một số hữu hạn các bước chọn một đỉnh nào đó của lục giác (mỗi bước chọn một đỉnh) rồi cộng thêm $1$ vào hai số viết ở cạnh xuất phát từ đỉnh đó thì ta có thể thu được trạng thái tất cả các số trên các cạnh của lục giác bằng nhau
--Hết--
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 30-01-2017 - 17:01