Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $\frac{a}{1+a}+\frac{2b}{1+b}=1$. Tìm max $a^{2}b^{3}$
Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $\frac{a}{1+a}+\frac{2b}{1+b}=1$. Tìm max $a^{2}b^{3}$
#1
Đã gửi 06-04-2016 - 09:50
Mathematics may not teach us how to add love or how to minus hate. But it gives us every reason to hope that every problem has a solution- Sherline Vicky A
#2
Đã gửi 06-04-2016 - 10:39
Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $\frac{a}{1+a}+\frac{2b}{1+b}=1$. Tìm max $a^{2}b^{3}$
Ta có $\frac{a}{1+a}+\frac{2b}{1+b}= 1<=>1-\frac{1}{a+1}+2-\frac{2}{1+b}=1$
=>$\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+b}= 2=>2ab+b=1=>ab= \frac{1-b}{2}$
Áp dụng AM-GM ta có $a^2b^3=\frac{1}{4}(1-b)^2.b=\frac{1}{4}.\frac{1}{2}.2b.(1-b)(1-b)\leq \frac{1}{8}.\frac{(1-b+1-b+2b)^3}{27}=\frac{1}{8}.8.\frac{1}{27}=\frac{1}{27}$
Cực trị xảy ra <=>$\left\{\begin{matrix} x=1 & & \\y=\frac{1}{3} & & \end{matrix}\right.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 06-04-2016 - 11:29
- tpdtthltvp, PlanBbyFESN, Minh Hieu Hoang và 4 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 06-04-2016 - 12:50
Thực ra nó chỉ là bài tập nhỏ của dạng tổng quát này
Cho $x_1,x_2,..,x_n>0$ sao cho $\frac{1}{x_1+1}+\frac{1}{x_2+1}+..+\frac{1}{x_n+1} \ge n-1$
Chứng minh rằng $x_1x_2..x_n \le \frac{1}{(n-1)^n}$
- PlanBbyFESN, CaptainCuong, Hannie và 1 người khác yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh