Chủ đề này có 2 trả lời

[Ego]

$n > 10000$ là một số tự nhiên cho trước. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $m$ thỏa cả hai điều kiện:
i) $m$ viết được dưới dạng tổng hai số chính phương
ii) $0 < m - n < 3\sqrt[4]{n}$

Nguồn: thành viên LichKing - mathscope.

[Visitor]

$n > 10000$ là một số tự nhiên cho trước. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $m$ thỏa cả hai điều kiện:
i) $m$ viết được dưới dạng tổng hai số chính phương
ii) $0 < m - n < 3\sqrt[4]{n}$

Nguồn: thành viên LichKing - mathscope.

chọn $m-n=4k+1$ là $OK$ :v

dựa vào nhận xét $2$ ở đây http://diendantoanho...p-và-2ab-c2-d1/

[bangbang1412]

Sau đây cũng là một lời giải : 

Do $n > 10000=100^{2}$ , chọn $a$ là số tự nhiên mà $a \geq 100$ và $a^{2} < n \leq (a+1)^{2}$

Đặt $n = a^{2}+k$ thế thì $k \leq 2a + 1$ theo kẹp trên . 

Ta sẽ tìm $m$ ở dạng $m = a^{2} + b^{2}$ với $b$ chọn sau 

Thế vào bất đẳng thức ta cần có $k < b^{2} < k + 3.(a^{2}+k)^{\frac{1}{4}}$

Ta xét $b$ mà $k < b^{2} \leq (\sqrt{k}+1)^{2}$ , từ điều kiện $k \leq 2a+1$ cần có $a^{2}-42a+9>0$ luôn đúng do $a \geq 100$

Ở đây số $b$ hoặc là $\sqrt{k}+1$ hoặc là $[k]$ với $[x]$ là số nguyên nhỏ nhất mà $x$ không vượt quá