Chào các bạn ,hôm nay mình sẽ trình bày một số phương pháp,hướng làm cho các bài toán nghiệm nguyên mà ta thường gặp "hàng ngày" và trong các kì thi học sinh giỏi .
Mình xin nhắc lại một số kiến thức và một số phương pháp trong phần này
I) Một số dạng phương trình cơ bản
Định lí 1 : Phương trình $ax^2+bx+c=0$ có các hệ số nguyên và $c \ne 0$ nếu có nghiệm nguyên $x_0$ thì $c \vdots x_0$
Định lí 2 : Phương trình $x^2+bx+c=0$ với các hệ số nguyên có nghiệm nguyên khi và chỉ khi $\Delta=b^2-4c$ là số chính phương.
Định lí 3 : Phương trình với hệ số nguyên $x^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0$ có nghiệm nguyên khi và chỉ khi $\Delta=(cy+d)^2-4(by^2+ey+f)$ là bình phương của một số nguyên .
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HAI ẨN $x,y$ CÓ DẠNG TỔNG QUÁT NHƯ SAU :
$ax^2+by^2+cxy+dx+ey+g=0$ trong đó $a^2+b^2>0$ (*)
Thường thì những dạng bài này ta thường gặp nhiều trong các cuộc thi học sinh giỏi (một ví dụ điển hình là mình mới thi) . Vậy thì muốn giải quyết những bài như thế này thì ta giải quyết như thế nào ? Mình sẽ giới thiệu một số dạng về phương trình này để ta có thể giải quyết nó một cách nhanh chóng.
Dạng 1: Với $a=0$ hoặc $b=0$. Ta giả sử $b=0$ luôn !
Khi đó phương trình (*) có dạng $ax^2+cxy+dx+ey+g=0 \Leftrightarrow y(cx+e)=-(ax^2+dx+g)$
Từ đó ta có hai trường hợp đó là :
$cx+e=-ax^2+dx+g=0$ với $y$ bất kì
$y=\frac{-(ax^2+dx+g)}{cx+e}$ với $cx+e \ne 0$ . Đến đây là một bài toán dễ dàng mà các bạn có thể giải quyết được 
Ví dụ cho dạng 1 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình $4x^2+2xy+4x+y=3=0$
HƯỚNG DẪN : Đưa phương trình về dạng $y(2x+1)=-(4x^2+4x+3)$ . Dễ thấy $2x+1 \ne 0$ do $x$ nguyên.
Suy ra $y=-\frac{4x^2+4x+3}{2x+1}$ . Đến đây dành lại cho các bạn
Đáp số : $(x,y)=(0,-3),(-1,3)$
Dạng 2 : Với $ab>0$ và $c=0$
Ta giả sử $a>0$
Khi đó phương trình (*) có dạng $ax^2+by^2+dx+ey+g=0 \Leftrightarrow a(x^2+\frac{d}{a}x+\frac{d^2}{4a^2})+by^2+ey+g-\frac{d^2}{4a}=0$
$\Leftrightarrow by^2+ey+\frac{4ag-d^2}{4a}=-a(x+\frac{d}{2a})^2$
Vế phải phương trình trên không dương suy ra ta tìm nghiệm tam thức bậc hai ở vế trái rồi tìm nghiệm nguyên $y \in \mathbb{Z}$ của phương trình trên ,sau đó tìm $x$ thôi !
$b>0$ thì tương tự thôi !
Ví dụ cho dạng 2 : Giải phương trình nghiệm nguyên $3x^2+4y^2+6x+3y-4=0$
HƯỚNG DẪN : Phương trình tương đương với $(y-1)(4y+7)=-3(x+1)^2 \le 0$
Suy ra $\frac{-7}{4} \le y \le 1$ suy ra $y \in \{-1,0,1\}$ do $y$ nguyên . Phần còn lại dành cho bạn đọc
Đáp số : $(x,y)=(-1,1)$
Dạng 3 : $4ab>c^2 \ge 0$ , $d=0$ hoặc $4ab>c^2 \ge 0,e=0$
Ta có thể giả sử $d=0$. Phương trình (*) có dạng sau và ta có thể giả sử $a>0$
$ax^2+by^2+cxy+ey+g=0 \Leftrightarrow a(x^2+\frac{c}{a}xy+\frac{(cy)^2}{4a^2})-\frac{(cy)^2}{4a}+by^2+ey+g=0$
$\Leftrightarrow \frac{4ab-c^2}{4a}y^2+ey+g=-a(x+\frac{cy}{2a})^2$
Vế phải phương trình trên không dương nên vế trái của phương trình cũng không dương do đó ta chỉ việc giải bất phương trình trên.
Ví dụ cho dạng 3 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình $x^2+2y^2+2xy+3y-4=0$
Phương trình đã cho tương đương với $(y+4)(y-1)=-(x+y)^2 \le 0$
Suy ra $-4 \le y \le 1$. Đến đây dành cho các bạn
Đáp án : $(4,-4),(1,-3),(5,-3),(-2,0),(2,0),(-1,1)$
Dạng 4 : $4ab>c^2 \ge 0$
Ta viết phương trình thành : $ax^2+(cy+d)x+by^2+ey+g=0$
Coi đây là phương trình bậc $2$ ẩn $x$,với : $\Delta=(cy+d)^2-4a(by^2+ey+g)=(c^2-4ab)y^2+2(cd-2ae)y+d^2-4ag$
Từ đây xét dấu của $\Delta$ . Nếu $\Delta \ge 0$ thì tìm được $y ,x \in \mathbb{Z}$
Ví dụ cho dạng 4 : Giải phương trình nghiệm nguyên $x^22+2y^2-2xy+3x-3y+2=0$
HƯỚNG DẪN : Phương trình viết lại : $x^2+(3-2y)x+2y^2-3y+2=0$
Coi phương trình này một phương trình bậc hai ẩn $x$ với $\Delta=1-4y^2$ . Giải bất phương trình ta được $y=0$
Suy ra $(x,y)=(-1,0),(-2,0)$
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ CHO PHẦN NÀY : Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau :
a) $3y^2-xy-2x+y+1=0$
b) $2x^2+y^2-2xy+y=0$
c) $4x^4+3y^4+3x^2+6y^2-10=0$
d) $x^2+2y^2+2xy+4x+9y+3=0$
e) $x^4y^4-2x^2y^2=x^4+8y^4$
II) Phương trình Pell ,Pythagores
1) Phương trình Pythagores : Phương trình Pythagores là phương trình có dạng $x^2+y^2=z^2$ trong đó $x,y,z$ là các số nguyên
Ta định nghĩa một số khái niệm về phương trình này như sau :
-Nếu $(x,y,z)$ là nghiệm của phương trình $x^2+y^2=z^2$ thì bộ ba số $(x,y,z)$ được gọi là bộ ba Pythagores
-Bộ ba Pythagores được gọi là bộ ba Pythagores nguyên thủy nếu $gcd(x,y,z)=1$ ($gcd$ là ước chung lớn nhất )
Một số bổ đề liên quan đến phương trình Pythagores :
Bổ đề 1 : Nếu $(x,y,z)$ là bộ ba Pythagore nguyên thủy thì $gcd(x,y)=gcd(y,z)=gcd(z,x)=1$
Bổ đề 2 : Nếu $(x,y,z)$ là bộ ba Pythagores nguyên thủy thì $2|(x-y-1)$
Bổ đề 3 : Giả sử $a,b,c$ là ba số nguyên dương và $gcd(a,b)=1$ khi đó nếu ta có đẳng thức $ab=c^n$ thì suy ra tồn tại các số nguyên $x,y$ sao cho $a=x^n,b=y^n$
Định lí : Giả sử $m,n$ là hai số nguyên dương ,khác tính chẵn lẻ ,$m>n$ và $gcd(m,n)=1$, Khi đó các bộ ba số nguyên dương $(x,y,z)$ được xác định bởi hệ thức .
$\begin{cases} &x=2mn&\\&y=m^2-n^2&\\&z=m^2+n^2& \end{cases}$
Hay $\begin{cases} &x=m^2-n^2&\\&y=2mn&\\&z=m^2+n^2& \end{cases}$
2) Phương trình Pell : Ta xét phương trình nghiệm nguyên dạng $x^2-dy^2=1$ (1) (gọi là phương trình Pell loại I)
Dễ thấy phương trình (1) luôn luôn có nghiệm $(-1,0),(1,0) \forall d \in \mathbb{Z}$. Ta gọi các nghiệm này là nghiệm tầm thường
Ta có các bổ đề,định lí sau :
Bổ đề 1 : Nếu phương trình Pell có nghiệm không tầm thường thì nó có vô số nghiệm.
Định lí 1 : Giả sử $(x_1,y_1)$ là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình (1). Khi đó $(x_0,y_0)$ là một nghiệm nguyên dương của phương trình (1) nếu và chỉ nếu tồn tại một số nguyên dương $n$ sao cho $x_0+\sqrt{d}.y_0=(x_1+\sqrt{d}y_1)^n$
Phương trình Pell loại II có dạng $x^2-dy^2=-1$ (2)
Bổ đề 2 : Phương trình Pell (2) không có nghiệm nguyên dương khi $d$ là số chính phương
Bổ đề 3 : Nếu $d$ chứa một ước nguyên tố dạng $4k+3$ thì phương trình (2) vô nghiệm
Hệ quả : Nếu $(x_1,y_1)$ là nghiệm nhỏ nhất của phương trình Pell (2) thì mọi nghiệm nguyên dương của phương trình này đều có dạng
$\begin{cases} &x=ax_1+dby_1&\\&y=bx_1+ay_1& \end{cases}$ ở đây $(a,b)$ là một nghiệm nguyên dương nào đó của phương trình Pell
Đây là những phương trình khó và ít ra thi trong các kì thi cấp tỉnh hay tuyển sinh vào THPT chuyên vì nó khá khó dùng và bắt buộc học sinh chứng minh các bổ đề khá phức tạp .
Mình chỉ đưa ra một số bài tập để các bạn làm quen với nó : Tìm nghiệm nguyên của các phương trình
a) $x^2-2y^2=1$
b) $a^2+(a+1)^2=z^2$
c) $p^2-2q^2=1$ ($p,q$ là các số nguyên tố)
d) $\begin{cases} &2n+1=a^2&\\&3n+1=b^2& \end{cases}$ ($n \in \mathbb{N}$ )
III) Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên
1) Phương pháp phân tích
* Ta đưa phương trình $f(x_1,x_2,..,x_n)=0$ về dạng
$f_1(x_1,x_2,..,x_n).f_2(x_1,x_2,..,x_n),..f_k(x_1,x_2,..,x_n)=a$
Phân tích $a$ thành thừa số nguyên tố ta thu được vô hạn phân tích với $k$ số nguyên $a_1,a_2,..,a_k$. Với mỗi phân tích ta thu được một hê phương trình :
$\begin{cases} &f_1(x_1,x_2,..,x_n)=a_1&\\&f_2(x_1,x_2,..,x_n)=a_2&\\&f_k(x_1,..x_n)=a_k& \end{cases}$
Giải tất cả hệ phương trình ta tìm được nghiệm của phương trình $f(x_1,x_2,..,x_n)=0$
Ví dụ 1: Giải phương trình nghiệm nguyên dương $x^2-y^2=2011$
Hướng dẫn : Ta đưa về phương trình tích $(x-y)(x+y)=2011$ đến đây phân tích $2011$ thành các thừa số nguyên tố và giải ra $x,y$
Đáp số $(x,y)=(1006,1005)$
Ví dụ 2 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
$(x^2+1)(y^2+1)+2(x-y)(1+xy)=4(1+xy)$
Hướng dẫn : Ta đưa về phương trình dạng $(x+1)^2(y-1)^2=4 \Leftrightarrow (x+1)(y-1)= \pm 2$
Đến đây ta áp dụng cách giải như trên
Đáp số $(x,y)=(0,3),(1,2),(-3,0),(-2,-1),(-2,3),(0,-1),(1,0),(-3,1)$
Chú ý rằng ngoài cách giải này ta có thể sử dụng bằng cách đặt tổng tích . Tức là ở đây ta đặt $x-y=a,xy=b$.
Ví dụ 3 : Tìm nghiệm nguyên không âm của phương trình $(xy-7)^2=x^2+y^2$
Cách 1 : $(xy-7)^2=x^2+y^2 \Leftrightarrow (xy-6-x-y)(xy-6+x+y)=-13$
Đến đây bằng cách phân tích $13$ thành các thừa số nguyên tố
Ta thu được $(x,y)=(3,4),(4,3),(0,7),(7,0)$
Cách 2 : Sử dụng tổng tích như mình vừa nói
Ví dụ 4 : (Polish MO ). Giải phương trình nghiệm nguyên sau : $x^2(y-1)+y^2(x-1)=1$
Đặt $x=a+1,y=b+1$. Khi đó phương trình viết lại thành $(a+1)^2b+(b+1)^2a=1 \Leftrightarrow (a+b+4)(ab+1)=5$
Đến đây ta thu được $(x,y)=(1,2),(-5,2),(2,1)=(2,-5)$
Bài tập đề nghị : 1) (Titu Andresscu,Dorin Adrica) Tìm tất cả bộ ba số nguyên dương $(x,y,z)$ sao cho $x^3+y^3+z^3-3xyz=p$ trong đó $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$
2) (Russian MO) Tìm $x,y$ nguyên dương để $x^3-y^3=xy+61$
3) (Romania MO) Tìm $x,y$ nguyên để $x^6+3x^3+1=y^4$
4) (USA MO) Tìm $x,y$ nguyên để $(x^2+y)(y^2+x)=(x-y)^3$
5) (Titu Andresscu) Giải hệ phương trình nghiệm nguyên $(x,y,z,u,v)$
$\begin{cases} &x+y+z+u+v=xyuv+(x+y)(u+v)&\\&xy+z+uv=xy(u+v)+uv(x+y)& \end{cases}$
6) (Titu Andresscu) Giải phương trình $x-y^4=4$ với $x$ là một số nguyên tố
7) Tìm $x,y$ nguyên để $x^2+y^2=(x-y)(xy+2)+9$
8) Tìm nghiệm không ẩm của : $x+y+z+xyz=xy+yz+xz+2$
9) (30/4) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
$x^3+2(3y+z)x^2+(12y^2+8yz-z^2)+8y^3+8y^2z-2z^2y-2z^3-40=0$
10) (Canada 1999) Giải phương trình nghiệm nguyên :
$(x+y)(y+z)(x+z)+2(x+y+z)^3=2-2xyz$
2) Phương pháp sử dụng bất đẳng thức :
Thường thì gặp những bài toán dạng như ba số $x,y,z$ có vai trò bình đẳng ,hoặc $x,y,z$ ta có thể chặn thì ta thường dùng các phương pháp sau đây :
- Sắp xếp thứ tự các ẩn $1 \le x \le y \le z$ rồi giới hạn nghiệm để giải. Ta chỉ sử dụng phương pháp này khi vai trò $x,y,z$ là như nhau (tức là bình đẳng)
- Xét từng khoảng giá trị của ẩn
- Sử dụng các bất đẳng thức cổ điển như BCS,Chebysev,Minkowski,..
- Chỉ ra nghiệm nguyên bằng cách loại trừ
- Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình
- Sử dụng kĩ thuật kẹp : Sử dụng tính chất lũy thừa cùng bậc của số nguyên liên tiếp hoặc tích các số nguyên liên tiếp để đưa phương trình cần giải về dạng phương trình khác ít ẩn và đỡ gặp rối hơn,dễ dàng hơn.
Ví dụ 1 : (Romania MO) Giải phương trình với $x,y,z$ nguyên dương sau $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{3}{5}$
Giả sử $2 \le x \le y \le z$ khi đó $\frac{3}{x} \ge \frac{3}{5} \Rightarrow x \in \{2,3,4,5\}$
Xét $x=2$ thì $\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{10}$ với $y \in \{11,12,..,20\}$
Ta có $z=\frac{100}{y-10}+10$ và $y-10|100$ từ đó ta suy ra các nghiệm $(2,11,110),(2,12,60),(2,14,35),(2,15,30),(2,20,20)$
Tương tự
$x=3$ thì ta có các nghiệm $(3,4,60),(2,4,35),(3,6,10)$
$x=4$ thì ta có $(4,4,10)$
$x=5$ thì có $(5,5,5)$
Ví dụ 2 : (Titu Andresscu) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương $(x,y,z,w)$ để
$x^2+y^2+z^2+2xy+2x(z-11)+2y(z+1)=w^2$.
Nhìn ve bên ngoài nó khá khủng nhưng ta có thể dễ dàng giải quyết nó như sau :
Dễ chứng minh $(x+y+z-1)^2<w^2<(x+y+z+1)^2$ từ đó suy ra $w^2=(x+y+z)^2 \Leftrightarrow x=y$
Vậy phương trình trên có nghiệm $(m,m,n,2m+n)$ trong đó $m,n$ là các số nguyên dương
Ví dụ 3 : (Dorin Andrica) Chứng minh rằng tất cả các phương trình $x^6+ax^4+bx^2+c=y^3$ với $a \in \{3,4,5\},b \in \{4,5,..,12\},c \in \{1,2,..,8\}$ đều không có nghiệm nguyên
Ta nghĩ đến chặn ngay : Ta có $(x^2+1)^3<y^3<(x^2+2)^3$ suy ra điều phải chứng minh .
Ví dụ 4 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $x^6+z^3-15x^2z=3(xyz)^2-(y^2+5)^3$
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM
$(x^2)^3+(y^2+5)^3+z^3 \ge 3x^2z(y^2+5)$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x^2=y^2+5=z$
Từ đó giải phương trình $x^2-y^2=5$ . Đến đây cho ta nghiệm duy nhất của phương trình là $(3,2,9)$
Ví dụ 5 : Giải phương trình nghiệm nguyên $x^4+x^2+4=y^2-y$ .
Ta có đánh giá $x^2(x^2+1)<y(y-1)<(x^2+2)(x^2+3)$
Vì $x,y,z$ là số nguyên suy ra $y(y-1)=(x^2+1)(x^2+2)=x^4+x^2+4$
Đến đây ta giải ra được $x,y$ .
Đáp số $(x,y)=(1,-2),(1,3),(-1,-2),(-1,3)$
Bài tập đề nghị : 1) Giải phương trình nghiệm nguyên $x^4-y^4+z^4+2(xz)^2+3x^2+4z^2+1=0$
2) (Baltic Way 1995) Tìm bộ $(x,y,z)$ thỏa hệ
$\begin{cases} &x^2=2(y+z)&\\&x^6=y^6+z^6+31(y^2+z^2)& \end{cases}$
3) Tìm nghiệm tự nhiên của $y^2(x-1)=x^5-1$
4) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $\frac{x}{(yz)^2}+\frac{y}{(xz)^2}+\frac{z}{(xy)^2}=t$
5) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $x^6y+y^6x+5x+5y-12xy=0$
6) Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương $(a,b,c)$ sao cho $(\frac{1}{a}+1)(\frac{1}{b}+1)(\frac{1}{c}+1)=2$
7) Tìm $x,y$ nguyên dương để $x^{2011}+y^{2011}=2013^{2011}$
8) (VMO 1985) . Tìm $x,y$ nguyên để $x^3-y^3=2xy+8$
9) Tìm nghiệm nguyên nguyên dương $(x,y,z)$ của hệ
$\begin{cases} &x^3+y^3+3xyz=z^3&\\&x^3-2x^2+(1-y)x+z-1=0& \end{cases}$
10) Giải phương trình nghiệm nguyên $(x+1)^2+(x+2)^2+..+(x+2001)^2=y^2$
Bài viết sẽ tạm dừng ngang đây (mình ngồi 2 tiếng rồi 
) ngày mai hoặc ngày nào đó rảnh mình sẽ viết tiếp với những phương pháp "mạnh" để chinh phục những bài toán khó trong các đề thi Olympic,học sinh giỏi.
Nếu có gì sai sót mong các bạn chỉ ra và mình sẽ khắc phục
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 10-04-2016 - 19:35
