Chủ đề này có 3 trả lời

[Phanbalong]

Cho $a,b,c$ không âm và thỏa mãn $(a+b)c>0$ 
Tìm min 
 $\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\frac{c}{2(a+b)}$

[hieuhanghai]

Cho $a,b,c$ không âm và thỏa mãn $(a+b)c>0$ 
Tìm min 
 $\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\frac{c}{2(a+b)}$

= $\frac{a}{\sqrt{a(b+c)}} + \frac{c}{2(a+b)} + \sqrt{\frac{b}{a+c}}$

Áp dụng bđt Cauchy: 

$\sqrt{a(b+c)}\leq \frac{a+b+c}{2}$

=> $\frac{a}{\sqrt{a(b+c)}}\geq \frac{2a}{a+b+c}$

=>$\sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq \frac{2a}{a+b+c}$

Tương tự ta có : $\sqrt{\frac{b}{a+c}}\geq \frac{2b}{a+b+c}$

=>$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}\geq \frac{2(a+b)}{a+b+c}$.

Mà $\frac{c}{2(a+b)}+\frac{1}{2}= \frac{(a+b+c)}{2(a+b)}$

Cauchy 2 số :$\frac{2(a+b)}{a+b+c} và \frac{a+b+c}{2(a+b)}$ là xong. 

Hình như dấu "=" xảy ra khi a=0;b=1; c=1. 

[Phanbalong]

= $\frac{a}{\sqrt{a(b+c)}} + \frac{c}{2(a+b)} + \sqrt{\frac{b}{a+c}}$

Áp dụng bđt Cauchy: 

$\sqrt{a(b+c)}\leq \frac{a+b+c}{2}$

=> $\frac{a}{\sqrt{a(b+c)}}\geq \frac{2a}{a+b+c}$

=>$\sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq \frac{2a}{a+b+c}$

Tương tự ta có : $\sqrt{\frac{b}{a+c}}\geq \frac{2b}{a+b+c}$

=>$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}\geq \frac{2(a+b)}{a+b+c}$.

Mà $\frac{c}{2(a+b)}+\frac{1}{2}= \frac{(a+b+c)}{2(a+b)}$

Cauchy 2 số :$\frac{2(a+b)}{a+b+c} và \frac{a+b+c}{2(a+b)}$ là xong. 

Hình như dấu "=" xảy ra khi a=0;b=1; c=1.

nếu dấu bằng tại a=0 thì  việc xét nhân thêm căn a vào biểu thức đầu là sai thì phải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phanbalong: 11-04-2016 - 18:53

[Phanbalong]

theo tớ 
Cần chứng minh: 
$\sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq \frac{2a}{a+b+c}$
$\Rightarrow \frac{a}{b+c}\geq \frac{4a^2}{(a+b+c)^2}$
$\Leftrightarrow a(a+b+c)^2\geq 4a^2(b+c)$
Mà : $a\left ( a+(b+c) \right )^2\geq a.4a(b+c)=4a^2(b+c)$
Vây suy ra điều phải chứng minh 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phanbalong: 11-04-2016 - 19:01