Chủ đề này có 1 trả lời

[duyanh782014]

Cho x,y,z thỏa mãn xy+yz+xz=1.CMR $\sum \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\leq \frac{3}{2}$

[hieuhanghai]

Ta có : $\sqrt{x^{2}+1}=\sqrt{x^{2}+xy+yz+xz}=\sqrt{(x+y)(x+z)}$

=>$\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}=\sqrt{\frac{x^{2}}{(x+y)(x+z)}}$

$\sqrt{\frac{x^{2}}{(x+y)(y+z)}}=\sqrt{\frac{x}{x+y}}.\sqrt{\frac{x}{x+z}}$$\leq \frac{x}{2(x+y)}+ \frac{x}{2(x+z)}$

Tương tự : $\frac{y}{\sqrt{y^{2}+1}}\leq$$\frac{y}{2(y+x)}+\frac{y}{2(y+z)}$

$\sqrt{\frac{z}{z^{2}+1}}\leq \frac{z}{2(x+z)}+ \frac{z}{2(z+y)}$

Cộng lại ta được điều phải chứng minh