APMO 2016
Bài 1. Chúng ta gọi tam giác $ABC$ là tuyệt nếu nó thỏa điều kiện sau đây: với mọi điểm $D$ trên cạnh $BC$, nếu $P, Q$ lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ $D$ lên các đường $AB, AC$ thì đối xứng của $D$ qua đường thẳng $PQ$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABC$.
Chứng minh rằng $\triangle ABC$ là tuyệt nếu và chỉ nếu $\angle A = 90^{\circ}$ và $AB = AC$
Bài 2. Một số nguyên dương được gọi là đặc biệt nếu nó có thể biểu diễn được dưới dạng $$2^{a_{1}} + 2^{a_{2}} + \cdots + 2^{a_{100}},$$ với $a_{i}$ là các số nguyên không âm (không nhất thiết phân biệt). Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho mọi bội số của $n$ đều không đặc biệt.
Bài 3. Cho $AB$ và $AC$ là hai tia không cùng nằm trên cùng một đường thẳng và $\omega$ là một đường tròn tâm $O$ tiếp xúc với tia $AC$ tại $E$ và tia $AB$ tại $F$. Gọi $R$ là một điểm nằm trên cạnh $EF$. Một đường thẳng qua $O$ song song với $EF$ cắt đường thẳng $AB$ tại $P$. Gọi $N$ là giao điểm của đường $PR$ và $AC$, và $M$ là giao điểm của đường $AB$ và đường thẳng qua $R$ song song với $AC$. Chứng minh rằng $MN$ tiếp xúc với $\omega$.
Bài 4. Đất nước Dreamland gồm $2016$ thành phố. Hãng hàng không Stairways muốn thiết lập một số chuyến bay một chiều giữa các cặp thành phố với nhau sao cho mỗi thành phố chỉ có đúng một chuyến bay ra khỏi nó. Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất sao cho không quan trọng việc Stairways thiết lập các chuyến bay như thế nào, nhưng các thành phố luôn có thể phân thành $k$ nhóm sao cho từ mỗi thành phố bất kỳ thì ta không thể đến thành phố khác trong cùng một nhóm mà chỉ sử dụng tối đa $28$ chuyến bay.
Bài 5. Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+}$ sao cho $$(z + 1)f(x + y) = f(xf(z) + y) + f(yf(z) + x),$$ với mọi số thực dương $x, y, z$.