8 replies to this topic

[dinhkhanhly]

Cho $a,b,c\geq 0$ (a, b, c không đồng thời bằng 0). Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$Q=\sqrt[4]{\frac{a}{b+c}}+\sqrt[4]{\frac{b}{c+a}}+\sqrt[4]{\frac{c}{a+b}}$

[dogsteven]

Đặt $x=\sqrt[4]{\dfrac{a}{b+c}}, y=\sqrt[4]{\dfrac{b}{c+a}}, z=\sqrt[4]{\dfrac{c}{a+b}}$

Khi đó $x^4y^4+y^4z^4+z^4x^4+2x^4y^4z^4=1$. Do đó $x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2x^2y^2z^2\geqslant 1$

Từ đây suy ra $\dfrac{2x^2}{x^2+1}+\dfrac{2y^2}{y^2+1}+\dfrac{2z^2}{z^2+1}\geqslant 2$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: $\sum x\geqslant \sum \dfrac{2x^2}{x^2+1}\geqslant 2$

Do đó $Q\geqslant 2$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=0, b=c$ và các hoán vị.

[anhquannbk]

Cho $a,b,c\geq 0$ (a, b, c không đồng thời bằng 0). Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$Q=\sqrt[4]{\frac{a}{b+c}}+\sqrt[4]{\frac{b}{c+a}}+\sqrt[4]{\frac{c}{a+b}}$

Một bài toán tổng quát:

Cho $a, b, c \ge 0$ và không đồng thời bằng $0$ và $k$ là số thực dương

Khi đó ta có BĐT

$(\dfrac{a}{b+c})^{k}+(\dfrac{b}{a+c})^{k}+(\dfrac{c}{a+b})^{k}\ge$ $min$$(2;\dfrac{3}{2^{k}})$

[dinhkhanhly]

bạn giải được không?

[hoduchieu01]

Một bài toán tổng quát:

Cho $a, b, c \ge 0$ và không đồng thời bằng $0$ và $k$ là số thực dương

Khi đó ta có BĐT

$(\dfrac{a}{b+c})^{k}+(\dfrac{b}{a+c})^{k}+(\dfrac{c}{a+b})^{k}\ge$ $min$$(2;\dfrac{3}{2^{k}})$

chứng minh bài toán tổng quát đi bạn

[dinhkhanhly]

Đặt $x=\sqrt[4]{\dfrac{a}{b+c}}, y=\sqrt[4]{\dfrac{b}{c+a}}, z=\sqrt[4]{\dfrac{c}{a+b}}$

Khi đó $x^4y^4+y^4z^4+z^4x^4+2x^4y^4z^4=1$. Do đó $x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2x^2y^2z^2\geqslant 1$

Từ đây suy ra $\dfrac{2x^2}{x^2+1}+\dfrac{2y^2}{y^2+1}+\dfrac{2z^2}{z^2+1}\geqslant 2$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: $\sum x\geqslant \sum \dfrac{2x^2}{x^2+1}\geqslant 2$

Do đó $Q\geqslant 2$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=0, b=c$ và các hoán vị.

Bạn làm hơi tắt, mình chưa hiểu lắm

[lily evans]

Một bài toán tổng quát:

Cho $a, b, c \ge 0$ và không đồng thời bằng $0$ và $k$ là số thực dương

Khi đó ta có BĐT

$(\dfrac{a}{b+c})^{k}+(\dfrac{b}{a+c})^{k}+(\dfrac{c}{a+b})^{k}\ge$ $min$$(2;\dfrac{3}{2^{k}})$

chứng minh như thế nào?

[lily evans]

 

Từ đây suy ra $\dfrac{2x^2}{x^2+1}+\dfrac{2y^2}{y^2+1}+\dfrac{2z^2}{z^2+1}\geqslant 2$

 

 

 

mình không hiểu

[anhquannbk]

chứng minh như thế nào?

bạn xem trong tài liệu Phương pháp dồn biến trong chứng minh bất đẳng thức của Phan Thành Nam sẽ có

chứng minh khá khó