Cho $a,b,c\geq 0$ (a, b, c không đồng thời bằng 0). Tìm giá trị nhỏ nhất của:
$Q=\sqrt[4]{\frac{a}{b+c}}+\sqrt[4]{\frac{b}{c+a}}+\sqrt[4]{\frac{c}{a+b}}$
Cho $a,b,c\geq 0$ (a, b, c không đồng thời bằng 0). Tìm giá trị nhỏ nhất của:
$Q=\sqrt[4]{\frac{a}{b+c}}+\sqrt[4]{\frac{b}{c+a}}+\sqrt[4]{\frac{c}{a+b}}$
Đặt $x=\sqrt[4]{\dfrac{a}{b+c}}, y=\sqrt[4]{\dfrac{b}{c+a}}, z=\sqrt[4]{\dfrac{c}{a+b}}$
Khi đó $x^4y^4+y^4z^4+z^4x^4+2x^4y^4z^4=1$. Do đó $x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2x^2y^2z^2\geqslant 1$
Từ đây suy ra $\dfrac{2x^2}{x^2+1}+\dfrac{2y^2}{y^2+1}+\dfrac{2z^2}{z^2+1}\geqslant 2$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: $\sum x\geqslant \sum \dfrac{2x^2}{x^2+1}\geqslant 2$
Do đó $Q\geqslant 2$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=0, b=c$ và các hoán vị.
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
Cho $a,b,c\geq 0$ (a, b, c không đồng thời bằng 0). Tìm giá trị nhỏ nhất của:
$Q=\sqrt[4]{\frac{a}{b+c}}+\sqrt[4]{\frac{b}{c+a}}+\sqrt[4]{\frac{c}{a+b}}$
Một bài toán tổng quát:
Cho $a, b, c \ge 0$ và không đồng thời bằng $0$ và $k$ là số thực dương
Khi đó ta có BĐT
$(\dfrac{a}{b+c})^{k}+(\dfrac{b}{a+c})^{k}+(\dfrac{c}{a+b})^{k}\ge$ $min$$(2;\dfrac{3}{2^{k}})$
Một bài toán tổng quát:
Cho $a, b, c \ge 0$ và không đồng thời bằng $0$ và $k$ là số thực dương
Khi đó ta có BĐT
$(\dfrac{a}{b+c})^{k}+(\dfrac{b}{a+c})^{k}+(\dfrac{c}{a+b})^{k}\ge$ $min$$(2;\dfrac{3}{2^{k}})$
chứng minh bài toán tổng quát đi bạn
Đặt $x=\sqrt[4]{\dfrac{a}{b+c}}, y=\sqrt[4]{\dfrac{b}{c+a}}, z=\sqrt[4]{\dfrac{c}{a+b}}$
Khi đó $x^4y^4+y^4z^4+z^4x^4+2x^4y^4z^4=1$. Do đó $x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2x^2y^2z^2\geqslant 1$
Từ đây suy ra $\dfrac{2x^2}{x^2+1}+\dfrac{2y^2}{y^2+1}+\dfrac{2z^2}{z^2+1}\geqslant 2$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: $\sum x\geqslant \sum \dfrac{2x^2}{x^2+1}\geqslant 2$
Do đó $Q\geqslant 2$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=0, b=c$ và các hoán vị.
Bạn làm hơi tắt, mình chưa hiểu lắm
Một bài toán tổng quát:
Cho $a, b, c \ge 0$ và không đồng thời bằng $0$ và $k$ là số thực dương
Khi đó ta có BĐT
$(\dfrac{a}{b+c})^{k}+(\dfrac{b}{a+c})^{k}+(\dfrac{c}{a+b})^{k}\ge$ $min$$(2;\dfrac{3}{2^{k}})$
chứng minh như thế nào?
NHỚ LIKE NHÁ!!!!!!
Từ đây suy ra $\dfrac{2x^2}{x^2+1}+\dfrac{2y^2}{y^2+1}+\dfrac{2z^2}{z^2+1}\geqslant 2$
mình không hiểu
NHỚ LIKE NHÁ!!!!!!
chứng minh như thế nào?
bạn xem trong tài liệu Phương pháp dồn biến trong chứng minh bất đẳng thức của Phan Thành Nam sẽ có
chứng minh khá khó
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh