Câu 1 : Chia tập hợp những số tự nhiên $\{1,2,...,2n\}$ thành hai tập con rời nhau $A$ và $B$,mỗi tập có $n$ phần tử.
Kí hiệu các phần tử của hai tập theo thứ tự tăng :
$A=\{a_1<a_2<...<a_{n-1}<a_n\}$ và $B=\{b_n<b_{n-1}<...<b_2<b_1\}$
Hãy chứng minh rằng $|a_1-b_1|+|a_2-b_2|+..+|a-n-b_n|=n^2$
Câu 2 : Cho một bảng kích thước $2n x 2n$ ô vuông. Người ta đánh dấu vào $3n$ ô vuông bất kì của bảng. Chứng minh có thể chọn ra $n$ hàng vaf $n$ cột của bảng sao cho các ô được đánh dấu đều nằm trên $n$ hàng hoặc $n$ cột này
Câu 3 : Cho hình thang vuông $ABCD$ có $AB$ là cạnh đáy nhỏ ,$CD$ là cạnh đáy lớn. $M$ là giao của $AC$ và $BD$. Biết rằng hình thang $ABCD$ ngoại tiếp đường tròn bán kính $R$. Tính $S_{ADM}$
Câu 4 : Một hộp đựng $52$ viên bi ,trong đó có $13$ viên xanh,$13$ đỏ,$13$ vàng,$13$ trắng. Cần phải lấy ra ít nhất bao nhiêu viên bi (mà không nhìn trước) để chắc chắn trong số đó có không ít hơn $7$ viên bi cùng màu. Hãy phát biểu và chứng minh bài toán tổng quát hơn
Câu 5 : Một dãy các con số $0$ và $1$ có độ dài $32$ được gọi là một xâu. Ta kí hiệu các xâu $A,B,C$ như sau :
$A=(a_1,a_2,..,a_{32})$
$B=(b_1,b_2,..,b_{32})$
$C=(c_1,c_2,..,c_{32})$
Với $a_i,b_i,c_i=0$ hay $1$ và $i=1,2,..,32$
Giá trị của một xâu là số các con số $1$ có trong xâu ấy.
Một máy tính có thể xử lí các xâu bằng hai phép biển đổi sau :
- Phép dịch chuyển các phân tử của $A$ đi $k$ vị trí , $1 \le k \le 32$ theo quy tắc :
$(a_1,a_2,..,a_{32}) \Rightarrow (a_k,a_{k+1},...,a_{31},a_{32},a_1,a_2...,a_{k-1})$
- Phép so sánh hai xâu $A$ và $B$ để được một xâu mới $C$ theo qui tắc
$A & B$ $\Rightarrow C$ với :
$C_i=1$ nếu $(a_i=b_i=0)$ hay $(a_i=b_i=1)$
$C_i=0$ nếu $(a_i=1,b_i=0)$ hay $(a_i=0,b_i=1)$
Cho xâu $A$ có giá trị là $16$ và $B$ là một xâu tùy ý bất kì. Chứng minh rằng ,bằng cách dịch chuyển $A$ đi $k$ vị trí (thích hợp) và so sánh kết quả với $B$ ,ta sẽ được xâu $C$ có giá trị không nhỏ hơn $16$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 17-04-2016 - 21:00