No replies to this topic

[ngochapid]

BÀI TOÁN:  Cho các số thực dương $x,y,z$ có tích bằng $1$ 

CMR nếu: 

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq x+y+z$

thì với mọi $k$ nguyên dương ta có:

$\frac{1}{x^n}+\frac{1}{y^n}+\frac{1}{z^n}\geq x^n+y^n+z^n$

 

Mình giải thế này, sai ở đâu mong mọi người chỉ giúp: 

Spoiler

Sử dụng phương pháp quy nạp. Giả sử KL đúng với $k=n$ tức là cần cm $\frac{1}{x^{n+1}}+\frac{1}{y^{n+1}}+\frac{1}{z^{n+1}}\geq x^{n+1}+y^{n+1}+z^{n+1}$

Áp dụng $Schwarz$: $\frac{1}{x^n}+\frac{1}{y^n}+\frac{1}{z^n}\geq \frac{9}{x^n+y^n+z^n}$=> $x^n+y^n+z^n \leq 3$ . Mà vì $xyz=1$ nên $x=\frac{1}{yz}$. Áp dụng AM-GM ta có $x^n+y^n+z^n\geq 3$ => $x^n+y^n+z^n=3$ $(?????)$ 

Edited by Ngoc Hung, 18-04-2016 - 17:13.