Chủ đề này có 9 trả lời

[Zaraki]

Thầy Hùng đã đưa lời giải bài Tuần 4 tháng 2 năm 2016 tại Tuần 1 tháng 3 và kèm theo đó là bài toán mới. Xin trích dẫn lại bài toán mới:

 

Bài 28. Cho tam giác $ABC$ với trung tuyến $AM$ với $P$ thay đổi sao cho $AP \perp BC$. $K$ là hình chiếu của $P$ trên $AM$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AKB,AKC$ cắt $CA,AB$ tại $E,F$ khác $A$. $EF$ cắt $BC$ tại $D$. Chứng minh rằng đường thẳng qua $P$ vuông góc với $AD$ luôn đi qua một điểm cố định khi $P$ thay đổi.

 

 

 

[baopbc]

Để giải quyết bài toán ta sử dụng bổ đề quen thuộc sau:

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$. Giả sử $AD$ cắt $BC$ tại $E$, $AC$ cắt $BD$ tại $F$. Kẻ $CL$ vuông góc với $OF$ ($L$ thuộc $BD$). Kẻ $LT//AD$ ($T$ thuộc $BC$). $M$ là trung điểm $CD$. Khi đó: $T,F,M$ thẳng hàng

Bổ đề chứng minh rất đơn giản thông qua việc sử dụng định lí $Brocard$ kết hợp với định lí $Menelaus$

Trở lại bài toán: 

 - Ta chứng minh: $O,K,D,M$ đồng viên

$BK,CK$ lần lượt cắt $(O)$ tại $R,S$. Do $ABKE, AKCF$ là các tứ giác nội tiếp nên $KF//BS, KE//RC$.

$BS,CR$ cắt $AK$ lần lượt tại $X,Y$. Theo định lí $Thales$ ta được: $\frac{FA}{FB}=\frac{KA}{KX};\frac{EA}{EC}=\frac{AK}{KY}$.

Áp dụng định lí $Menelaus$ cho tam giác $ABC$ với cát tuyến $D,E,F$: $\frac{FA}{FB}.\frac{EC}{EA}.\frac{DB}{DC}=1$

$\Rightarrow \frac{KX}{KY}=\frac{DB}{DC}$. Kẻ $CL//KD$, theo định lí $Thales$ thì: $\frac{LK}{LB}=\frac{DC}{DB}=\frac{KY}{KX}$

$\Rightarrow YL//BX$. Áp dụng bổ đề ta được: $CL$ vuông góc với $OK$ hay $\angle OKD=90^{\circ}$

$\Rightarrow OKDM$ là tứ giác nội tiếp hay $O,K,D,M$ đồng viên.

 - Do $OKMD$ là tứ giác nội tiếp nên $\angle KAP=\angle OMA=\angle ODK$

$\Rightarrow \triangle OKD \sim \triangle PKA(g.g)$

$\Rightarrow \triangle OKP \sim \triangle DKA(c.g.c)$

$\Rightarrow \angle POK=\angle ADK\Rightarrow PO$ vuông góc với $AD$

Vậy đường thẳng qua P vuông góc với $AD$ luôn đi qua $O$ cố định với $O$ là tâm ngoại tiếp tam giác $ABC$ cố định.

Bài toán được chứng minh.

Hình gửi kèm

• 
• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 29-02-2016 - 19:19

[quanghung86]

Cách của Bảo giải hay, khác đáp án, phần sau chỉ dùng kiến thức cấp 2, nếu bổ đề có cách cm không Brocard thì bài này có thể dùng kiến thức cấp 2, hãy đón đọc đáp án tuần sau nhé !

[baopbc]

Em chưa giải thử bằng cách cấp 2 nhưng bổ đề có thể mở rộng ra như sau:

Nhận xét: Từ $F$ kẻ đường thẳng vuông góc với $OF$ cắt $AD,BC$ tại $X,Y$. Áp dụng định lí Con Bướm ta được: $FX=FY$.

$S$ là giao của $CL$ với $AD$. Do $XY//CL$ nên $EF$ chia đôi $CS$. Gọi $K$ là giao của $EF$ với $CL$ thì: $K$ thuộc đường trung bình ứng với đỉnh $C$ của tam giác $ACD$.

Bổ đề mở rộng: Cho tứ giác lồi $ABCD$. Giả sử $AD$ cắt $BC$ tại $E$, $AC$ cắt $BD$ tại $F$. $EF$ cắt đường trung bình ứng với đỉnh $C$ của tam giác $ACD$ tại $K$. $CK$ cắt $BD$ tại $L$. Kẻ $LT//AD$ cắt $BC$ tại $T$. Khi đó: $TF$ chia đôi $DC$

 

Hình gửi kèm

• 

[baopbc]

Mở rộng hơn nữa có thể thay thế đường trung bình: Chú ý rằng điểm $A$ ở đây không quan trọng nên ta sẽ viết gọn lại dưới dạng một bài toán khác như sau: Cho $\triangle ABC$. Một đường thẳng bất kì song song với $AB$ cắt $AC,BC$ lần lượt tại $N,M$. $K$ bất kì thuộc $MN$. $D$ bất kì thuộc $AC$. $CK$ cắt $BD$ tại $L$. Từ $L$ kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt $AC$ tại $T$. Gọi $E$ là giao của $AK$ với $BD$. Khi đó: $T,E,M$ thẳng hàng.

 

Hình gửi kèm

• 

[quanghung86]

Tổng quát hơn bổ đề của Bảo như sau

 

Bài toán. Cho tam giác $ABC$ với $D$ thuộc $AC$.  Lấy $M$ thuộc $BC$, $L$ thuộc $BD$ và $N,T$ thuộc $AC$ sao cho $AB,MN,LT$ đồng quy tại $S$. $LC$ cắt $MN$ tại $K$. Chứng minh rằng $AK,TM$ và $LD$ đồng quy.

 

Giải. Áp dụng định lý Pappus cho hai bộ ba thẳng hàng là $A,T,C$ và $M,K,S$ suy ra giao điểm của $(AK,MT);(TS,KC);(AS,CM)$ thẳng hàng hay  $AK,TM$ và $LD$ đồng quy.

 

Khi $S$ ra vô cực thì có các đường song song.

Hình gửi kèm

• 

[baopbc]

Bổ đề có thể giải quyết bằng kiến thức THCS, mọi người có thể xem lời giải của huynguyen tại đây:

http://www.artofprob...6_nice_geometry

[quanghung86]

Tổng quát bài tuần này.

 

Cho tam giác $ABC$ với $D$ là một điểm cố định trên cạnh $BC$. $P$ thay đổi sao cho $AP\perp BC$. $Q$ là hình chiếu của $P$ lên $AD$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABQ,ACQ$ cắt $CA,AB$ tại $E,F$ khác $A$. $EF$ cắt $BC$ tại $G$. Chứng minh rằng đường thẳng qua $P$ vuông góc với $AG$ luôn đi qua điểm cố định khi $P$ thay đổi.

 

Đây gần như là bài toán điểm cố định khó nhất mà mình tạo ra và có lời giải tường minh, lời giải sẽ có trong mục tuần tới.

[dogsteven]

Tổng quát bài tuần này.

 

Cho tam giác $ABC$ với $D$ là một điểm cố định trên cạnh $BC$. $P$ thay đổi sao cho $AP\perp BC$. $Q$ là hình chiếu của $P$ lên $AD$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABQ,ACQ$ cắt $CA,AB$ tại $E,F$ khác $A$. $EF$ cắt $BC$ tại $G$. Chứng minh rằng đường thẳng qua $P$ vuông góc với $AG$ luôn đi qua điểm cố định khi $P$ thay đổi.

 

Đây gần như là bài toán điểm cố định khó nhất mà mình tạo ra và có lời giải tường minh, lời giải sẽ có trong mục tuần tới.

 

Em cũng đã thử tổng quát bài của thầy và cũng ra kết quả thế này, nhưng dự đoán điểm cố định khó quá.

[quanghung86]

Gợi ý điểm cố định như sau. Trên $CA,AB$ lấy $M,N$ sao cho $DM\parallel AB,DN\parallel AC$. Lấy $R$ sao cho $RM\perp AC,RN\perp AB$ thì $R$ là điểm cố định phải tìm.