Đến nội dung

Hình ảnh

Tuần 4 tháng 2/2016


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 25 trả lời

#1
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Thầy Hùng có đưa lời giải của thầy cho bài Tuần 3 tháng 2 năm 2016 tại Tuần 4 tháng 2 và kèm theo đó là bài toán mới. Xin trích dẫn lại bài toán mới:

 

Bài 27. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và tâm nội tiếp $I$. $P,Q$ thuộc $(O)$ sao cho $BP \perp BI$ và $CQ \perp CI$. $M,N$ đối xứng với $A$ qua $IB,IC$. Gọi $K,L$ là tâm ngoại tiếp của tam giác $BPN$ và $CQM$. Gọi $BL$ cắt $CK$ tại $R$. Chứng minh rằng $AR \parallel OI$.

 

Screen Shot 2016-02-21 at 11.53.26 PM.png

 


Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#2
baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 410 Bài viết

Bài này khó quá! Mình chưa giải được gì nhưng vẽ hình ra cũng thấy có một số tính chất thú vị, mong anh em cùng thảo luận tiếp để đưa ra lời giải:

Tính chất 1: $AK=AL$

Tính chất 2: $PLQK$ là hình bình hành

Tính chất 3: $NP,MQ$ cắt nhau tại $T$ thuộc $(O)$

Tính chất 4: $AI$ vuông góc với $KL$.

Mấy tính chất này mình chưa chứng minh được, tuy nhiên ở tính chất 4 thì mình nghĩ mục này của thầy Hùng có thể là gợi ý:https://www.dropbox....erakynay939.pdf


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 21-02-2016 - 23:01


#3
Nguyen Dinh Hoang

Nguyen Dinh Hoang

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết
giai 2 tieng chua ra may tinh chat đó có rồi mình nghĩ có thể có 1 bổ đề liên quan đến phép vị tự tâm I

#4
Nguyen Dinh Hoang

Nguyen Dinh Hoang

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết
goi Ia là tâm bàng tiếp của tg ABC AIa cắt BC tai T sử dụng tính chất phuong tích ta có AIa là tdp của 2 dt đó thì các tính châtf đó dc cm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Dinh Hoang: 21-02-2016 - 23:11


#5
baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 410 Bài viết

Không dễ vậy đâu! Thực ra tính chất 3 là tính chất gọn nhất mình thu được. Từ đó chứng minh được một ý nhỏ của tính chất 2!

Chứng minh tính chất 1 lại càng khó, hơn nữa nó chỉ là một phần của tính chất 4.

Bạn nói ba đường đó đồng quy nhưng chưa chắc $AI_{a}$ vuông góc với $KL$ nên không kết luận được!

P/s: Nếu bài này mà phải dùng phép vị tự thì có lẽ mình xin bỏ trước!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 21-02-2016 - 23:17


#6
Nguyen Dinh Hoang

Nguyen Dinh Hoang

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết
vì Ia vốn đã thuộc tdp của 2 duong tròn đó r
TB.TN nó bằng TC.TM vì cùng bang TI.TA

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Dinh Hoang: 21-02-2016 - 23:25


#7
Nguyen Dinh Hoang

Nguyen Dinh Hoang

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết
PB cắt CQ tại Ia mà
tc 1 ta gọi E F lần lượt là điểm cg cung AB va AC thì EFLK là Hinh binh hanh Mà EF bang PQ ....
mấy tc này mình cũng thấy r mà

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Dinh Hoang: 21-02-2016 - 23:23


#8
baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 410 Bài viết

Chỗ $EFLK$ là hình bình hành thì bạn chứng minh đi!

Trên viết là chưa thấy, dưới viết thấy rồi! Bạn hãy giải một cách đầy đủ đừng có viết suông như vậy! Viết thế ai chả viết được!



#9
quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết

Bài này đáp án của thầy không vị tự, thời gian 1 tuần mà, các em cứ thoái mái chứ :)!



#10
Nguyen Dinh Hoang

Nguyen Dinh Hoang

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết

mình xin cm chỗ HBH

ta có E, F lần lượt là tâm của (AIBN) và AICM

KL lần lượt là tâm của (NPB) (CMQ) nên EK, FL vuông góc BC 

EF,KL song song vì cung vuong goc AIa (tc của TDP)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Dinh Hoang: 21-02-2016 - 23:32


#11
Namichan

Namichan

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 12 Bài viết

nên tranh luận trong tin nhắn thì hơn baopbc và Nguyen Dinh Hoang



#12
Nguyen Dinh Hoang

Nguyen Dinh Hoang

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết
đậy quả là một bài toán hay
sau đây em xin trình bày ý tưởng cho lời giải bài toán
theo cm của em ở trên ta có PQLK là hình bình hành
gọi Z là giao của BQ và PC áp dụng định lý Pascal cho 6 điểm EPBCQF ta thu dc O, I,Z thẳng hàng
Áp dụng định lý brocard cho tứ giác PQBC (gọi X là giao của PQ và BC )
ta thu dc OZ tức OI vuông góc với XIa
mặt khác khi ta gọi J là giao của KL và BC thì JY (Y là điểm chính giữa cung nhỏ BC) song song XIa (đoạn này có thể cm thông qua tỉ số một cách đơn giản)
vì vậy điều cần cm tương đương ta cm JY vuông góc AR
lời giải của em chưa hoan thiện đoạn sau mong mọi người cùng làm để hoàn thiện bài toán

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Dinh Hoang: 22-02-2016 - 10:55


#13
Nguyen Dinh Hoang

Nguyen Dinh Hoang

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết
phần cm $JR$ vuông góc $AR$ em nghĩ có thể cm
từ phần trên ta dễ dàng cm dc $KP = IO = LQ$
từ đó ta thu dc tg $AIO = tg EKP$ nên $EK = AO$
vì vậy ta chuyển bài toán trên về cm bài sau
cho tg $ABC$ nội tiep (O) ngoại tiếp (I)
E, F lần lượt là điểm chính giữa cung nhỏ AB, AC vẽ hình bình hành EPQF sao cho EP = AO
gọi S là điểm chính giữa cung nhỏ BC
BQ cắt CP tại R, PQ cắt BC tại T thì ST vuông góc AR
ta cm bài toán này như sau
theo cấu hình trên ta thu dc PB cắt CQ tại một điểm thuộc (O), AS là trung trực của PQ
$\Delta$ PSB = $\Delta$ QSC (cgc)
nên PB =QC
BỔ ĐỀ :
cho tg ABC trên AB, AC lấy M, N sao cho BP= CQ , BQ cắt CP tại R , BC cắt PQ tại T điểm A'' thuộc (O) sao cho A'' S vuông góc PQ (S là điểm chính giữa cung nhỏ BC) lúc này ST vuông góc AR ( xin lỗi mọi người vì vội quá nên nếu em đánh sai em mong moi người thông cảm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Dinh Hoang: 22-02-2016 - 12:25


#14
Nguyen Dinh Hoang

Nguyen Dinh Hoang

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết
lời giải của em cho bài toán hình học thuần túy

Hình gửi kèm

  • WP_20160223_001.jpg
  • WP_20160223_002.jpg
  • WP_20160223_003.jpg
  • WP_20160223_004.jpg

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Dinh Hoang: 23-02-2016 - 11:48


#15
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Với bài hình tuần này em có một ý tưởng thế này:

Gọi $H$ là giao điểm của $KB$ và $LC$ thì do $\widehat{KAB}=\widehat{LAC}$ nên $\widehat{IAR}=\widehat{IAH}$

Từ đó ta cần chứng minh $\widehat{IAH}=\widehat{AIO}$. Tỉ số $\dfrac{BI}{IB'}$ với $B'$ là giao của $BI$ với $(O)$ khá dễ tính và với việc $O$ là trung điểm $PB'$ thì có thể ta sẽ tìm một tam giác nào đồng dạng với $PB'B$ và có các tỉ số tương ứng để chuyên góc $\widehat{OIB}$ đi cho dễ tính góc $\widehat{OIA}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 23-02-2016 - 18:26

Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#16
Nguyen Dinh Hoang

Nguyen Dinh Hoang

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết
nghe cậu nói thì có vẻ khá dễ nhưng phải làm cụ thể thì mới có vấn đề đấy và khi làm theo cách trên ta thấy rõ được những vẻ đẹp và sự thú vị của bài toán

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Dinh Hoang: 23-02-2016 - 19:25


#17
viet nam in my heart

viet nam in my heart

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 242 Bài viết
Mọi người thông cảm do không có máy tính nên em mới up như thế này. Bài này có lẽ thầy hùng tạo ra giống bài trong chuyên đề bạn bảo post bên trên nên hứơng làm khá giống. Cách em cũng từ đó mà ra nên hơi phức tạp. Nhìn chung bài này phải chia nhỏ để liên kết các tính chất hình học và có nhiều đọan bằng nhau nên em nghĩ sẽ có nhiều cách giải Hình vẽ.jpg cái 1.jpg Cái 2.jpg cái 3.jpg Cái4.jpg

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet nam in my heart: 23-02-2016 - 21:23

"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công." Isaac Newton

VMF's Marathon Hình học Olympic


#18
baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 410 Bài viết

Lời giải của mình, về ý tưởng khá giống anh Khoa nhưng phần sau mình giải thuần túy! Mình cũng sử dụng bổ đề tương tự anh viet nam in my heart!

Do $M$ đối xứng với $A$ qua $CI$ nên $MC=AC\Rightarrow \triangle ACM$ cân tại $C\Rightarrow \angle AMB=90^{\circ}-\angle C/2=(\angle A+\angle B)/2=180^{\circ}-\angle AIB\Rightarrow $ $A,B,I,M$ đồng viên. $E,F$ lần lượt là giao của $BI,CI$ với $(O)$. Do $FA=FB=FI$ nên $F$ là tâm nội tiếp tứ giác $AIMB\Rightarrow $ $F$ thuộc trung trực $MB\Rightarrow FK$ vuông góc với $BC$. Tương tự ta cũng có: $EL$ vuông góc với $BC$.

Mặt khác do $OK$ vuông góc với $PB$ nên $OK//IB$; tương tự thì: $OL//IC$

Để ý rằng: $\triangle OFK$ cân tại $F$ nên $FK=FO$, lại có $FB=FI$;$\angle BFK=\angle OFI$ nên $\triangle OFI=\triangle KFB$$\Rightarrow OIBK$ là hình thang cân.

Tương tự thì $OICL$ là hình thang cân.$\Rightarrow IK=IL=R$

$\Rightarrow \triangle IKL$ cân tại $I$

$\Rightarrow AK,AL$ đẳng giác với $\angle A$. $T$ là giao của $BK$ với $CL$. Ta có biến đổi góc: $\angle BTC$= $-\angle B/2+\angle OIB+\angle OIC-180^{\circ}-\angle C/2=\angle A$$\Rightarrow $$T$ thuộc $(O)$.

Do $AK,AL$ đẳng giác nên $AR,AT$ đẳng giác. Vậy ta chứng minh: $\angle OIA=\angle IAT$. $P$ là giao của $OI$ với $AT$. Ta có biến đổi góc:

$\angle IAP=\angle A/2 +\angle OIB+\angle B/2-180^{\circ}\Rightarrow $ $\triangle API$ cân tại $P$.

Bài toán chứng minh xong!

P/s: Hai bữa nay em hơi bận viết dở cái chuyên đề, hôm nay mới có thời gian lên, nhân tiện cho em hỏi anh viet nam in my heart tên thật là gì nhỉ?

Hình gửi kèm

  • Thằng 1.jpg
  • Thằng 2.jpg

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 23-02-2016 - 23:50


#19
quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết

Các em gửi các lời giải mới đều đúng và khác của thầy, hãy đón đọc đáp án tuần sau nhé, bài này thầy giải cũng dài và thu được nhiều tính chất.



#20
cleverboy

cleverboy

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 25 Bài viết

Ý tưởng giải của hai bạn baopbc và viet nam in my heart đều có sự thú vị riêng. Các bạn quan tâm có thể đưa ra lời giải cho bổ đề đẳng giác được sử dụng trong hai lời giải trên được không? 






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh