Gọi $MN$ giao $BC$ tại $S$. đtròn $(MND)$ cắt $BC$ tại $Q$.
Gọi $\omega _{1},\omega _{2}$ l/lượt là đtròn$(K,KA)$ và $(L,LA)$, $ PB$ cắt $\omega _{2}$ tại $X$, $PC$ cắt $\omega _{1}$ tại $Y$.
Ta có: $AD$ là trục đẳng phương của $\omega _{1}$ và $\omega _{2}$
Do đó $AD$ là đường đối cực của $B$ đối với $\omega _{2}$ => $(BPNX)=-1$
tương tự $(CPMY)=-1$ => $ XY,MN,BC$ đồng quy tại $S$.
Có: $\overline{PM}.\overline{PY}=P_{P/\omega _{1}}=P_{P/\omega _{2}}=\overline{PN}.\overline{PX}$
=> $XYNM$ là tgnt.
=> $\overline{SX}.\overline{SY}=\overline{SN}.\overline{SM}$
=> $S$ là tâm nghịch đảo hay là tâm vị tự của $\omega _{1}$ và $\omega _{2}$ (*)
=> $\overline{SA}^{2}=\overline{SM}.\overline{SN}=\overline{SD}.\overline{SQ}$
=> $SA\perp AQ$
Lại có: từ (*) => $\frac{SK}{SL}=\frac{KA}{LA}$ <=> $AS$ là p/giác ngoài góc $A$ của $\Delta KAL$
=> $AQ$ là p/giác trong góc $A$ của $\Delta KAL$
=> $AQ$ cx là p/giác trong góc $A$ của $\Delta ABC$
=> $Q$ cố định khi $P$ t/đổi.
Vậy tâm của đtròn $(MND)$ thuộc đường trung trực của $DQ$ cố định.
Edited by huypham2811, 27-10-2015 - 00:33.