Bài giải:
Gọi T là giao điểm thứ 2 của DP với đtròn (O). AP cắt (O) tại E
Ta sẽ c/m: T, L, E thẳng hàng.
AH cắt (O) tại H' => H' đối xứng với H qua BC. => L là tâm đtròn (HKH')
Ta cx có: ED=EH'. Gọi U là giao điểm của (E,ED) và DP.
$\widehat{KHA}=90^{\circ}-\widehat{HAE}=...= 180^{\circ}-\widehat{H'UD}$
=> $U \in (L)$ => $EL\perp H'U$
Lại có $ET\perp H'U$ suy ra L,T,E thẳng hàng.
đt LTE cắt AH tại X. Ta có: $\widehat{XAP}=\widehat{PAD}=\widehat{XTP}$ => A,T,X,P đồng viên => $\widehat{AXP}=90^{\circ}$
=> $XP \parallel BC$
Gọi $S=AE\cap BC, N=AH\cap BC$ . Áp đụng đlí Menelaus cho $\Delta ANS$
=> $\frac{LS}{LN}.\frac{XN}{XA}=\frac{ES}{EA}$
<=> $\frac{LS}{LN}.\frac{PS}{PA}=\frac{ES}{EA}$
<=> $\frac{LS}{LN}=\frac{PA}{PS}.\frac{CS^{2}}{CA^{2}}$ (*)
Ta có: $AQ=\frac{sin\widehat{PCB}.AC}{sin\widehat{AQC}},QS=\frac{sin\widehat{PCA}.CS}{sin\widehat{SQC}}$
=> $\frac{QS}{QA}=\frac{sin\widehat{PCA}}{sin\widehat{PCB}}.\frac{CS}{CA}$
Tương tự : $\frac{PA}{PS}=\frac{sin\widehat{PCA}}{sin\widehat{PCB}}.\frac{CA}{CS}$
Suy ra: $\frac{QS}{QA}=\frac{PA}{PS}.\frac{CS^{2}}{CA^{2}}$ (**)
Từ (*) và (**) ta suy ra $QL\parallel AH$ hay ta có đpcm.