Chủ đề này có 7 trả lời

[Zaraki]

Như vậy là đã có bài toán mới tại Tuần 2 tháng 9. 

 

Bài 4. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và $D$ là một điểm thuộc cung $BC$ không chứa $A$. $M$ là trung điểm $BC$. $P$ là một điểm nằm trên đường thẳng $DM$. $E,F$ thuộc $CA,AB$ sao cho $PE \parallel DC$ và $PF \parallel DB$. Gọi tiếp tuyến của $E,F$ của đường tròn $(K)$ ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt nhau tại $T$. Gọi tiếp tuyến của $BC$ của $(O)$ cắt nhau tại $S$. $Q$ thuộc $(O)$ sao cho $DQ \parallel BC$. Chứng minh $AQ \parallel ST$.

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 07-09-2015 - 03:34

[dangkhuong]

Cám ơn Toàn đã dẫn lại link, đúng là một lời giải hay lâu rồi thầy cũng quên mất , qua link đó ta cũng thấy bài toán này và bài chọn đội tuyển Đài Loan 2014 có liên quan mật thiết với nhau. Xin được trích dẫn lại bài chọn đội Đài Loan 2014 như sau

 

Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ và tâm ngoại tiếp $O$. $OI$ cắt tiếp tuyến của $(I)$ song song với $BC$ tại $M$. Cũng trên tiếp tuyến này lấy điểm $N$ sao cho $IN\perp IO$. Chứng minh rằng bốn điểm $A,M,O,N$ cùng thuộc một đường tròn.

 

Đây là một bài toán hay có nhiều nghĩa và có nhiều phát triển rất thú vị.

E nghĩ là bài tuần này có cách giải lớp 9 

[quanghung86]

Đáp án của thầy có dùng tính chất hàng điều hòa.

[canhhoang30011999]

Như vậy là đã có bài toán mới tại Tuần 2 tháng 9. 

 

Bài 4. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và $D$ là một điểm thuộc cung $BC$ không chứa $A$. $M$ là trung điểm $BC$. $P$ là một điểm nằm trên đường thẳng $DM$. $E,F$ thuộc $CA,AB$ sao cho $PE \parallel DC$ và $PF \parallel DB$. Gọi tiếp tuyến của $E,F$ của đường tròn $(K)$ ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt nhau tại $T$. Gọi tiếp tuyến của $BC$ của $(O)$ cắt nhau tại $S$. $Q$ thuộc $(O)$ sao cho $DQ \parallel BC$. Chứng minh $AQ \parallel ST$.

 

Screen Shot 2015-09-07 at 6.32.30 am.png

$(O)$ cắt lại (K) tại $L$ 

Khi đó $\widehat{ALP}=180-\widehat{AEP}=180-\widehat{ACD}=\widehat{ALD}$

$=> L,P,D$ thẳng hàng

Mà $D(BCMQ)=-1 => D(BCQL)=-1$

$=> (BCQL)=-1$

$=> S,Q,L$ thẳng hàng

ta có xét phép đồng dạng tâm $L, k=\frac{FL} {BL},\alpha=(BF,CE)$

ta có $S_{L} : B \rightarrow F,C \rightarrow E$

mà $ \triangle   TEF$ và $ \triangle  SCB$ đồng dạng cùng chiều nên $ S_{L} : S \rightarrow T$

$=>$ $ \triangle   LST$ và $ \triangle  LBF$ đồng dạng cùng chiều

$=> \widehat{LST}=\widehat{LBF}=\widehat{LQA}$

$=>$$ AQ$ song song $TS$

[canhhoang30011999]

Mà sao mình không vào được blog của thầy nhỉ

[minhduc3001]

Mà sao mình không vào được blog của thầy nhỉ

Chắc là nhà bạn dùng mạng VNPT nên chặn blogspot rồi. Mình về nhà cũng không vào được nhưng xuống nhà trọ thì lại vào được. Bạn có thể ra net hoặc lên mạng tra cách vào blogspot khi bị chặn nhé.

[dangkhuong]

$JD$ cắt $(I)$ tại K,tiếp tuyến tại $K$ cắt $BC$ ở $T$, $TI$ cắt $JK$ tại $N$

ta có $TI.TN=TB.TC=TD^{2}=TK^{2}$

$T$ thuộc trục đẳng phương của $(I)$ và $(BPC)$

$(I)$ cắt lại $(PBC)$ tại $H$

ta có $H,P,T$ thẳng hàng

ta sẽ cm $M,D,H$ thẳng hàng

thật vậy ta có $D(QJPM)=-1$ (1)

lại có $PKHD$ điều hòa nên $D(DKPH)=-1$(2)

Từ (1) và (2) ta có $M,D,H$ thẳng hàng

Kẻ $MX$ vuông góc $BC$, $IY$ vuông góc $DH$

ta có $\triangle MDX$ đồng dạng với $\triangle IDY$

$\Rightarrow DM.DY=ID.MX\Rightarrow DM.DH=r.R_{a}$

ta chỉ cần cm $r.R_{a}= DB.DC$

Thật vậy qua $J$ kẻ $JE$ vuông góc $BC$ ta có

$\triangle IBD\sim \triangle BEJ$

$\Rightarrow ID.JE=BD.BE=BD.DC$ (DPCM)

Ta có thể cm đoạn mà $r.R_{a}=DB.DC$ bằng 1 cách khác:

$DB=\dfrac{a+b-c}{2}$ và $DC=\dfrac{a+c-b}{2}$

chú ý rằng $S_{ABC}=R_a(p-a)=r.p$(Với $p=\dfrac{a+b+c}{2}$)

Ta quy về biến đổi tương đương theo 3 biến a,b,c(2 biểu thức nhân tung ra chắc chắn = nhau)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dangkhuong: 12-09-2015 - 18:48

[dangkhuong]

$(O)$ cắt lại (K) tại $L$ 

Khi đó $\widehat{ALP}=180-\widehat{AEP}=180-\widehat{ACD}=\widehat{ALD}$

$=> L,P,D$ thẳng hàng

Mà $D(BCMQ)=-1 => D(BCQL)=-1$

$=> (BCQL)=-1$

$=> S,Q,L$ thẳng hàng

ta có xét phép đồng dạng tâm $L, k=\frac{FL} {BL},\alpha=(BF,CE)$

ta có $S_{L} : B \rightarrow F,C \rightarrow E$

mà $ \triangle   TEF$ và $ \triangle  SCB$ đồng dạng cùng chiều nên $ S_{L} : S \rightarrow T$

$=>$ $ \triangle   LST$ và $ \triangle  LBF$ đồng dạng cùng chiều

$=> \widehat{LST}=\widehat{LBF}=\widehat{LQA}$

$=>$$ AQ$ song song $TS$

E mạn phép đưa ra ý tưởng khác :

Dễ dàng nhìn ra 2 tứ giác $AFEP$ và $BCQD$ chẳng qua chỉ là ảnh của nhau qua phép quay do đó ta cần cm $AFPE$ là 1 tứ giác nội tiếp(có thể sử dụng ngay những gì anh canhhoang30011999 nói ở trên để cm). Từ đó $AP$ biến thành $AQ$ và $EF$ biến thành $ST$ hay là $AQ||ST$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dangkhuong: 12-09-2015 - 23:38